共查询到20条相似文献,搜索用时 687 毫秒
1.
2.
一、问题的来源例 :已知 :当 |x|≤ 1时 ,有 |ax2 +bx +c|≤ 1 .证明 :当 |x|≤ 1时 ,有 |2ax +b|≤ 4 .以上为一匈牙利奥数竞赛题 ,综观各类文献 ,其典型的证法有以下两种 :证法一 :记f(x) =ax2 +bx+c,g(x) =2ax+b.因函数 g(x)在 [- 1 ,1 ]上单调 ,故只要证明在已知条件下有 |g(1 ) |=|2a+b|≤4且|g(- 1 ) |=|- 2a+b|≤ 4即可 .易知2a+b=32 (a +b +c) +12 (a -b +c) - 2c=32 f(1 ) +12 f(- 1 ) - 2f(0 ) .于是由 |f(- 1 ) |≤ 1 ,|f(0 ) |≤ 1及|f(1 ) |≤ 1 ,知 |2a +b|≤ 32 |f(1 ) |+12 |f(- 1 ) |+2 |f(0 ) |≤32 +12 +2 =4,即 |2a +b|… 相似文献
3.
引入辅助函数以帮助解题是数学上的重要方法,引入辅助函数后,可以运用函数的增减性,定义域、值域、最值、连续、可导,可微、可积来帮助解题。现举几例加以说明: 例1 求证(|a+b|)/(1+|a+b|)≤(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|) 分析:由于0≤|a+b|≤|a|+|b|、把|a+b|,(|a|+|b|)作为一个变量的两个不同的值,设x_1=|a+b|、x_2=|a|+|b|。原不等式化为x_1/(1+x_2)≤x_2/(1+x_2),因此只要证明函数f(x)=x/(1+x)在x≥0是增函数即可,用研究函数的增减性来代替不等式的证明。 相似文献
4.
湖北省部分重点中学 2 0 0 3届第一次联考数学试卷上有这样一道题 :已知 f(x) =ax2 +bx +c,如果x∈ [-1 ,1 ]时 ,均有 | f(x) |≤ 1 .1 )求证 :|c|≤ 1 ;2 )当x∈ [- 1 ,1 ]时 ,试求 g(x) =|cx2+bx +a|的最大值 ;3)试给出一个这样的 f(x) ,使 g(x)确实取到上述最大值 .命题者的解答如下 :解 ∵x∈ [- 1 ,1 ]时 ,| f(x) |≤ 1恒成立 ,令x =0 ,得 |c|≤ 1 .2 )∵g(x) =|cx2 +bx +a|=|cx2 -c+c+bx +a|≤ |cx2 -c| + |c+bx +a|=|c| ( 1 -x2 ) + |c +bx +a|≤ |c| + |c+bx +a| ,由于函数 φ(x) =|c +bx +a|在 [- 1 ,1 ]的端点处取到最大值 .所以… 相似文献
5.
对于形如y=√x2+b1x+c1±√x2+b2x+c2的函数,可以联想直角坐标系内两点间距离公式,利用三角形三边长的关系来求最小(大)值.例如,为求函数y=√x2-2x+2+√x2-12x+40的最小值,先配方成y=√(x-1)2+(0-1)2+√(x-6)2+ (0-2)2,再设定点A(1,1),B(6,2),A'(1,-1)及x轴上动点P(x,0),那么y=|PA+|PB|;因为|PA|+| PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|,所以当点P恰和A'B与x轴交点Q重合时,|PA|+|PB|最小等于|A'B|,即x=8/3时y取最小值√34(如图1所示);而当x→∞时y→+∞,所以y没有最大值. 相似文献
6.
7.
<正>贵刊文[1]利用函数f(x)的"不动点"巧妙地求出了形如an=(a·an-1+b)/(c·an-1+d)(a,b,c,d均不为零且(d-a)+4dc≥0),及an=(a·an-12+b)/(2a·an-1+c) (a,b,c均不为零且c2+4ad>0)的数列通项公式,读后深受启发.经过研究,本人发现利用函数f(x)的"不动点"还可求出如下一种形式的数列通项公式: 相似文献
8.
9.
在高三的一本数学复习资料中,有一道关于含向量的方程的解的存在性的问题.下面在该题求解的基础上探讨一下怎样判断和解含向量的方程. 题目 已知a,b,c为非零向量且a⊥b,x∈R,x1,x2 是方程ax2 + bx + c=0的两实根,求证:x1=x2 .1 解法探讨错解 因为a⊥b则a·b=0 .b·(ax2 + bx+ c) =0 ,(b·a) x2 + b2 x+ b·c=0 ,∴ x=- b·cb2 .故,原方程只有唯一解,所以x1=x2 .错因分析 “将原方程两边同点乘b”,不是同解变形.b·(ax2 + b·x+ c) =0成立时,除了ax2 + bx+ c=0外,还有可能是b⊥(ax2 + bx+ c) .所以- (b·c) / b2不一定是原方程的解.… 相似文献
10.
