双曲线的通径不一定是最短的焦点弦

设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0,c=a2+b2),取其右焦点F(c,0),过点F的直线与双曲线交于不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2).若P1,P2同在双曲线右支上,则当P1P2垂直于实轴时,|P1P2|取最小值2b2a(即通径长)(证明见《中学数学》2005年第7期P16);若P1,P2分别在双曲线左、右支上,则当P1P2垂直于虚轴时,|P1P2|取最小值2a(即实轴长).证明如下:证明令直线P1P2的方程为y=kx+m(|k|相似文献   

椭圆、双曲线中的两类最值问题

1　问题的提出例 1　如图 1 ,已知双曲线 x24- y2 =1 ,过右焦点 F2 作直线 l与双曲线右支交于 A、B两点 ,设左焦点为 F1,求 | F1A| .| F1B|的最小值 .图 1分析 1　在双曲线 x24- y2 =1中 ,a =2 ,b=1 ,c = 5,F1( - 5,0 ) ,F2 ( 5,0 ) ,e =52 .为了书写方便 ,不妨设| F1A| =m,| F1B| =n,即求 m .n的最小值 .若求出 A、B的坐标 ,再求| F1A| .| F1B| ,显然比较复杂 .由双曲线的定义 :　 m - | F2 A| =4,n - | F2 B| =4,m .n =( 4 | F2 A| ) ( 4 | F2 B| )　 =1 6 4 ( | F2 A| | F2 B| ) | F2 A| .| F2 B|　 =1 6 4 | A…     

新题征展(33)

A　题组新编1 .( 1 )已知平面上的点 P( - 2 ,- 2 )、Q( 0 ,- 1 ) ,若点 R( 2 ,m)使 | PR| | QR|最小 ,则 m =,| PR| | QR|的最小值是.( 2 )已知直线 l:x y =8,点 F1( - 4,0 )、F2 ( 4 ,0 ) ,在直线上取一点 M,过 M作以F1、F2 为焦点的椭圆 ,求长轴最短时该椭圆的方程 .( 3)抛物线 y2 =4 x上一个动点 P,抛物线的焦点为 F,又知定点 A( 3,1 ) ,则 | AP| | PF|的最小值是 ,此时 P点的坐标是.( 4 )已知点 A( 3,2 ) ,F是双曲线 x2 - y23= 1的右焦点 ,P为双曲线上任意一点 ,则| PA| 12 | PF|的最小值是 ,此时 P点的坐标是 …     

对一道课本习题的探讨所得

高中平面解析几何必修课本的几种版本的总复习题都有这样的一道题 :证明 :等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项 .教参给其提供了两种解法 ,这里再介绍两种解法 .解法 1　设等轴双曲线方程为 x2 - y2 =a2 ,则离心率 e =2 ,P( x,y)为其上任一点 ,F1、F2 为左右焦点 ,O为坐标原点 ,| PF1| =r1,| PF2 | =r2 ,由双曲线的焦半径知 :r1.r2 =| a ex| .| a - ex|　 =| a2 - ex2 | =| a2 - 2 x2 |　 =| x2 - y2 - 2 x2 | =| - x2 - y2 |　 =x2 y2 =| OP| 2 .图 1解法 2　如图 1 ,由高中解几课本 P6例 2 (或叫三…     

综合题新编选登

题 73　 双曲线 x2a2- y2b2 =1(a >0 ,b >0 )的左、右焦点分别为F1,F2 ,点P(x0 ,y0 )是双曲线右支上一点 ,且x0 >2a .I为△PF1F2 的内心 ,直线PI交x轴于Q点 ,若 |F1Q| =|PF2 | ,当a ,b变化时 ,求I分PQ的比λ的取值范围 (见图 1) .解　设双曲线半焦距为c ,则c =a2 +b2 .∵I为PQ的内分点 ,则λ =PIIQ=|PI||IQ| .由内角平分线定理知|PI||IQ| =|PF1||F1Q| =|PF2 ||F2 Q| .又∵ |F1Q| =|PF2 | .∴|PI||IQ| =|PF1||PF2 | ,可得|PI| - |IQ||IQ| =|PF1| - |PF2 ||PF2 | =2a|PF2 | ,|PI||IQ| =|F1Q||F2 Q| ,可得|PI| …     

