一道解析几何最值题的多视角研究

解析几何中的最值问题是学生解题中经常遇到的一类问题,它牵涉到很多代数与几何的方法,本文拟从课本上一道例题出发,多角度研究一类最值问题.问题1设P(x,y)是圆x~2+y~2=4上的动点,F(1,0),研究|PF|的最值.分析该问题是课本上一道例题,研究定曲线(圆)上的动点到一个定点的距离的最值问题.     

谈谈圆中的最值问题

<正>圆是数学中优美的图形,具有丰富的性质.与圆有关的最值问题是各类考试的一个热点,其题型丰富多采.本文将就与圆的有关的最值问题进行归纳分析,与大家分享.一、圆上动点到定点(或定直线)的距离的最小值例1平面上有两点A(-1,0),B(1,0),P为     

“通法”虽好 “变”则更通——一道道模拟题引发的探究课与反思

题1 (2012温州二模)如图1,过点A(-1,0)的直线与抛物线y2=4x交于B,C两点,过点P(1,1)的直线交抛物线于另一点D,试问:直线CD是否过定点?若是,求出该定点;若不是,请说明理由. 题1是近期数学复习资料中的一道例题,选自温州第二次模拟考试卷,出乎意料的是做对的学生寥寥无几,不少学生一筹莫展,这引起笔者的思考.圆锥曲线中的定值问题是近几年高考中的热点题型.一般是在一些动态事物(如动点、动直线、动弦、动角、动圆、动三角形、动轨迹等)中,寻找某一个不变量即定值,由于这类问题涉及到的知识点多、覆盖面广、综合性强,因此,解题过程中应注重解题策略,要善于在动的"变"中寻求定值的"不变"性,常用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值,再转化为有方向有目标的一般性证明题,从而达到问题的解决,而这种特殊探索法在求定值问题中往往是不可或缺的.笔者从课堂教学案例出发,对高三数学二轮复习做出思考.     

中考几何最值问题的常见解法探究

<正>几何最值问题因能综合考查特殊三角形、特殊四边形、圆、一次函数、二次函数以及轴对称、相似三角形等重要知识,具有较强的灵活性、创新性和挑战性,故一直备受全国各地中考命题者的青睐.不管题目怎样变化,此类问题最终常可用以下知识解决:(1)"垂线段最短";(2)"两点之间线段最短";(3)动点与定点最远(近)时距离最大(小);(4)动点与定直线最远(近)时距离最大(小);(5)一次函数、二次函数在某个范围内具有最大(小)值等.现举例     

隐圆破解最值问题

<正>最值问题的必要条件是至少有一个动点,因为是动态问题,所以才会有最值.有这样一类最值问题,动点的运动轨迹是个圆,题目中很少出现这个圆,这种圆我们称之为——隐圆.在解决许多几何最值问题时,往往把这个隐圆画出来可以使问题变得更简单.如图1,点A为圆外一点,在圆上找一点P使得PA最小,只需连接AO交圆O于点P即可,就此探究以下几个问题.     

巧构平面解析几何模型求无理函数的最值

求无理函数的最值常见的方法有代数换元法、三角换元法、导数法等.但是有一些无理函数因其解析式结构的特殊性,用以上常规的方法不易求其最值,若能仔细分析无理函数解析式的结构特点,数形结合,构造出相应的平面解析几何模型,利用其“形”的特征,可转化为求平面解析几何模型(曲线)上的一动点到模型外两定点的距离和(差)的最值,或动点与定点连线的斜率最值,或动点到定点的距离与该动点到定直线的距离之和的最值,从而暴露了问题的本质,使复杂抽象的函数问题具体化、简单化.本文根据动点所属不同的平面解析几何模型,分类举例说明.1.动点在直线上…     

斜率型问题的数形结合解法

解析几何中两点连线的斜率公式为:k=y2-y1/x2-x1,而在代数中许多问题也往往具有类似的形式,本文例举此类"斜率"型题的数形结合解法。 1.求函数最值 [例1] 求函数y=1+sinx/2+cosx的最值. 分析 y=1-(-xinx)/2-(-cosx)可看作单位圆上的动点M(-cosx,-sinx)与定点P(2,1)连线斜率(如图1),显     

曲线上一动点到两定点距离之和的最值

运用多种方法,求所给直线、圆、椭圆上一动点到两定点距离之和的最值,以及求椭圆上一动点到一焦点与椭圆内(外)一定点距离之和的最值.     

巧构平面解析几何模型求无理函数的最值

求无理函数的最值常见的方法有代数换元法、三角换元法、导数法等．但是有一些无理函数因其解析式结构的特殊性．用以上常规的方法不易求其最值，若能仔细分析无理函数解析式的结构特点，数形结合。构造出相应的平面解析几何模型，利用其“形”的特征，可转化为求平面解析几何模型（曲线）上的一动点到模型外两定点的距离和（差）的最值．或动点与定点连线的斜率最值，或动点到定点的距离与该动点到定直线的距离之和的最值，从而暴露了问题的本质，使复杂抽象的函数问题具体化、简单化．本文根据动点所属不同的平面解析几何模型。分类举例说明．     

阿波罗尼斯圆的变式应用

<正>人教A版必修2第140页利用"几何画板"探究了动点轨迹的形状:已知点P(2,0)、Q(8,0),点M与点P的距离是它到点Q距离的1/5,探究点M的轨迹,并给出轨迹的方程.得到点M的轨迹是圆,即阿波罗尼斯圆.阿波尼斯圆的定义:平面内,若动点P到两定点A、B的距离之比为λ(λ>0,且λ≠1),则动点P的轨迹是圆,称之为阿波罗尼斯圆.     

