正确理解函数概念

<正>函数的概念重要而基本,它是我们了解函数的意义和函数的表示方法的基础,同时也是我们后面学习一次函数、二次函数、反比例函数等函数的基础.新修订的北师大版八年级数学上册76页是这样定义函数概念的:"一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有唯     

与面积有关的反比例函数问题

<正>解决与反比例函数有关问题时,经常要用到反比例函数的面积的不变性,即反比例函数图1y=k x的本质特征,两个变量y与x的乘积是一个常数k,由此不难得到反比例函数的一个重要性质:如图1,过双曲线y=k x(k≠0)上一点P分别作x轴、y轴的垂线PM、PN,所得的矩形的面积S=PM·PN=|x||y|=|xy|=|k|.下面举例介绍一些与面积有关的反比例函数问题.图2例1如图2,Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上,斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E,双曲线y=k x(x>0)的图像经过点A,若△BEC的面积为4,则k     

函数解析式的确定及函数的应用

表示函数关系有三种方法 :一是列表法 ,二是图表法 ,三是解析式法 .此文谈一谈一次函数和反比例函数解析式的确定及应用 .一、从实际问题中归纳出函数解析式 ,并明确自变量及函数的实际含义 .这类问题往往与某一数学知识相联系 ,我们要阅读题意 ,确定基本数学模型 ,抓住问题本质 ,解决问题实质 .例 1　小王从家里到航空博物馆参观 ,若用每小时1 2km的速度骑车 ,2 .5h到达 ,若骑车速度为x(km/h) ,花去的时间为y(h) .(1 )请写出y是x的函数关系式 .(2 )若x=1 5 (km/h) ,则y的值是多少 ?解 :(1 )根据公式 :路程 =速度×时间 ,得y×x=1 2× 2 .5 …     

初三代数第二学期自测题

注 :本卷检测内容为 :代数第十三章函数及其图象与第十四章统计初步A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 2 4分 )1 .已知点M(a+1 ,2 -a)的位置在第一象限 ,则a的取值范围是 .2 .函数y =x+2|x|-1 的自变量x的取值范围是.3 .已知直线y=kx +b经过 ( 2 ,0 )和 ( 0 ,-1 )两点 ,则k= ,b=.4.反比例函数y=kx1-2k,当x=12 ,y =;当x>0时 ,y随x的增大而 .5 .已知一次函数y =kx +2 ,请你补充一个条件,使y随x的增大而减小 .6.若 8个数据的平方和是 2 0 ,方差是 2 ,则平均数是 .7在数据组 :-1 ,0 ,4,5 ,8中 ,插入一个数据x ,使得该数据组的中位数为 3 ,则x=.8.…     

正比例函数与反比例函数的思考

上海市初二数学教材第二十一章“正比例函数与反比例函数”共有三个单元:比例及性质;正比例函数与反比例函数;函数在第二单元中,正比例函数的定义为:“一般地,如果变量x、y满足y=kx(k≠0),那么称变量x、y成正比例,函数y=kx为正比例函数”.反比例函数的定义为:“一般地,如果变量x、y满足y=kx(k≠0),那么称变量x、y成反比例,函数y=kx为反比例函数.”本人认为,这样定义存在两点不足:1.它没能反映正比例函数、反比例函数与比例之间的内在联系,甚至让人觉得第一单元和第二单元间并没联系.在第一单元学习了比例,知道比例是形如a∶b=c∶d(bd≠0)的…     

一次函数与反比例函数图像交点问题一例

<正>一次函数图像与反比例函数图像相交,确定交点坐标及交点构成的三角形面积问题,综合了待定系数法、一元二次方程解法与三角形面积公式等知识点.下面结合一道例题进行分析,供参考.例已知反比例函数y=k/x与一次函数y=2x-1的图像交于点A(a,b),且一次函数y=2x-1图像经过点B(a+1,b+k),     

例谈反比例函数图像上点的对称性

<正>反比例函数y=k/x(k≠0)的图像是双曲线,它既是轴对称图形,也是中心对称图形.本文通过寻求反比例函数图像与正比例函数y=kx(k≠0),或特殊一次函数y=±x+b(b≠0)图像的交点的对称性,借助"形"的直观,灵活设交点的坐标,这样既能从整体上思考问题,又能提高思维的灵活性.     