椭圆和双曲线切线的一个性质

笔者发现椭圆和双曲线切线的一个新性质 ,并由此得到椭圆和双曲线切线的一种新颖作法 .定理 1　设 P为椭圆 x2a2 + y2b2 =1上任一点 ,过原点 O作焦半径 PF1的平行线交椭圆在 P点处的切线于 T,则 | OT| =a,且 TF2 ⊥PT.图 1　　　　　图 2证明　如图 1所示 ,延长 F1P,F2 T交于点 E,由 PF1∥ OT知 T为 EF2 的中点 ,故| ET| =| TF2 | ,由椭圆切线的几何性质 [1] 知∠ 1 =∠ 2 ,于是有∠ 3=∠ 2 ,在△ PEF2 中 ,PT为角平分线 .∴　 | PF2 || PE| =| F2 T|| ET| =1故 | PF2 | =| PE| .由此易知△ PF2 T≌△ PET,故 TF2 ⊥P…     

双曲线定义的变式

本刊文 [1]介绍了椭圆定义的几个变式 ,它为同学们学习椭圆拓宽了知识空间 .那么 ,双曲线定义的变式又如何呢 ?本文来研究这个问题 .为了讨论方便 ,先将课本对双曲线方程的推导过程摘录如下 :以两定点F1,F2 所在直线为x轴 ,线段F1F2中点为坐标原点 ,建立直角坐标系 ,设M (x ,y)是双曲线上任一点 ,F1(-c ,0 ) ,F2 (c,0 ) (c>a) ,则由双曲线定义得|MF1| - |MF2 | =± 2a (1)而 |MF1| =(x +c) 2 + y2 (2 )|MF2 | =(x -c) 2 + y2 (3)故得(x +c) 2 + y2 - (x -c) 2 + y2 =± 2a (4)移项平方得cx -a2 =±a (x -c) 2 + y2 (5 )再平方整理得(c…     

花开双曲线 蝶落哪一支

问题源自一道常见的习题:已知P是双曲线x2/36-y2/64=1上的一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．(1)若|PF1|=14,则|PF2|= _____;(2)若|PF1|=3,则|PF2|=______．常见解法如下:     

圆锥典线解题典型错误分析

圆锥曲线是解析几何的重要内容,由于其知识覆盖面广、隐含信息量大,学生在学习圆锥曲线时,往往理解不深、考虑不周,因而出现很多错误.下面举几个例子加以分析.一、忽视题设的几何条件例1:已知F1、F2是双曲线x216-y220=1的左、右焦点,点P在双曲线上,若点P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦点F2的距离.错解:双曲线的实轴长为8,由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=8,即|9-|PF2||=8,得|PF2|=1或17剖析:该解答解题思路正确,推理符合逻辑,但结论却不正确.仔细分析条件,我们可以看出由于点P到焦点F1的距离等于9,因此点P应该在双曲线的左支上,因为…     

2007高考(重庆卷)压轴题的一般情形

2007年高考(重庆卷)的压轴题22是:图1如图1,中心在原点O的椭圆的右焦点F(3,0),右准线l的方程为x=12·(1)求椭圆的方程;(2)在椭圆上任取三个不同点P1,P2,P3,使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1,证明1|FP1| |F1P2| |F1P3|为定值,并求此定值·(答案:(1)3x62 2y72=1;(2)定值为32)由此题,笔者得到了以下一般性的结论:定理1设P1,P2,…,Pn(n≥3)是椭圆Γ上的不同点,F是Γ的一个焦点,且∠P1FP2=∠P2FP3=…=∠Pn-1FPn=∠PnFP1,则∑ni=11|FPi|=nba2(其中a,b分别是Γ的长半轴,短半轴长)·定理2若双曲线Γ的一个焦点是F,且Γ的同一支上存在(n≥3…     

