初中平面几何基础培优讲座之十 正三角形综合练习(下)

<正>例12(1991年北京市中学生数学竞赛初二年级复赛试题四)如图11,△ABC是边长为1的正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作ー个60°的角,角的两边分别交AB于M,交AC于N.连接MN,形成一个三角形AMN.求证,△AMN的周长等于2.证明因为∠ABC=∠ACB=60°,∠CBD=∠BCD=30°.     

等腰三角形的一个有趣性质

<正>笔者在利用几何画板绘制几何图形时,发现等腰三角形一个有趣的性质:在△ABC中,AB=AC,∠BAC≠60°,AD是△ABC的角平分线,点E在直线AC上,且∠DEC=30°,线段DE的垂直平分线交直线AB于点F,则∠ADF等于30°或150°.显然,点E的位置与△ABC的形状有关.分两种情况:一、当∠BAC<60°时,有两种情况.1.当点E在线段AC上时,如图1所示.     

中考中的另类梯形

梯形是一类特殊的四边形,它具有不同于一般四边形的性质.在中考中,梯形一直是重点考查内容,尤其是对等腰梯形的考查,因为等腰梯形的两腰相等,这又使得等腰梯形具有不同于一般梯形的独特性质.近几年中考中,又出现了很多另类的梯形,下面介绍一下这方面的知识点. 一、“黄金梯形” 我们通常把顶角为36°的等腰三角形叫做“黄金三角形”,那么我们可以由“黄金三角形”得到“黄金梯形”.如图1,△AABC是等腰三角形,其中A B=AC,∠A=36°.BE、CD分别是△ABC的两底角平分线,BE、CD相交于点O,连接DE.     

欧几里得为何舍近求远?

<正>等腰三角形是一种轴对称图形,它具有许多重要的性质,其中“等腰三角形的两底角相等”这条性质的证明方法十分丰富．教材中给出了3种证法．已知,如图1,在△ABC中,AB=AC,求证∠B=∠C．证法1作顶角的平分线,用“SAS”证明．证明如图2,作顶角的平分线AD,所以∠1=∠2,     

分类解析子母等腰三角形的顶角

<正>问题呈现如果一个等腰三角形的一条分角线把它分成两个小等腰三角形,那么就称这个等腰三角形为子母等腰三角形.试问子母等腰三角形的顶角是多少度?这个问题的解答首先考虑到顶角的分角线与其中一个底角的分角线分成小三角形两类.1.顶角分角线分成两个小等腰三角形如图1,已知△ABC,     

等腰三角形一条性质的多种证明与拓展

等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高.已知:如图1,在△ABC中,AB=AC,点P是边BC上任意一点,     

分类讨论求解一例

<正>题目已知△ABC,∠B=36°,△ABC能分成两个等腰三角形,画出各种可能情况的示意图,并在示意图中标注两个等腰三角形各内角的度数.要将△ABC分成两个三角形,则分割线必从一个顶点出发,这个分割线可以是从B点出发,也可以是从A(或C)出发,因此需要分两种情况进行解决:(一)当分割线从点A出发时(如图1),由题意知△ABD和△ADC为等腰三角形.在     

妙用旋转巧解竞赛题

<正>旋转是几何中的一种图形变换,充分利用旋转的性质,将分散的已知条件和未知条件巧妙加以整合,可以在已知与未知之间架起一座桥梁,可使复杂问题简单化,使解题过程简洁.下面举例说明.例1(第十九届全国中小学生数学公开赛八年级人教版第24题)如图1,△ABC是边长为1的等边三角形,△BCD是顶角为120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°的∠MDN,点M、N分别在AB、AC上,求△AMN的周长.     

诡辩一则--任意三角形均为等腰三角形

命题　如图 1 ,已知△ ABC是任意三角形 ,∠ A的平分线与 BC的垂直平分线交于点 O,则△ ABC是等腰三角形 .证明　如图 1 ,过 O作 OE⊥ AB,OF⊥ AC.∵　 AO为∠ A的平分线 ,∴　 OE =OF,又　 OA =OA,∴　 Rt△ AOE≌ Rt△ AOF.∴　 AE =AF.连结 OB、OC.∵　 O在 BC的垂直平分线上 .∴　 OB =OC.　又　 OE =OF,∴　 Rt△ BOE≌ Rt△ COF.∴　 BE =FC.又　 AE =AF,∴　 AB =AC.故△ ABC为等腰三角形 .诡辩揭密 :我们知道 ,准确作图是欧氏几何的特点之一 ,忽视规范作图是多数人常犯的通病 ,由此而得到错误结论…     

智慧窗

找点如图.在等腰△ABC(AB=AC≠BC)所在的平面内找一点P,使点P与三角形的各边分别构成等腰三角形,你知道这样的点有几个吗?     