本文例析含有式子|x+a|+|x+b|一类问题的解题途径. 途径一对|x+a|+|x+b|分类讨论,去绝对值可理解为分段函数. 途径二从几何意义来看|x+a|+|x+ b|可理解为数轴上动点P(x)到定点A(-a), B(-b)的距离之和. 相似文献
11.
下面对 2 0 0 4年北京春季高考的客观题的速解作一点解及点评 ,希望对考生在复习迎考中有所帮助 .选择题1.在函数 y =sin2x ,y =sinx ,y =cosx ,y =tan x2 中 ,最小正周期为π的函数是 ( )(A) y =sin2x . (B) y =sinx .(C) y =cosx . (D) y =tan x2 .点通 回归公式 .由弦、切函数的最小正周期公式T =2π|ω|及T =π|ω|,即知仅 y=sin2x的最小正周期是π ,而选 (A) .点评 求三角函数的最小正周期是历年高考的一个热点 ,其解法是 :先化为标准型 y =f(ωx +φ)+k ,再由公式T =2π|ω|或T =π|ω|即得 .2 .当 23相似文献
12.
13.
考虑如下一类Kirchhoff方程Neumann边值问题:{-(a+b∫Ω(|↓△u|2+|u|2dx)(△u-u)+=c(x)|u|q-2u+f(x,u)■u/■v=0,其中Ω■RN是光滑有界域,c(x)可能是变号函数,a≥0,b>0且a+b>0,1
相似文献
14.
15.
函数是中学数学的重要基础知识 ,对函数问题的研究贯穿中学数学的始终 ,函数的极值又是函数的一个重要性质 ,并在生产、生活和社会实践中有着广泛应用 ,本文将应用化归思想方法根据基本初等函数的性质来研究几类无理函数的极值问题 .类型 1 y=px q ax b( pa≠ 0 ) ,这种类型题通过代换 t=ax b可化为二次函数进行讨论 .类型 2 y =px q ax2 bx c( pa≠ 0且 b2 - 4ac>0 ) ,这种类型题通过三角代换可化为三角函数进行讨论 .例 1 求下列函数的极值 :( 1 ) y =- 2 x 1 x 2 ;( 2 ) y =x - 2 4- 2 x - x2 ;( 3) y =2 x -… 相似文献
16.
本刊 2 0 0 3年第 8期中 ,金亮同学的结论是 :当两相交直线的斜率之积为± 1时 ,两直线方程相加减即得两直线所成角的平分线方程 .我经研究后发现 ,该结论的表达不准确 ,这从金亮同学的证明中可以看出 ,应改为 :两相交直线ax +by +c1 =0与bx±ay +c2 =0 ( |a|≠ |b| ,a≠ 0 ,b≠ 0 )的方程相加减即得两直线所成角的平方线方程 .因为a2 +b2 =b2 + (±a) 2 ,本人可将此结论推广如下 .推广 当两相交直线l1 ∶a1 x +b1 y +c1 =0 ,l2 ∶a2 x +b2 y +c2 =0 (a1 b2 ≠a2 b1 ) ,满足a21 +b21 =a22 +b22 时 ,两直线方程相加减可得 .证明设 (x ,y)为… 相似文献
17.
《中学生数学》2016,(17)
<正>构造函数法就是根据所证不等式的特征,构造适当的函数,然后利用一元二次函数的判别式、函数的奇偶性、单调性、有界性等性质来证明不等式,这种方法,统称为构造函数法.例1设a,b,c∈R,求证:a2+ac+c2+ac+c2+3b(a+b+c)≥0,并指出等号何时成立.证明左边整理成关于a的二次式f(a)=a2+3b(a+b+c)≥0,并指出等号何时成立.证明左边整理成关于a的二次式f(a)=a2+(c+3b)a+c2+(c+3b)a+c2+3b2+3b2+3bc.∵Δ=(c+3b)2+3bc.∵Δ=(c+3b)2-4(c2-4(c2+3b2+3b2+3bc)= 相似文献
18.
用构造法证明不等式 总被引:3,自引:1,他引:2
证明不等式时 ,从研究题目的条件与结论入手 ,巧妙构造方程、函数、不等式、数列、图形等 ,可以使不等式获得简捷证明 ,下面从四个方面谈谈怎样用构造法证明不等式 .1 寻觅题设或结论的固有规律进行“构造”例 1 已知a>b>c.求证 1a-b+ 1b-c+1c-a >0 .简析 :寻觅题设条件a >b>c的固有规律 ,若令x1>x2 >0 ,则必有a=x1+c,b=x2 +c .用构造方程a =x1+c ,b=x2 +c(x1>x2 >0 )去证明 ,简洁明快 .证明 因为a>b>c可构造方程a =x1+c,b =x2 +c(x1>x2 >0 ) ,将它们分别代入特征式 ,得 1a-b + 1b-c + 1c-a =1(x1+c) - (x2 +c) + 1x2 +c-c +1c- (x1+c) =… 相似文献
19.
20.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)是初中数学的重点内容,本文介绍解整系数一元二次方程含有参数的整数根问题的五种基本方法. 1.求根公式法若能将方程ax2+bx+c=0的根表示成有理式则可结合整除性求解. 例1 求整数m,使关于x的一元二次 相似文献