椭圆、双曲线另一组离心率公式及其应用

求椭圆、双曲线离心率一般涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点,综合性强方法灵活,解题关键是挖掘题中的隐含条件,可先找出含a,b,c的等式关系,再求离心率·在教学过程中,笔者发现椭圆、双曲线另一组离心率公式给我们解决某一类离心率问题会带来意想不到的“神奇”效果!现用定理的形式叙述并证明·1离心率公式定理1(如图1)设椭圆x2a2+yb22=1(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P是椭圆上异于长轴端点的任意一点,在△PF1F2中,记∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,∠F1PF2=γ,e是椭圆的离心率,则有sinαsin+γsinβ=e·图1图2证明在△PF1F2中,|sPinFα2|=|sPinFβ1|=|Fsi1nFγ2|,则|PF2|+|PF1|sinα+sinβ=|Fsi1nFγ2|,∴sinα2+asinβ=si2ncγsinαsin+γsinβ=22ac=e·定理2(如图2)设双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P是双曲线上异于实轴端点的任意一点,在△PF1F2中,记∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,∠F1PF2=γ,e是双曲线的离心率,则有|sinαsin...     

两个性质的完善与启示

文[2]在文[1]的基础上推出了如下两个性质:性质1过双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的顶点A的弦AQ交于y轴于点R,过双曲线中心O的半弦OP∥AQ,则|OP|2=1/2|AR|·|AQ|.性质2 MN是过双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的焦点F的弦,过双曲线中心O的半弦OP∥MN,则|OP|2=a2|MN|.这两个性质只有当A和Q(或M和N)分别在双曲线的左、右分支上才成立,我们来看一个特例:过双曲线x2-y2=1的左顶点A且倾斜角为60°的弦AQ交y轴于点R,过双曲线中心O的半弦OP∥AQ,则由文[2]性质1和性质2的证明过程知|OP|2=a2b2b2cos2α-a2sin2α=1·11·cos260°-1·sin…     

共轭双曲线"渐准点"的若干性质

文[1]介绍了有关双曲线“渐准点”的若干性质,受此启发,笔者继续研究了共轭双曲线“渐准点”的一些性质.为行文方便,如图,我们记横向双曲线x2a2-2yb2=1(a>0,b>0)的左准线x=-a2c与渐近线的交点为P,纵向双曲线y22b-x2a2=1(b>0,a>0)的下准线y=-b2c与渐近线的交点Q,那么渐准点P,Q有下列几个性质:性质1 PF1=baQF1;性质2 tan∠F1PF2·tan∠F1QF2=4;性质3|PQ|=a b;性质4 PF1·PF2 QF1·QF2=-c2;性质5 S梯形PQF1F1′=(a b)22;性质6 SΔPOF2=SΔQOF′2.下面一一证明之.性质1的证明:不难得到P(-a2c,abc),Q(abc,-2bc),F1(-c,0),F2(c,0…     

新题征展(50)

A　题组新编1 .(1 )在△ ABC中 ,设 BC=a,CA =b,AB =c,则△ ABC为正三角形的充要条件是a . b =b . c =c . a.(2 )设 O、A、B、C是平面内互异的四点 ,OA =a,OB =b,OC =c,且 a b c=0 ,a . b =b . c =c . a,试判断△ ABC的形状 .(3)在四边形 ABCD中 ,设 AB =a,BC= b,CD =c,DA =d,且 a . b =b . c =c .d =d . a,试判断四边形 ABCD的形状 .(本题由金曦东供题并作答 )B　藏题新掘2 .双曲线 x24 - y25=1的左、右焦点分别为 F1、F2 ,P是双曲线右支上一点 ,I为△ PF1F2 的内心 ,PI交 x轴于 Q点 ,若 |F1Q|= |PF2 |,则 I分 P…     

双曲线平行弦的两个性质

笔者通过对双曲线的探究,发现了它的平行弦之间的两个新颖有趣的性质.性质1如图1,过双曲线x2a2-2yb2=1(a>0,b>0)的顶点A的弦AQ交y轴于点R,过双曲线中心O的半弦OP∥AQ,则|OP|2=12|AR|·|AQ|.图1双曲线证设OP的参数方程为x=tcosα,y=tsinα,t为参数.将x,y代入双曲线方程并整理,得     

