一道智慧窗题的探源、另解与拓展

<正><正>《中学生数学》2015年第11期(初中刊)智慧窗栏目的第1题为:知角求角.如图1中已知有六个角,你能根据此六个角,求出黑色有"x"标记的角度来吗?参考答案做辅助线如图2,从四边形BCDE可知∠BCD=120°,∠BED=90°,∠CDE=45°.     

一个三角形性质的新证及归纳

如图1,在△ABC内任取一点O,连结OA、OB、OC,沿A→B→C→A方向依次排出六个角(以下为了方便,直接用1～6这六个自然数表示角),可以得出如下性质:图1　sin(1 2)sin(2 3)sin5=sin(4 5)sin(5 6)sin2,(1)　sin(2 3)sin(3 4)sin6=sin(5 6)sin(6 1)sin3,(2)　sin(3 4)sin(4 5)sin1=sin(     

初二几何第一学期期末自测题

A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .如图 ,在△ABC中 ,AH⊥BC于H ,则图中以AH为高的三角形共有个 .2 .一个三角形的两边长为2、9,第三边长为偶数 ,则三角形的周长为 .3 .已知△ABC中 ,∠A∶∠B∶∠C =2∶3∶4,则这个三角形是三角形 .4.如图 ,已知AD ,BC相交于E ,且OA =OC .补充一个条件 ,可使△OAD≌△OCB ,应补充的条件是 (只须写出一个条件 ) ,此时 ,判定△OAD与△OCB全等的理由是 (填判定公理或推论的简写形式 ) .5 .等腰三角形中 ,有一个内角为 5 0°,则其余两个角的度数为 .6.等腰三角形的角平分线、中线和高共…     

三角形面积最大值的探究

<正>一个三角形中包含三个角及其对边共六个元素,这六个元素互相制约又协调统一.本文就三角形面积的最值问题展开探究:例题(2008年江苏高考)若AB=2,AC=2^(1/2)BC,则S△ABC的最大值为.解析本题是一道以"阿波罗尼斯圆"为背景的最值问题,从解析几何的角度出发解决本题并不难.解以B为原点BA为x轴负半轴,过B的垂线为y轴建立平面直角坐标系,则A(-     

一道《智慧窗》趣题的再探

<正>贵刊2015年11月刊登了瞿文华老师所写的《智慧窗》1."知角求角",很有启发,现顺思联想得一些有趣的结论.为了叙述方便,先将该题介绍如下:图1中,已知有六个角,你能根据此六个角求出有"x"标记的角度来吗?文中,巧添平行线方法,得解:x=75°.     

勃罗卡角的计算公式

已知△ABC中,P是其内部一点,如果角∠PAB=∠PBC=∠PCA=α,则称α为勃图1　罗卡角.点P称　为勃罗卡点(见图1).一般地,对于任意的三角形都有两个勃罗卡角与两个勃罗卡点,(见图2).当△ABC为正三角形时,两个勃罗卡点重合,此图2时α=β.由于P点是△ABC内部的一个特殊点,因此在△ABC确定之后,勃罗卡角与△ABC三个角A、B、C应有一种确定关系.文[1]讨论了勃罗卡点到△ABC三顶点距离之和与△ABC三边a、b、c的关系.本文就勃罗卡角与A、B、C三角之间关系作一讨论.定理　已知P是△ABC的一个勃罗卡点,相应的勃罗卡角是∠PAB=∠PBC=∠…     

三角形内角和一定等于180°吗?

一、探究结论同学们都知道三角形三个内角的和为180°,怎样探究得到这个结论呢?方法1用量角器测量出各角,然后相加,如图1,是用《几何画板》"度量"的结果.方法2改变三角形的形状,如图2,在《几何画板》中,拖动点A,当三角形很"扁"时,容易感受得到三个内角的和为180°.     

渺位六角系统完美匹配Z——变换图

六角系统是2-连通的平面图，其每个内部面都是单位正六边形．六角系统的完美匹配是化学中苯类芳烃体系的Kekule结构．一个六角系统H完美匹配Z—变换图Z（H）是一个图，它的顶点集是H的完匹配集，两个匹配相邻当且仅当它们的对称差是一个单位正六边形．本文用乘积图刻划了沙位六角系统Z—变换图的结构．     

三分角与双曲线

多少年来 ,三分角问题一直吸引着人们 .近来 ,我发现它有一条重要性质 .在引出性质定理之前 ,让我们先来规定两个概念 .我们把以两定点连线中垂线上的点称为顶点 ,两边过这两个定点且方向一致的一族角 ,叫做这两点的角族 .如图 1所示 ,A、B的角族中有角 :∠ AE1 B,∠ AE2 B,∠     

四面体的一种补形方法及其应用

如图1,从长方体中砍下一个角,可以得到直角四面体PABC.反之,对于直角四面体,我们可以将它补成长方体用以解题,这是立体几何中已经司空见惯的一种补形解法.本文介绍对于一般四面体都适用的另一种补形解法.如图2,从平行六面体中砍下四个角,可以得到四面体ABCD.反之,我们可以将四面体补成图2所示的平行六面体来解决一些问题.下举数例,予以说明.图1长方体图2平行六面体例1(2003年全国高中数学联赛题)在四面体ABCD中,设AB=1,CD=3,直线AB与CD的距离为2,夹角为3π,则四面体ABCD的体积等于()(A)23.(B)21.(C)31.(D)33.图3例1图图4例1图解…     

