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三角形的三个内角之和为180°,这是平面几何中一条十分重要的定理.那么在此基础上,三角形的内角或外角平分线与其内角间有怎样的关系呢?本文总结出与角平分线有关的三条结论.结论1三角形的任意两条角平分线间的夹角等于第三个角的一半加上90°;结论2三角形的任一内角角平分线与它不相邻的任一外角的角平分线间的夹角等于第三个角的一半;结论3三角形的任意两个外角的角平分线间的夹角等于90°减去第三个角的一半.证明如下:1.如图1,△ABC中,∠ABC与∠BCA的角平 相似文献
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本刊1999年第3期《三角形内角的余弦方程及应用》一文建立了下述命题:任意△ABC三个内角的余弦cosA、cosB、cosC满足方程4R2x3-4R(R r)x2 (p2 r2-4R2)x (2R r)2-p2=0,其中,R、r、p依习惯用法分别表示△ABC的外接圆半径、内切圆半径、半周长.本文将建立三角形中半角的余切方程和 相似文献
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三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点称为三角形的旁心.旁心是三角形的旁切圆的圆心,一个三角形有三个旁心,连接三角形的三个旁心而成的三角形称为旁心三角形.在文[1]的基础上,笔者经过探讨,得到:定理如图1所示,△DEF是△ABC的旁心三角形,三边长分别为d,e、f,且△ABC的三边长分别为a,b、c,△ABC的外接圆、内切圆的半径分别为R、r,则有def=4R/r·abc. 相似文献
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在平几中,证明两个角相等的方法较多.本文介绍一例“构造全等三角形”的证明方法.例已知:如图1,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,M是AC的中点,CE⊥BM于E,延长CE交AB于D.求证:∠CMB=∠AMD.分析:此题有两个基本图形,一个是Rt△ABC,其中AC=BC,∠A=∠ABC=45°,∠ACB=90°;另一个是Rt△M 相似文献
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文 [1]、[2 ]分别给出了三角形内角的余弦方程和三角形中半角的余切方程和正切方程 ,本文将建立三角形内角的正弦方程 .现将三角形内角的三角函数方程整理如下 ,以便读者参阅 .定理 1[1 ] △ ABC三内角余弦 cos A、cos B、cos C满足方程 : 4R2 x3- 4R(R r) x2 (p2 r2 相似文献
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<正>一、点在三角形内角平分线上探究一如图1,AD是△ABC的内角平分线,P是AD所在直线上一点(P不与A、D重合),BP、CP分别交AC、AB于点E、F,直线EF交BC的延长线于点D′,则AD′是△ABC的外角平分线.证明在△ABC中,由塞瓦定理得BD DC·CE EA·AF FB=1① 相似文献
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如果三角形内角都是 1 0°的整数倍 ,其内某点同三顶点连线得到的所有的角 ,也都是1 0°的整数倍 ,则该点称为三角形内的角格点 .文 [1 ]给出了三角形内角格点的定义 ,并提出了三角形内角格点的 45个猜想 ,本文给出三角形内角格点的一个判定定理 ,应用它可非常容易地求得任意一个三角形的所有角格点 .定理 设△ ABC的三内角都是 1 0°的整数倍 ,P为△ ABC内一点 ,∠ PAB =α,∠ PBC=β,∠ PCA=γ (α≤β≤γ) ,α′,β′,γ′ (α′≤β′≤γ′)是角 A -α,B -β,C-γ的一个排列 ,则 P为△ ABC内角格点的充要条件为角α、… 相似文献
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文[1]提出了三角形内切圆的一个性质:⊙O是△ABC的内切圆,与三边分别相切于E,F,D三点,则△ABC是直角三角形 S△ABC=AD·BD.图1经仔细研读,发现上述性质是正确的,但文[1]中存在两处错误.1、在证明性质之前,作者为了叙述方便,设BC=a,AC=b,AB=c,由切线长定理,设AD=AF=x,BD=BE=y,OE=OF=CE=CF=r.事实上,只有在明确了△ABC是直角三角形时才有OE=OF=CE=CF=r.在由“S△ABC=AD·BD”证明“△ABC是直角三角形”时不能事先假设OE=OF=CE=CF=r.而应当设OE=OF=r,CE=CF=z.2、在由“S△ABC=AD.BD”证明“△ABC是直角三角形”时,作者由S△ABC=AD.BD得出12(x+r)(y+r)=xy图2再次事先假定了△ABC是直角三角形.事实上,只要设BC=a,AC=b,AB=c,由切线长定理,设AD=AF=x,BD=BE=y,OE=OF=r,CE=CF=z.由S△ABC=AD.BD和海伦公式有(x+y+z)xyz=xy即(x+y+z)z=xy=S△ABC但S△ABC=21(a+b+c)r=(x+y+z)r,∴r=z.易... 相似文献