等顶角、共顶角顶点的等腰三角形

<正>三角形是平面几何中的基本图形之一,等腰三角形又是特殊的三角形,如果两个等腰三角形顶角相等且共顶点,又能产生什么样的"火花"呢?问题一已知:C是线段AB所在平面内任意一点,分别以AC、BC为边,在AB同侧作等边三角形ACE,等边三角形BCD.如图1,当点C在线段AB上移动时,AD=BE是否总成立?证明你的结论.证明∵△ACE是等边三角形,∴AC=CE,∠ACE=60°.∵△BCD是等边三角形,∴BC=CD,∠BCD=60°.∴∠ACE=∠BCD.     

用等腰三角形推导倍角公式

高一代数课本中的倍角公式,是用三角方法推导的,本文通过腰为1的等腰三角形的构造,给出倍角公式一个新颖的推导方法。如图,作△ABC,使AB=AC=1,∠A=2a,则∠B=∠C=90°-a,BC=2sina。在△ABC中,由正     

构造A字型 图解中考题

<正>构造是一种创造能力,就平面几何而言主要是作辅助线,本文以2014年几道中考题为例,谈谈如何构造课本基本图形(如图1常称A字型)解(证)题.例1(湖北黄石)AD是△ABC的中线,将BC边所在直线绕点D顺时针旋转α角,交边AB于点M,交射线AC于点N,设AM=xAB,AN=yAC(x,y≠0).(1)如图2,当△ABC为等边三角形且α=30°时,证明:△AMN∽△DMA;     

2016年全国高中数学联赛加试（A卷）试题及参考答案

二、（本题满分40分）如图1所示,在△ABC中,X,y是直线BC上两点（X,B,C,Y顺序排列）,使得BX·AC=Cy·AB．设△ACX,△ABy的外心分别为O1,O2,直线O1O2与AB,AC分别交于点U,Y．证明：△AUV是等腰三角形．     

巧用辅助圆解课外练习题

<正>《中学生数学》2018年5月下初三年级课外练习题第3题为:如图1,设P,Q是线段BC上的两个定点,且BP=CQ,A为BC外一个动点,当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时,判定△ABC的形状,并证明你的结论.参考答案给出的解法是:△ABC是等腰三角形.证明∵BP=CQ,∴S_(△BAP)=S_(△CAQ).即1/2AB×APsin∠BAP=1/2AC×AQsin∠CAQ.∵∠BAP=∠CAQ,     

由一道题的解题过程所想到的

笔者在某丛书中看到这样一道题及解答过程： 例题 如图1，已知△ABC中，∠ABC=90°，延长AC到点D，连接BD，若∠CBD=30°且AB=CD=1，求AC的长．     

由两个简单结论引发的对一道竞赛题的探究

结论一:角平分线+垂线(→)等腰三角形(及底边的中点). 具体理解:如图1,OP是∠MON的平分线,AB ⊥OP,分别交OM、ON于点A、B.则有以下结论成立:①OA =OB;②点C是AB的中点.即△AOB是等腰三角形,垂足是等腰三角形底边的中点.特别说明:结论②用的更多一些.证明比较简单,这里从略. 结论二:直角三角形一个锐角的平分线与斜边上的高线以及该锐角的对边围成等腰三角形. 具体理解:如图2,已知△ABC中,∠ACB=90°,AB边上的高线CH与△ABC的一条角平分线AM相交于点P.求证:CM=CP(△CMP是等腰三角形).     

三角形内心的一个性质及推广

<正>图1性质如图1,点P是△ABC的内心,过点P垂直于AP的直线分别交AB、AC于点D、E,则DE是△PBC外接圆的切线.证明∵点P是△ABC的内心,DE⊥AP,显然易证Rt△APD≌Rt△APE,∴∠ADE=∠AED,在△ADE中,∠ADE+∠AED+∠DAE=180°,即2∠ADE=180°-∠DAE①同理∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC②由①、②得∠ADE=12∠ABC+12∠ACB,而∠ADE=∠DBP+∠DPB=12∠ABC+∠DPB,∴∠DPB=12∠ACB=∠PCB,     

构造含特殊角的直角三角形

同学们都知道.30°、60°、45°的角都是特殊角,如果题目中特殊角恰好在给定的直角三角形中,那么不难将问题解决,若题目中特殊角不在直角三角形中,这就要求我们努力构造含特殊角的直角三角形,以化难为易.下面举例进行说明. 例1 已知如图1,在△ABC中,AC=2,BC=4,∠ACB=60°,将△ABC折叠,使点B和点C重合,折痕为DE.则△AEC的面积是______. (2000年“希望杯”试题)     

一道中点试题的解法探究

<正>中点是初中几何最常见的概念之一,中点与其他知识有着紧密的联系.由中点可以产生很多的联想,比如中线、中位线,等腰三角形三线合一、直角三角形斜边上的中线等等,这些联想往往都是解题的突破口,下面让我们一起来看一道有关中点证明的题目.1试题呈现如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,将△ABC绕点A逆时针旋转,得到△ADE,旋转角为α(0°<α<90°),连接BD