反比例函数的“特殊性质”及应用

一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.由定义可得反比例函数的另一种表示方法:xy=k,它的几何意义为S三角形=1/2|xy|,S矩形=|xy|.记住这个重要性质,便能运用面积法简便、巧妙地解决反比例函数问题.     

直线的解析式一定是一次函数吗

我们都知道,在y=kx b(k、b是常数)中,当k≠0时,y是x的一次函数,它的图像是一条直线;当k=0时,y就不是x的一次函数了,此时y=0×x b=b,而对于x的每一个值,y都有唯一的值b与它对应．所以根据函数的概念,y是x的函数,此时我们把y =b叫做常数函数．那么,常数函数y=b的图像是什么呢?     

一对姊妹图形助你跳出“题海”——从一道中考试题谈起

<正>图1考题(2013年四川巴中)如图1,一次函数y=kx+b(k≠0)的图像与反比例函数y=m x(m≠0)的图像交于一、三象限内的A、B两点,直线AB与x轴交于点C,点B的坐标为(-6,n),OA=5,tan∠AOx=43.(1)求反比例函数的解析式;(2)求△AOB的面积.析解(1)∵OA=5,tan∠AOx=43,∴点A(3,4),m=12,∴反比例函数的解析式y=12x.(2)根据y=12x,得交点B(-6,-2),那么△AOB的面积可以通过割补法来计算,有下面三种基本方法:方法1由A(3,4),B(-6,-2),利用待定系数法,得直线AB的解析式:y=23x+2.     

再析反比例函数的图像性质

<正>反比例函数y=k x中,我们印象最深的莫过于其图像上的每一点对x轴、y轴所构成的矩形的面积相等,都为|k|,就是这条重要特性,我们还可以提示出反比例函数图像的另外两个特征.图1我们知道反比例函数图像关于原点中心对称,直线与反比例函数图像交于A,B两点,若直线AB过原点时,则必有OA=OB.如图1.那么,若直线AB不过原点,还会有相等的情况吗?首先,在平面几何中,我们知道如下基本性质.     

例谈反比例函数中的几个不变性问题

反比例函数是最基本的函数之一.通过学习反比例函数可以使学生进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点,深化对函数内涵的理解和掌握.对于每一个具体的反比例函数来说,其中蕴涵的变化与对应的数学思想是具有普遍性的,但它还有自身的独特性质,笔者在教学中发现了一些关于反比例函数的几个不变性问题,本文通过实例谈谈这些不变性问题中体现的数形结合及转化等一些重要的数学思想.1面积的不变性问题图1例1如图1,已知双曲线y=xk(k为常数,k>0,x>0)经过矩形OABC的边AB的中点F,交BC于点E,则E一定是边BC的中点.分析要证明E是边BC的中点,只需要证明S△OCE=41S矩形OABC或者S矩形OMEC=21S矩形OABC即可,为此可以将问题转化为反比例函数中的面积不变性命题来证明.证明设点E的坐标为(x1,y1)(x1>0,y1>0),点F的坐标为(x2,y2)(x2>0,y2>0).则x1.y1=x2.y2=k.过点E、F分别作EM⊥x轴于M,FN⊥y轴于N.则OM=x1=x1,OC==y1=y1,OA=x2=x2,ON=y2=y2.∴S矩形OMEC=OM.OC=x1.y1=k,S矩形OAFN=O...     

