分式方程及其应用

<正>分式方程在初中数学中有着很重要的地位和作用.分式方程与整式方程在解法上有着密不可分的联系.与整式方程相比,分式方程的是指分母中含有未知数的方程.在求解过程中除正常解变形后的整式方程外,要特别注意代回原方程验根.一、分式方程的概念分母里含有未知数     

增根想说爱你不容易

<正>分式方程增根的产生我们在解分式方程时需要去分母,即方程两边同时乘以最简公分母.如果这个最简公分母的值是0,就产生了增根.这可归结为方程的不等价变形.分式方程不允许未知数取那些使分母的值为零的值,即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后,这种限制取消了,换言之,方程中未知数的值范围扩大了,因此可能产生增根,解分式方程时要"验根".     

分式方程无解与增根之间的奥秘

分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念.同学们在学习分式方程后,常常会对这两个概念混淆不清,认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事,事实上并非如此. 分式方程有增根,指的是解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程的变形过程中,方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式,从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.因此增根具有两个特征:其一,它是分式方程化为整式方程后的整式方程的解;其二,它使最简公分母等于0.而分式方程无解则是指不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相等.它包含两种情形:其一,原方程化去分母后的整式方程无解;其二,原方程化去分母后的整式方程有解,但这个解却使原方程的分母为0,它是原方程的增根,从而使原方程无解.现举例说明如下.     

分式方程无解问题的探究

<正>分式方程是初中学习中非常重要的一个内容,是历年中考必考知识点之一.而分式方程无解的问题,是这一部分的难点.分式方程无解是指无论未知数取任何值,都不能使分式方程两边的值相等.分式方程无解主要有两种情况:第一种情况是把分式方程化为整式方程后,整式方程无解;第二种情况是在分式方程化为整式方程后,整式方程有解,但是这个解却使原来的分式方程的分母的值为0,这个解叫做分式方程的增根,这个分式方程无解.涉及分式方程无解的问题常有以下两大类,举例说明如下:     

基于数学运算的课堂纠错——以分式方程作业订正课为例

解分式方程需要观察方程中各分式的分母,既要得到公分母,又要得到分母不为0所隐含的未知数满足条件;在变形解方程时,恰当运用解分式方程的方法和法则,最后还需要把所得结果代入分母或合适的代数式进行检验.上述过程涉及了数学运算的多个要素,因此解分式方程的学习有助于数学运算的发展,下面是分式方程作业订正课某些环节的呈现和分析.     

增根与无解 大家知多少?

<正>对于初学者来说,分式方程的增根、无解是两个极易混淆的概念,也是近几年中考的热点和难点.同学们在做题中往往将其等同看待,事实上这两个概念既有区别也有联系.1分式方程的增根与无解的概念及联系分式方程有增根,是指在解分式方程的过程中,原方程两边同乘了一个可能使分母为零的整式,即分式方程转化到整式方程可能不是恒等变形,导致未知数的取值范围被人为的扩大,而解出的整式方程的根恰好打破了原方程分母不能为零的限制,     

如何理解一元二次方程的概念

学习一元二次方程时,容易产生一些模糊的认识,要真正弄懂学好,应注意以下几点: 1.一元二次方程是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程.这告诉我们: ①一个方程是不是一元二次方程,要根据整理以后的结果来定.如方程x(x 2)=x2 3x 2就不是一元二次方程而是一元一次方程.注意:对方程的整理一般只限于“去括号,移项,合并同类项”这样的恒等变形.如:分式方程1/x=x 1去分母进行整理;无理方程(x 1)～(1/(x 1))=x两边平方进行整理均可化为一元二次方程,但原方程都不是一元二次方程.     

数学中的捣蛋鬼——增根

<正>万圣节是西方的传统节日.为庆祝万圣节的来临,西方的小朋友会装扮成各种可爱的鬼怪,挨家挨户地敲门讨糖吃,谁家不给,他们就开始捣蛋.在数学的学习中也有一个"捣蛋鬼"——增根,在分式方程中到处"惹是生非",不检验就"捣蛋".本文我们就来搞定增根这个"捣蛋鬼".解分式方程的关键是去分母,将分式方程转化成整式方程.在去分母时,运用等式的性质,会两边同时乘以公分母,而这个公分母是含未知数的整式,并不能确保其不为零,从而导致未知数的取值范围增大,增根也就"诞生"了.     

