用配方法证几个数相等问题

配方法是中学数学中常用方法之一,特别它在因式分解,解方程等方面有着广泛的应用,这是大家所熟知的,这里试图举例说明根据已知条件用配方法证几个数相等的问题,这是因为在实     

探求分成等积四边形的个数

<正>大家都知道一个定理:"等高三角形的面积之比等于底边之比".本文目的是充分利用这一性质,探求等积四边形的个数.例1如图1的四边形ABCD,它的面积为S,且AE∶EB=CF∶FD=p∶q,则S四边形AECF=p p+qS 1S四边形EBFD=q p+q2图1图2分析与解在图1中,连结AF、AC及EC,得图2,据题设可知:因AB=AE+EB,CD=CF+FD,故AE∶AB=p∶(p+q),且CF∶CD=p∶(p+q),于是由定理得S△AEC∶S△ABC=p∶(p+q).故S△AEC=p p+qS△ABC,     

从徐光启的两篇短文谈起

在中学数学教学中,如何对待数学的证明推理方法——它在几何学中表现最为明显——一直是一个有争议的问题.有一种意见认为这种方法即公理化的方法既脱离生活和直觉,而且没有用处.并且进而认为这是几个世纪的争论已被否定了的方法,因此不但不应强调,而且应该进行根本的改革.如果认为这种方法代表一种理性主义的思维,而且正是我们这个民族所缺少的,则什么是理性主义?理性主义要求以批判的态度对待现存的一切秩序,而数学的推理方法怎么会体现这种批判的态度?我是主张在中学阶段对学生进行适当的数学推理方法的训练的,而且也认为它是体现了一种…     

两数和与积的解题联想

在解答数学问题中，如果题设或求解过程中出现了两个量的和与积，或者可构造出两个量的和与积，那么在这种模型的启发下，我们会产生哪些解题联想呢？一、联想根与系数的关系若题设中出现两个量的和与积，且ａ＋ｂ＝ｐ，ａｂ＝ｑ，则可联想以ａ，ｂ为根的一元二次方程ｘ２...     

多边形和多面体的分割相等和拼补相等

一我們先来回忆中学几何里面积一章大致是怎样講的。建立了矩形的面积(此处及以后面积指面积的度量)以后,其他直綫形,如三角形、平行四边形、梯形以及一般簡單的多边形的面积一概用簡單的办法—分割法和拼补法—間接算出,而極限法只用来求曲綫形—圓—的面积。例如,欲求三角形的面积,可以“割”下兩个三角形而拼成一矩形,再来計算。欲求平行     

两类函数定义域和值域相等问题的辨析

我们知道构成函数的三要素是定义域、对应法则和值域,确定了定义域、对应法则后,函数的值域也随之确定．有趣的是某些函数的定义域和值域会相同,     

构造两数和与积的模式解题

合理构造两数和与积求解数学问题，是一种非常有效的手段．其独特功能在于充分运用一元二次方程根的判别式和求根公式变更命题，从而使问题获得简解1用于求值例1已知：为整数），那么，的值是（）．（A）1991-1（B）－1991－1（C）（－1）n1991（D）（－1）n1991－1（1991年全国初中数学联赛题）解设a＝1991，b＝－1991，则a＋b＝2x，ab＝－1，由韦达定理的逆定理，得a、b是方程t2－2xt＝1＝0的两个实根解之，得故答案应选（D）．2用于解方程（组）例2解方程（6x＋7）2（3x＋4）（x＋1）＝6．（1983年湖北省初中数学竞赛题）解原方程可化…     

从两道与阿波罗尼斯圆有关的试题谈起

<正>众所周知,平面内到两定点的距离之比为一个常数λ(λ>0,λ≠1)的点的轨迹是圆,并且称为阿波罗尼斯圆.自然的我们也许会思考:如果给定具体的一个圆,那么能否找到两个定点及相应的常数λ?这是一个有趣的问题.笔者将结合最近教学中碰到的两道与阿波罗尼斯圆有关的试题,尝试对该问题做部分解答.     

与两数和两数积 有关的整数根问题

关于x的整系数方程ax2+bx+c=0(a≠ 0)的整数根问题,常常是中考和数学竞赛命题 的重要内容．这类问题涉及面广,综合性强,除 要应用判别式和根与系数的关系,还要应用整 数的有关性质．本文以全国初中数学联赛试题 介绍利用两数和(a+b)与两数积ab构造(a± 1)(b±1)解一类有关整数根的竞赛题．     

判断两集合相等的常用方法

两集合相等是用子集的概念来定义的,即“若A B,且B A,则A=B”.因此要证明两集合相等,就是要证明两集合互为子集.关于两集合相等的证明,我国高中数学教学大纲没有提出明确的要求,于是就有人认为两集合相等的概念可以淡化.笔者认为,这种理解是片面的.其实,集合的化简过程就是不断     

两个极限相等的有趣数列

证明了两个有趣数列{n~(1/2)∫_0~(π/2)sin~nxdx},{(n+1)~(1/2)∫_0~(π/2)sin~nxdx}的极限均为(π/2)~(1/2),且(π/2(n+1))~(1/2)∫_0~(π/2)sin~nxdx(π/2n)~(1/2).     