为什么反比例函数的图象是双曲线

学习双曲线定义时,容易想到反比例函数y=k/x(k≠0)的图象也称作双曲线.反比例函数图象与圆锥曲线定义的双曲线是同一类曲线吗?为了让学生弄清这一问题,笔者建议学生在学完双曲线后,根据所学知识作一番探究,然后在适当时间将成果在课上进行交流.为简便起见,都以反比例函数y=1/x图象为研究对象.     

函数图像平移后的关系式

<正>我们在学习一次函数、反比例函数、二次函数时,都会研究函数图像的平移,并求出平移后相应的函数关系式.对于不同函数图像的平移,我们往往会用不同的方法求出相应的函数关系式.笔者通过探索发现,只要用一种方法,就能求出这些函数图像平移后的关系式.一、一次函数图像的平移把一次函数y=2x+1的图像向上平移2     

关于反比例函数图像的一个命题

我今年上新高一了,平常非常热爱数学并且喜欢研究探讨一些数学规律.这个暑假里,我回顾了一些初三这一年的学习,在无意中发现了这个关于函数的数学小规律,写下来与大家分享.命题若一个一次函数图像与x,y轴分别交于点A和点B,且与反比例函数图像有交点,则一个交点到A与另一个交点到B     

警惕！函数图像中的“病毒”

同学们在解分式方程时,易产生增根,同样在解决有关函数图像交点时,也易产生不符合条件的解,下面结合一道习题与大家一起探索．题目一次函数y=kx 2与反比例函数y=m/x的图像交于A、B两点,点A的纵坐标     

两个反比例函数图像间的一个有趣性质

对于反比例函数的图像,有一个大家比较熟悉且容易证明的性质:设A是反比例函数y=k/x(k≠0)图像上的任意一点,过A引x、y轴的平行线,分别交y、x轴于点B、C,则|AB|·|AC|=|k|(定值).进一步探究我们发现,将以上性质中的一个反比例函数引申拓     

“耐克函数”与高考

<正>在高中数学的学习中,我们经常会遇到形如y=x+(a/x)(a∈R~+)的函数,从形式上看它是由一个正比例函数和一个反比例函数复合而成.对它的研究每次都会引起同学们的极大兴趣,从图像和性质上看,它又是那么的美丽与和谐,因此倍受数学老师的青睐,虽然教材上     

抽象函数奇偶性的判定方法

<正>抽象函数问题是高中数学的一个难点.抽象函数题解法灵活,技巧性强.本文介绍判断抽象函数奇偶性的方法和技巧,供同学们参考.一、直接利用奇偶性的定义例1若函数y=f(x)和y=g(x)有相同的定义域,且都不是常数函数,对定义中任意x有f(x)+f(-x)=0,g(x)·g(-x)=1,且当x≠0时,g(x)≠1,试判断F(x)=     

一次函数型应用题解法举隅

随着课程改革深入开展 ,考试评价改革更加注重发展学生解决实际问题的能力 .本文主要以近几年各地中考题为例 ,剖析一次函数型应用题的解法 .一、运用一次函数概念解题例 1　已知y=(m2 -m)x3m2 -2m m是一次函数 ,求m的值 .( 2 0 0 3年中考复习题 )解 :由一次函数的定义知 :3m2 -2m =1 ,　　　　①m2 -m≠ 0 .　　　　　②由①得　m =1或m =-13 .当m =1时 ,不满足② .∴　当m =-13 时 ,此函数是一次函数 .说明 :一次函数是以自变量的次数为 1 ,且它的系数不等于零为条件的函数 .二、运用一次函数解析式解题例 2　 ( 2 0 0 2年兰州市中考题 )某地长途公共汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李 ,如果超过规定 ,则需要购买行李票 ,行李票费用y(元 )是行李重量x(kg)的一次函数 ,其图象如图 1 .( 1 )求y与x的函数关系式 ;( 2 )旅客甲携带行李 2 8kg,问是否要购买行李票 .若要购买需多少元 .若不要购买行李票试说明理由 .解 :( 1 )设y与x的函数关系式y =kx b .由图 1知函数过 ( 80 ,1 ...