例析与圆有关的最值问题

<正>与圆有关的最值问题,是有一定的解题规律和技巧可遵循的.在分析、解决时,要特别注意灵活运用转化思想和数形结合的方法,使问题得以巧妙解决.题型一、过圆内某定点的直线被圆截得的弦长的最值问题由平几易知,弦最短过圆心和定点的直线垂直于弦;弦最长弦通过圆心.例1(2008年高考湖北理科第9题)过点     

确定动点求最值

动点最小值问题,难点在于确定取得最值的动点的位置.破解方法是紧扣轴对称性质,画出一个定点关于对称轴的对称点,找出待确定的动点,把折线段变成直线段,下面析解几例,供同学们参考.例1如图1甲,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD=1,∠B=60°,直线MN为梯形ABCD的对称轴,P为MN上一点,那么PC+PD的最小值为.     

例析与圆有关的最值问题

与圆有关的最值问题,是有一定的解题规律和技巧可遵循的.在分析、解决时,要特别注意灵活运用转化思想和数形结合的方法,使问题得以巧妙解决.题型一、过圆内某定点的直线被圆截得的弦长的最值问题由平几易知,弦最短过圆心和定点的直线垂直于弦;弦最长弦通过圆心.     

例谈中考数学压轴题的命题趋势——函数图象上的动点构成特殊图形问题

从201 1年浙江省各地区的中考数学压轴题中不难发现压轴题都不约而同地趋向于对动态问题的研究,特别是以平面直角坐标系为背景的函数图象上的动点和其它定点构成特殊图形,求点的坐标或者是求某一变量的值(除了杭州市),更是备受命题者的青睐.函数图象上的动点和其它定点构成的特殊图形常见的有"等腰三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、矩形、等腰梯形、直角梯形、相似三角形"等等.这类问题以平面坐标系为背景,以动点为载体,集几何、代数知识于一体,数形结合,有较强的综合性.题目灵活、多变,动中有静,动静结合,其中包含着对不同阶段所学知识点的综合考查:如特殊三角形、特殊四边形以及全等、相似、方程、函数等知识.此类试题包含的数学思想和方法丰富,有数形结合思想,方程思想,函数思想,分类讨论思想,数学建模等思想方法.因此,此类问题已成为全国很多省、市在中考中考查学生的综合分析问题的能力,拉开学生考试成绩,成为中考压轴题命题的新趋势.     

一道椭圆与圆同心内切问题的思考与拓展

以椭圆与圆同心内切的位置关系为研究基础,围绕圆锥曲线中定值、定点、最值等经典代表性问题为研究方向,旨在挖掘出问题背景中相关简洁对称、优美和谐的整体性质,以提升学生的数学审美素养,增强学生的理性思维能力.     

曲线上一类最值点的求法及应用

我们知道,数形结合是解决某些函数最值问题的一种基本对策,然而,要确定其一图形的极值状态,探求最值点的位置,往往也并非轻而易举的事,本文主要就直线或圆锥曲线上一点到两定点的距离之和(或差的绝对值)的最值问题,进行分类探讨,给出关于最值点位置的一组命题,并运用这些结论解决一类无理函数的最值问题。 1 曲线C上一点P到两定点A、B的距离之和的最值命题1 若A、B两点在曲线C的异侧,则当P在     

巧用点在曲线内

解析几何中涉及到动直线与二次曲线相交问题 ,若能利用点在曲线内部求解 ,常能使问题化繁为易 ,迎刃而解 .以下举几例说明 .例 1　已知圆Ｃ :ｘ2 + ｙ2 - 2ｘ - 4ｙ - 2 0=0 ,直线ｌ:( 2ｍ + 1 )ｘ + (ｍ + 1 ) ｙ - 7ｍ -4=0 ,求证 :无论ｍ取何实数 ,直线ｌ与圆Ｃ恒相交 .分析 :判断直线与圆的位置关系 ,通常运用判别式或比较圆心到直线的距离与圆半径的大小 .这样运算量往往很大 ,若能确定动直线所过的定点在圆内 ,就能解 .证明　圆Ｃ :(ｘ - 1 ) 2 + ( ｙ - 2 ) 2 =2 5,易求直线ｌ过定点Ｐ( 3,1 ) ,且 ( 3- 1 ) 2 + ( 1- 2 ) 2 =5<2 5.即…     

运用直线与圆位置关系研究一类几何最值问题

<正>最值问题是几何综合题中的常见问题,近年来在中考数学中难度有一定程度的降低,可是很多同学仍不得要领,其实几何最值往往可以归结到两个基本原理上,一是两点之间线段最短,比如求两条线段长度和的最小值时的"将军饮马"模型;二是垂线段最短,本文将借助于直线与圆位置关系使用此原理.     

例析“辅助圆”的作用

<正>部分初中几何综合题,如果能根据题目的本质特征恰当构造辅助圆,既能巧妙地利用"同弧所对圆周角是圆心角的一半,同弧所对的圆周角相等"求角,也能利用"圆外一点与圆上各点之间的最长距离是这点到圆心的距离与半径的和,圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差",从而突破线段最值问题.     

圆锥曲线的若干类生成问题

在平面解析几何中的轨迹问题,比较有代表性的就是通过具有一定性质的动点来生成某种圆锥曲线.与动点相关联的给定的“参数”有诸如定点、定直线、定圆或给定的某一圆锥曲线,而动点本身可能是具有动态状况下的“参变数”如动圆的圆心、动直线上的某一线段的中点