判别式失效了？

近期笔者编拟了这样一道题 :已知椭圆C :x216 y212 =1,其右焦点为F ,O为坐标原点 ,P为C上的动点 ,求 |PO| |PF|的取值范围 .解法思路是 :易知F(2 ,0 ) ,设 |PO| |PF| =2a ,则将问题转化为 :以O ,F为焦点 ,以 2a为长轴长的椭圆E :(x - 1) 2a2 y2a2 - 1=1(a >1)与椭圆C有     

利用等轴双曲线的一个变换简解一道高考题

我们知道,反比例函数y=k/x(k≠0)的图象是双曲线,由它的两条渐近线x轴、y轴互相垂直可知.方程xy=k(k≠0)表示的曲线是等轴双曲线.可以证明,将等轴双曲线C:x2-y2=a2(a>0)绕坐标原点O按逆时针方向旋转45°,所得等轴双曲线C′的方程为xy=a22.事实上,设等轴双曲线C′的方程为xy=k(k>0),易知C′的两个顶点为A′1(-k,-k)、A′2(k,k),由|A′1A′2|=2 2k=2a,便可得到k=a22.利用上述变换,处理一些等轴双曲线的问题十分简单,请看2006年高考北京卷理科倒数第2题:题已知点M(-2,0)、N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2 2.记动点P的轨迹为W.(Ⅰ)求W…     

综合题新编选登

题194已知双曲线c:x2a2-by22=1(a>0,b>0),F1,F2为其左、右焦点,P为c上任一点,双曲线c在点P处的切线l与两渐近线分别交于S,T.1)求△SOT的外接圆圆心的轨迹方程;2)求证:OS·OT为定值;3)求证:F1,S,F2,T四点共圆.图1题194图解设p(x0,y0),则有:b2x02-a2y02=a2b2.l的方程为:x0xa2-yb02y=1.联系方程:y=abx,x0xa2-yb02y=1.可解得S点的坐标为(bx0a-2bay0,bx0a-b2ay0).同理可求得T点的坐标为(bx0a 2bay0,-bx0a b2ay0).1)设△SOT的外接圆圆心O′的坐标为(x,y),则有|O′O|=|O′S|=|O′T|,即x2 y2=(x-bx0a-2bay0)2 (y-bx0a-b2ay0)2=(x-bx0a 2…     

判断直线与双曲线位置关系的两种方法

文 [1]给出了判断直线与双曲线位置关系的两种方法 ,笔者读后深受启发 ,经过类比研究 ,笔者得到了判断直线与双曲线位置关系的两种方法 ,作为直线与圆锥曲线位置关系问题的一个补充 .　　判断方法 1　设双曲线E :x2a2 - y2b2 =1,E的两个焦点为F1,F2 ,直线L :Ax +By +C =0 (A2 +B2≠ 0 ) ,且L不是E的渐近线 ,则有 :1)若A =0 ,L与E相交 ;2 )若A≠ 0 ,点M是直线L上使得‖MF1| -|MF2 ‖最大的点 .当‖MF1| - |MF2 ‖ <2a时 ,L与E相离 ;当‖MF1| - |MF2 ‖ =2a时 ,L与E相切 ;当‖MF1| - |MF2 ‖ >2a时 ,L与E相交 .为证明判断方法…     

考点24 双曲线

1.(全国卷,6)已知双曲线x62-y32=1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF1⊥x轴,则F1到直线F2M的距离为().(A)356(B)566(C)56(D)652.(全国卷,9)已知双曲线x2-y22=1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF1·MF2=0,则点M到x轴的距离为().(A)34(B)35(C)233(D)33.(福建卷,10)已知F1、F2是双曲线x2a2-yb22=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是().(A)4+23(B)3-1(C)32+1(D)3+14.(上海卷,5)若双曲线的渐近线方程为y=±3x,它的一个焦点是(10,0),则双曲线的方程是.5.(山东卷,14)设双…