别把“增根”不当根

解分式方程去分母时,方程两边同乘最简公分母,得到整式方程.如果所乘的最简公分母不为0,所得到的整式方程与分式方程同解;如果所乘的最简公分母为0,所得到的整式方程的解就不一定是原来分式方程的解,其中使最简公分母为0的解,就不是原方程的解,称为原方程的"增根".分式方程的"增根"有两个特征:一是原分式方程去分母后所得到的整式方程的根,因此在解决分式方程有关问题时千万别把"增根"不当根;二是"增根"必使原方程中的最简公分     

分式方程的增根的利用

解分式方程的基本思想是 :把分式方程“转化”为整式方程 ,然后解整式方程 ,再进行验根 .如果求得的整式方程的根使分式方程的分母或最简公分母为 0 ,这些根叫增根 .分式方程的增根实质上是由分式方程化成的整式方程的根 ,使整式方程成立 ,却使分式方程无意义或不成立 .近年来课外书籍中出现了一些利用分式方程的增根解决问题的题型 ,由于一些学生认为分式方程的增根没有用处 ,是不要的 ,须舍去的 ,所以他们一旦遇上这样的问题就感到束手无策、无能为力 .这样的题型综合起来可以分为以下三类 :一、已知分式方程有增根x =a ,求该方程另一字母…     

分式方程(组)的几种特殊解法

解分式方程(组),一般都是两边同乘以各个分母的最简公分母,把分式方程化为整式方程再求解。但在分式方程(组)中,还有一些习题直接利用这一般方法来解是很繁杂的,因此需要探究一些特殊解法。现归纳九种方法,供参考。一、换元法这种方法较为常用,课本也作了介绍。这里简单举例说明。例1、解方程x~2 3x-(20/(x~2 3x))=8〔《代数》第三册P_(152)) 解:比较两个式子,含有未知数的项都有x~2 3x,令y=x~2 3x,则原方程化为y-20/y=8。∴y~2-8y-20=0 得y_1=-2,y_2=10。由x~2 3x=-2,解得x_1=-1,x_2=-2, 由x~2 3x=10,解得x_3=-5,x_4=2。经检验这四个值都是原方程的根。     

分式方程中的常见错误分析

<正>分式方程是初中代数的主要内容.现将同学们与解分式方程有关的常见错误归纳如下,希望能引起同学们的警示.警示一:忘记验根例1解方程2/(x-1)-3/(x+1)=(x+3)/(x2-1).错解去分母,得2(x+1)-3(x-1)=x+3.解这个方程,得x=1.∴x=1是原方程的根.正解去分母,得     

学习分式需注意的几个问题

分式这一章的主要内容是分式的概念、分式的基本性质、分式的运算 ,这些内容在今后进一步学习函数和方程等知识时具有重要的地位和作用 .正确理解分式的概念 ,能灵活运用分式的基本性质是学好本章的关键 ;分式的运算是本章的重点和难点 .在学习的过程中 ,要注意以下几个问题 .一 .要正确理解分式的概念1.分式的形式与分数相似 ,但与分数有本质区别 ,区别在于分式的分母中含有字母 .分式与整式的区别也是分式的分母中含有字母 .分母中含有字母是分式的一个重要标志 .2 .分式的分母是含有字母的代数式 ,字母的取值有可能使分母的值等于零 ,这…     

解分式方程(组)的十二种技巧解法

初中《代数》课本中,概括出解分式方程(组)的一般方法有两种:一是将方程的两边都乘以各分式的最简公分母,把分式方程(组)化为整式方程(组)再求解,二是用换元法,引进了辅助未知数,把分式方程(组)化为整式方程(组)再求解。但对于一些特殊的分式方程,若用一般的方法解是比较繁琐的。因此有必要根据分式自身的特点和已学过的知识,灵活掌握分     

