利用特殊情形解题

本文浅谈利用特殊情形解数学题的几点体会,谨供参考。一、建立特殊情形与不变性的联系(1)利用特殊情形表现条件或结论中的不变性。定义、定理、公式、法则等都反映某种数学规律。有些规律不因图形的变动或数值的改变而变化。这就是规律中的不变性。例如,二次曲线上的任意一点,它到焦点的距离和它到准     

特殊情形在解题中发挥的作用

<正>"特殊"能在一定条件下反映或体现"一般".在数学问题的解决中,也往往是先分析特殊情况,再归纳出一般情形,即根据题目中的条件,选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形或在某种特殊的状态下进行计算、推理,寻找解决问题的方法或方向,取得特殊情况与一般情况之间的联系,进而获得整个问题在一般条件下的完整解决.值得注意的是,应用这种思想解题是有前提条     

解题中易忽视的几种特殊情形

数学中有许多题目,求解的思路很容易想到,入手也不难,但不少同学往往容易忽略对某些特殊情形的讨论,导致错解漏解.在解题中我们要学会全面地分析问题,培养思维的严谨性. 一、应注意空集的特殊情形 例1 已知集合A={x|x2-5x 4≤0}与B={x|x2-2αx α 2≤0,α∈R},满足B A,求α的取值范围.     

借助正方体解题

<正>正方体是一种常见而且典型的几何模型,立体几何中所研究的很多边角关系都可以在正方体中直观的展示出来,比如很多同学对这样一个问题比较困惑:有没有四个面都是直角三角形的四面体?此问题若从常规角度出发,不易举证.如图1,构造正方体,不难发现,三棱锥A-BCD四个面都是直角三角形.可见,     

借助等分圆周解题

借助等分圆周将“数”的问题转化为“形”的问题,这对于解决某些属于初等数论范畴的问题(包括数学竞赛题),简单、直观、奇妙,且富有成效。让我们先看一个比较简单而颇有启发性的例子。例1 求证:对任何自然数x,和数1+2+3     

借助辅助问题解题

1　 问题的提出引例　如图 1 ,甲、乙两船分别从 A、B点处出发 ,各船以匀速沿 AP—— 、BQ—— 方向进行直线航道行驶 ,求两船相距最近时 ,彼此之间的距离 .图 1　　　　图 2　　　　图 3分析　图 1中由于 A、B、P、Q是变化的 ,解题关键在于能不能想出一个更好着手解决的有关问题 ?考虑极端情况 (图 2中 ) ,当乙船在 B处抛锚 ,乙船速度为 0时 ,最短距离是BS.这种极端情况看似简单 ,但的确是个好念头 .只要考虑运动的相对性 ,给乙船加上一个运动 ,使乙船看作是停在 B处不动 ,这时甲船沿着图 3中 AP AP′=AP BQ′=AP- BQ =AT…     

借助向量的基底解题

一、基底的有关概念平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a→,有且仅有一对实数λ1、λ2使a→=λ1e1→＋λ2e2→     

借助几何模型快速解题

<正>1几何模型已知定圆☉O,P是☉O外一定点,A是☉O上的一个动点,结论:(1)A在线段PO上时,PA的值最小;(2)A在PO延长线上时,PA的值最大;证明如图1,连接PA、AO、PO,∵PA+AO≥PO,当A在线段PO上时,取等号,PA的最小值为PO-AO;(2)如图2,连接PA、AO、PO,∵PO+AO≥PA,当A在PO延长线上时,取等号,PA的最大值为PO+AO.     

例说“特殊”情形的特殊价值

存在于数学知识中的“特殊”情形,例如数学知识中一些特殊的存在形式、特殊的表达方式,某些定理或性质存在的一些特殊条件以及解决问题过程中的一些特殊方法等等,在学生的数学学习中都起到了重要的教育作用,不少“特殊”甚至还是理解数学知识,乃至最终解决问题的关键所在.1. 数学认识过程的切入点我们可以看到,在数学学习中,一个概念的产生、某一规律的形成,经常是从一些特殊的情形开始,通过分析、归纳、猜想与演绎等各种方法得到完成的,这是数学重要的思想方法———归纳推理,著名数学家高斯就曾说过,他的许多结论都是依赖归纳法而发现…     

构造特殊图形解题

<正>在几何解题中,对于那些构图条件较为特殊,相对而言,难度又稍大的题目,可依据条件来一个将计就计,即在图形中重新构造有关的特殊图形,由此,就使解决问题的条件变得好用.下面,就以竞赛题为例,来感受一下这方面的风彩!     