两类各行模和相等的矩阵的行列式与特征值的估计

我们知道,随机矩阵是研究马尔可夫链的重要工具,关于它的最大模特征值问题早已完美地解决了.本文的目的是讨论一类特殊的随机矩阵的特征值分布与行列式的估计.另外,我们还将对一类特殊的轮回矩阵作出其行列式的估计.定义1.设实矩阵 A=(ajk)_(n×n)满足条件ajk≥0,j,k=1,…,n,sum from k=1 to n ajk=s(>0),j=1,…,n,(1)则称矩阵 A 为带行和为 s 的广义随机矩阵,简记为 A∈S_t,特别,当 s=1时,矩阵 A 就是通常的随机矩阵或叫做转移矩阵.     

从两圆的内、外公切线的长谈起

首先从两圆的外公切线的长谈起。1.(1) 如图1,已知:⊙O和⊙O_1外切于D.AB是两圆的外公切线,A、B是切点,连心线OO_1交⊙O于F、交⊙O_1于C.设两圆的半径分别为R、R_1(R>R_1),求证:AB~2=4RR_1(=CD·DF)。     

一类两点边值问题的正解个数

本文讨论边值问题y"+λ(yp+μy+yq)=0,y(-1)=y(1)=0,其中λ＞0是正参数,μ≥0.对(1-p)(1-q)＞0的情形得出了正解的存在唯一性.对(1-p)(1-q)＜0的情形,其主要结论是若p＞1＞q＞-(25+23p)/(23+25p),μ≥0,则存在λ*＞0,使得当0＜λ＜λ*时,此边值问题恰好存在两个正解,当λ=λ*时,存在唯一正解,当λ＞λ*时,不存在正解.     

一类两点边值问题正解的个数

讨论边值问题（（一v＇（r））~n）＇=λ（v~α＋v~β）,v＇（0）=v（1）=0,其中λ〉0是正参数.对（n-α）（n-β）〉0的情形得出了正解的存在唯一性.对0〈α〈n〈β的情形得到,存在λ~＊〉0,使得当0〈λ〈λ~＊时,此边值问题恰好存在两个正解;当λ=λ~＊时,此边值问题存在唯一一个正解;当λ〉λ~＊时,此边值问题不存在正解.     

一类两点边值问题的正解个数

本文讨论边值问题y'+λ(yp+μp+yp)=0,y(-1)=y(1)=0,其中λ>0是正参数,μ≥0.对(1-p)(1-q)>0的情形得出了正解的存在唯一性.对(1-p)(1-q)<0的情形,其主要结论是:若p>1>q>-(25+23p)/(23+25p),μ≥0,则存在λ*>0,使得当0<λ<λ*时,此边值问题恰好存在两个正解,当λ=λ*时,存在唯一正解,当λ>λ*时,不存在正解.     

犯两类错误概率相等的检验函数

设有总体X具有概率密度或概率分布列f(x,θ),θ未知,θ∈(?)={θ_0,θ_1},要检验假设(?),样本X_1,X_2、…、X_n 本文为克服最优势检验中原假设与备择假设地位不对称的矛盾,提出了一种检验法则:此检验函数具有与最优势检验形式相同的检验函数,且犯第一、第二两类错误的概率相等。本文证明了这样的检验验函数是存在的,并且举例以说明之。     

两个回归函数相等的Bootstrap检验

两个回归参数相等性检验一直是统计界感兴趣的问题之一．在这篇文章中，四个检验统计量被用于度量两曲线的差异，在原假设下统计量的分布采用向量数据的重复抽样来逼近，并给出了—些模拟结果．     

证明两条线段相等的常用方法

在近几年中考试题中经常出现证明两条线段相等的几何问题,由于这类问题的解法灵活多样,涉及的知识点较多,能够较全面地考查学生推理证明的能力,故受命题者的青睐,本文以近两年的中考试题为例,归纳出了证明两条线段相等的几种常用方法,供读者参考.     

两个总体相等的广义似然比检验

利用广义似然比检验的原理,首先求出广义似然比统计量的极限分布,然后给出了两个总体相等的广义似然比检验方法,并且给出了随机模拟结果.