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定理以△ABC的三内角A、B、C的正弦sinA、sinB、sinC为边长能组成一个三角形,且这个三角形的三内角仍为A、B、C。证设△ABC的三边长分别为a、b、c。其外接圆半径为R,依正弦定理,得 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R, ∴ a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC ∵ a b>c。∴ 2RsinA 2RsinB>2RsinC。∴ sinA sinB>sinC 相似文献
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三角形的一个共点线 总被引:1,自引:1,他引:0
定理 三角形一内角平分线分原三角形为两个新的三角形 ,两个新三角形的内心和该内角的外角平分线与对边延长线的交点三点共线 .已知 :如图 2 ,△ ABC中 ,AD、AE分别为∠ BAC的内、外角平分线 ,D、E分别为 AD、AE与直线 BC的交点 ,I1,I2 分别为△ ABD,△ ADC的内心 .求证 :I1、I2 、E三点共线 .先证一个引理 .图 1 图 2引理 如图 1 ,I为△ ABC的内心 ,过 I点的直线 PQ交 AB于 P,交 AC于 Q,则有 :1AP 1AQ=AB BC ACAB .AC .证明 连接 AI,BI,CI,过 I作 ID⊥ BC于 D,作 IE⊥ AC于 E,作 IF… 相似文献
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含有60°内角的三角形的性质及应用 总被引:1,自引:1,他引:0
含有 90°角的三角形是一类特殊的三角形—直角三角形 .含有 6 0°内角的三角形 ,也是一类特殊的三角形 .例如 ,对含有 6 0°内角的三角形进行割或补 ,很快便可作出正三角形 ,除此之外 ,这类三角形还有如下有趣的性质 :性质 1 三角形的三内角的量度成等差数列的充分必要条件是其含有 6 0°的内角 .性质 2 三角形的顶点到其垂心的距离等于外接圆半径的充分必要条件是该顶点处的内角为 6 0°.证明 当三角形为直角三角形时结论显然成立 .下面设 H为非直角△ ABC的垂心 ,如图 1 .充分性 设∠ A =6 0°,△ ABC的外接圆半径为 R,直线 AH… 相似文献
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三角形内角和定理的证明 总被引:1,自引:0,他引:1
同学们都已经知道三角形的内角和为180° ,但你是否想过除了课本的证明方法外 ,还有没有其它的证明方法呢 ?下面我们就来探讨三角形内角和定理的多种证明方法 .已知△ABC ,求证 :∠A +∠B +∠C=180° .证明一 常见的证法 ,过点C作CE∥AB ,延长BC至D ,则∠A +∠B +∠C =∠ 1+∠ 2 +∠ACB=180° .证明二 过点C作DE∥AB ,易知 ∠A =∠ 1,∠B =∠ 2 .∵ ∠ 1+∠ 2 +∠ACB =180° ,∴ ∠A +∠B +∠C =180° .证明三 过点C作CD∥AB ,易知 ∠A =∠ 1,∵ ∠ 1+∠ACB+∠B =180°(两直线平行 ,同旁内角互补 ) ,∴ ∠A +∠B… 相似文献
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<正>图1性质如图1,点P是△ABC的内心,过点P垂直于AP的直线分别交AB、AC于点D、E,则DE是△PBC外接圆的切线.证明∵点P是△ABC的内心,DE⊥AP,显然易证Rt△APD≌Rt△APE,∴∠ADE=∠AED,在△ADE中,∠ADE+∠AED+∠DAE=180°,即2∠ADE=180°-∠DAE①同理∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC②由①、②得∠ADE=12∠ABC+12∠ACB,而∠ADE=∠DBP+∠DPB=12∠ABC+∠DPB,∴∠DPB=12∠ACB=∠PCB, 相似文献
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1 问题的提出 题目.△ABC三边所在的直线方程是AB:5x-12y=0;BC:12x+5y-60=0;CA:5x+12y+60=0。求△ABC的内角∠ABC的平分线所在直线方程(图一) 相似文献