特殊取值妙解题

午饭后,阿木老师在教室和大家聊天.班里的"数学王子"坏笑着对阿木老师说:"阿木老师,您数学这么厉害,那会不会做初中的数学题呀?"围观的同学们一听,原来是"数学王子"要挑战阿木老师了.     

借助波利亚解题思想 促进数学素质教育

波利亚是 2 0世纪最伟大的数学思想家 ,他的解题思想具有划时代的贡献 .徐利治先生倡导 :“我们要培养和造就一批波利亚型的数学工作者 ,要按照波利亚的思想改革数学教材和教学方法”,这为数学教育改革提供了理论依据 .因此 ,用波利亚的解题思想指导教学实践 ,无疑会大力推动数     

借助数形结合促升解题能力

<正>数与形是数学的两大核心内容,二者表面看相互独立,实则紧密联系,往往是数中有形,形中有数．解题时将数与形相互转化可以使问题变得简单、直观,进而方便学生结合已有认知找到解题的切入点,从而高效、高质解决问题．然在现实教学中发现,部分学生数形结合意识淡薄,考试时很少应用数形结合思想解决问题,应用也仅限于将简单的代数问题转化为几何图形,究其原因是学生对数形结合的重要性认识不足,难以发现代数问题中的几何意义,也不能将几何中的数量关系转化为代数问题进行求解．为此,在教学中,教师要重视渗透和启发,引导学生巧借数形转化提升解题效率．     

应用题的特殊解题思路

本文为中师《算理》课本应用题的特殊解题思路作了进一步的探索,并力图紧折其解题思路对应用题进行较为深入的数理剖析。供同志们教学时参考 一、代替法 代替法是特殊解题思路中最基本的一种方法。其思路是:选定一个未知数量作为比较的标准,称为“标准量”,算作1倍(或一份),然后根据其它未知数最和这个“标准最”的关系.——用这个“标准量”把它们反映出来,这就谓     

借助特殊思维，构建熟知模型

<正>在解决一些数学问题时,经常借助构建适当的特殊数学模型,有效实现数学问题的基本化、模型化、熟知化,实现数学知识的合理迁移与转化,通过熟知数学模型问题的分析、处理与破解,实现特殊思维化处理数学问题的目的.     

几何解题中的特殊元素法

在解答几何问题时,我们经常要求学生注意问题的一般性,谨防特殊代替一般的错误。但解题实践告诉我们,仅强调这一面是不对的,有些几何问题,巧妙地应用满足题设条件的特殊元素,常能收到事半功倍之效,因此在教学中我们也必须引导学生去研究另一面——问题中的特殊情况。现按所取特殊元素的不同,举例归纳如下,供教学时参考。一、取特殊值例1 如图1,在Rt△ABC中,AC=BC,DEF弧的圆心为A,如果图中的两个阴影部分的面积相等,那么     

由特殊到一般解题两例

众所周知,通常解决数学问题是借助题意条件,凭借定义、定理或性质,按照运算的一般规律进行求解．事实上,有些问题的处理可以打破惯例,从特殊出发寻找问题的着眼点得到所求,然后对一般进行验证,达到解决问题的目的．下面就两道探索问题,进行分析与求解,以飨读者．     

从特殊入手 寻解题途径

<正>当我们面对的数学问题比较复杂而无从着手时,从特殊数入手往往是克服困难解决问题的好办法.本文关注"特殊数",请"特殊数"来帮忙,从而使难题获得巧解,现举例说明.例1设a-b=2+3^(1/2),b-c=-3(1/2),b-c=-3⁽³⁾+2,则a(3)+2,则a²+b2+b²+c2+c²-ab-bc-ca的值为__.分析根据一般情况下成立的式子,在特殊情况也必然成立的辩证观点,对某些问题可在已知条件中赋予特殊常数,寻找解题途径.     

一般情形巧转化，特殊思维妙应用

在解答一些小题时,合理寻找与挖掘问题的性质与内涵,采用特殊与一般的数学思想方法,寻求问题的一般解法.本文结合2022年高考真题实例,通过借助特殊思维来解决一般性问题,优化思路、简化过程、减少运算、提升效益,引领并指导复习备考.     

从特殊情形入手 破解线段最值问题

图形运动问题是中考数学命题的热点和重点题型.对考生而言,由于这类题综合性强,类型多样,包含知识点多,考查学生计算、推理、猜想、探究归纳等诸方面的数学能力,是易失分的难点.其中,动点下线段长度最值问题作为压轴题,常出现在选择、填空、综合解答题中,是典型中考题.