Morley定理的一种极限形式

美轮美奂的Morley定理[1]称:图1一个三角形的六条内角三等分线,与每边相邻的两线各交于一点,这三点是一个正三角形的顶点.(如图1)该定理一经问世,便一直为人们所津津乐道,的确不失为一个令人惊讶的数学定理.图2然而笔者发现,若将通常定义的三角形予以某种拓广:如将其一顶点A置于“无穷远点”,即通常所谓二平行直线A1B∥A2C被直线BC所截,得到折线图形A1BCA2(如图2).与直线A1B,A2C距离相等的点的轨迹,即“正中”平行线l仍然保持通常定义下的三角形的“角”平分线的某些性质.如:l与两角∠C,∠B的平分线三线相交于同一点I,此点到三“边…     

重视几何结论在解竞赛题中的应用

<正>在几何的学习中,积累一些常用的几何结论与掌握经典的基本图形同等重要,这些结论往往能起到事半功倍的效果.现以几道竞赛题为例,说明熟记一些几何结论的必要性.一、关于角平分线的几个结论(1)如图1,在△ABC中,作∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P,则∠P=90°+(1/2)∠A.(2)如图2,在△ABC中,延长BC到点D,作∠ABC和外角∠ACD的角平分线交于点P,则∠P=(1/2)∠A.     

海南省2006年中考数学科模拟试题(七)

一、选择题(满分20分,每小题2分)1·下列各组互为相反数的是()·A·|-3|与3B·3与-31C·3与(-3)2D·3与3-272·下列计算结果对的是()·A·4=±2B·(-2xy)3=-yx33C·(3)0 3-2=190D·a3·a4=a123·将两个全等的有一个角为30°的直角三角形如图拼放,两直角边在同一直线上,图中有全     

这样的面积等分线还有两条

<正>《中学生数学》2014年4月(下)智慧窗第5题为:图1是有八个相同的圆排成两行组成的.能平分此图面积的直线称为"平分线",则这样的"平分线"共有几条?给出的答案是:将图中第2行中的左、右两个圆删去(图2中有阴影的两个圆),于是剩下的六个圆是一个中心对称图形,它的对称中心是点O,过O点的任何一条直线l(但是直线     

也解这道中考题

贵刊在2011(2月下)第42页刊登了叶宏成老师的文章:"对一道中考题的思考",读后,很有启发,为此,我想补充两个解法,介绍出来,请广大读者指正.考题(2010安徽蚌埠)有一正方体,六个面上分别的写有数字1、2、3、4、5、6,有三个人从不同的角度观察的结果和图1①、     

三等分角线构成的三角形的性质

笔者在研究中惊奇地发现三角形有关角三等分线的交点构成的三角形有许多美妙的性质，特介绍如下，以飨读者．引理对任意△ABC，如果存在∠β，∠γ，使1二十七个莫莱三角形熟知的五个莫莱三角形及其位置关系见文[6]，而笔者在研究中又惊奇地发现；定理1如图1，与任意△ABC每边相邻的每两个优角（大于平角而小于周角的∠A、∠B、∠C称为△ABC的优角）相邻的三等分线的反向延长线的交点构成正△D8E8F8．且边长是：图1图2定理2如图2，任意△ABC任意一个优角与另两个劣角（小于平角的∠A、∠B、∠C称为△ABC的劣角）中，与每边相邻的…     

三角形费尔巴哈定理的解析证明

费尔巴哈定理　△ ABC的九点圆与它的内切圆及三个旁切圆都相切 [1 ] .本文介绍这个定理的一种解析几何证法 .　　　　　证明　在图 1所示的平面直角坐标系中 ,应用△ ABC三顶点坐标及其六心坐标定理 [2 ]有 :图 1A(y - zy zxr,2 xyzy zr) ,内心 I(0 ,r) ,三个旁心　 IA((z-     

Gutman极值六角链猜想的证明

六角系统是理论化学中苯碳氢化合物的自然图表示．六角链是一个六角系统满足任意一个顶点至多属于两个六角形，并且每个六角形至多与两个六角形相邻．Gutman提出了两个猜想：1）含有相同六角形个数、具有点独立集总数（Hosoya指数）最小的六角链是唯一的，且为锯齿链；2）含有相同六角形个数、具有边独立集总数（Merrifield－Simmons指数）最大的六角链是唯一的且为锯齿链．本文证实了这两个猜想     

余弦定理的逆定理及其应用

先给出以下定理. 定理1给定六个元素:三个正数a,b,c和三个小于180°的正角A,B,C,若｛a2 =b2 +c2-2bccosA① b2=c2+a2-2ca cosB ②c2=a2+b2-2abcosC ③则这六个已知元素能唯一确定△ABC.这里△ABC的三个内角分别为A,B,C,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.     

三角形“三高”的三个事实

<正>在这里,我们将论证与三角形三条高有关的三个事实.在论证的过程中将用到如下四点共圆的判定(人教版教材中没有):判定1对角互补的四边形内接于圆;如图1,若∠A+∠C=180°,则A、B、C、D四点共圆;判定2外角等于内对角的四边形内接于圆;如图2,若∠EAB=∠C,则A、B、C、D四点共圆;