运用比例性质解含无理数的分式方程

<正>一、问题的提出同学们在学习北师大版课标教材九年级下册"第一章直角三角形边角关系"时,经常会遇到这类方程,如:(x+20)/x=3~(1/2)/3,在解此类方程的过程中,往往会出现以下的困惑:其一,含有无理数,不擅长解这类方程;其二,去分母、合并同类项时,由于未知数的系数含有无理数,合并容易出错;其三,答案分母有理化,也是此类方程中的一个难点.二、方法简介运用比例性质中的"合比和反比性质"就     

列方程解应用题的常用方法

列方程解应用题是代数中的重要内容之一 ,它是数学联系实际的一个重要方面 ,也是同学们学习代数的一个难点 .主要的学习障碍在于同学们不按一定的步骤解决问题 ,造成对题意理解不透彻 ,也不能用数学符号或式子表达题意中的文字含义 .为此 ,在这里通过介绍列方程解应用题的一般步骤和举例说明常用的方法 ,使同学们对本内容有更深入的理解 .一、列方程解应用题的一般步骤1.审题 :主要是仔细阅题 ,弄清题意 .在此步骤中 ,要在草稿纸上把帮助理解题意的相关图形画出来 ,认真分析 ,找出题意中的已知数量和未知数量 .此步骤在解决问题中是比较重要的 ,但常常被同学们忽略 .2 .设元 :设立未知数 .在此步骤中 ,要根据列代数式的方法把各个数量用代数式表示出来 .设未知数的常用方法( 1)直接设元 .( 2 )间接设元 .( 3)辅助设元 .3.列方程 :根据相等关系列出方程 .在此步骤中 ,找出各代数式所包含的数量关系 ,列出一个能表达全部题意的含有未知数的相等关系 ,即得所列方程 .4 .解方程 :根据解相应方程的方法求出方程的解 .5.检验 :检验含有两个内容 .第一是检验所求得的解是不是原方程的解 ;第二是检验该解符不...     

HPM视角下可化为一元二次方程的分式方程教学

1 引言 在沪教版的教科书中,“可化为一元二次方程的分式方程”是八年级下册“代数方程”一章中的内容.教材首先从复习分式方程出发,接着给出可化为一元二次方程的分式方程的定义,最后介绍去分母法解分式方程.教材与教师一般都会强调增根产生的原因以及验根的重要性.笔者不禁产生疑问:历史上分式方程的增根是怎样被发现的?除了去分母法,还有其他方法吗?有没有可以避免产生增根的解法?有没有几何解法?教材并未涉及这些问题.在课堂中,教师多局限于分式方程的求解,而忽略分式方程背后的数学文化元素.     

用“参数法”求轨迹方程的基本原理

<正>方程,是含有未知数的等式.笛卡尔的方程思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方程问题,也就是从实际问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为方程,然后通过解方程来使问题获解.本文将从以下角度来对方程思想进行理解和应用:一般来说,一个方程(等式)可以消一个元,若共有n个未知数且有n个方程,则可确定这n个未知数的值;若共有n个未知数,但只有n-1个方程,则可以得到无数组解,并且可以通过合适的消元最终得到其中某2个未知数的等量关系.     

解分式方程没有增根

长期以来,中学数学教材对于解分式方程都有一个特别规定:必须验根!这几乎成为一个不争的事实.因此,各种考试(包括中考高考)甚至把它作为考点,尤其是教辅资料大做文章,如增根之类的题型屡见不鲜,应接不暇.当真有这个必要吗? 其实,我们一直在作茧自缚,还自以为是,让学生满头雾水:为什么一定要“去分母”化为整式方程?得出一个不确定的根?何谓增根?有增根方程就无解了吗?去分母时那些没有分母的项怎么“去”啊?一定要写验根?等等.     

用合分比來解分式方程

解分式方程时,一般的方法是用方程中各項分母的最低公倍式乘方程的各項,变换成一个整式方程,解此整式方程,再把解得的根进行驗算,但有时应用合分比来解比較簡便。例如:解