发挥立体几何中距离和角的最值功能

立体几何中有关点、线、面的距离和角有以下的一些与最值有关的性质 :性质 1:两条异面直线的距离 ,是这两条异面直线上各取任意一点的所有连线段的长度的最小值 .一般地 ,立体几何中点、线、面的各种距离 ,是相应点、线、面上各取任意一点的连线段的长度的最小值 .性质 2 :斜线和平面所成的角 ,是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角 .图 1　性质 3图性质 3:如图 1,A是半平面α内的一点 ,AB⊥β交半平面 β于B ,则二面角α -l- β的平面角 (平面角是锐角或直角 ) ,是E在交线l上移动时所有∠AEB中的最大角 .认识这些距离与…     

一个最值问题的求解方法

文[1 ] 对如下问题进行了研究 :已知实数x1 ,x2 ,… ,xn 满足x21 +x22 +… +x2 n= 1 ,当n≥ 3时 ,求maxi≠j mini≠j|xi-xj|.本文给出如下简捷解法 .由题意 ,不妨设x1 ≤x2 ≤…≤xn -1 ≤xn,并令mini≠j|xi-xj|=min|xi+ 1 -xi|=a(i=1 ,2 ,… ,n - 1 ) .则当 j>i时 ,xj-xi=(xj-xj-1 ) +… +(xi+ 1 -xi)≥(j-i)a∴ ∑1≤i相似文献   

立体几何最值问题的求解策略

立体几何中的最值问题,通常包括距离、面积、体积的最值等．此类问题涉及知识面广,灵活性大,是近年来各级各类考试的热点,不少学生面对这类问题常常感到不易下手,笔者通过分析、归纳、提出如下策略．     

浅议立体几何最值问题的处理方略

立体几何中有关角、距离、面积、体积等最值问题频频出现在近年的高考试卷中,此类问题涉及的知识面广,灵活性强.笔者通过对近年来高考题中几个典型的例题进行分析,浅谈这类问题的处理方略,供参考.一、定性分析法例1已知在半径为2的球面上有A、     

构造法解最值问题

构造法是通过构造辅助量 ,实例、反例、模型、图形、函数和方程等来解决数学问题的一种思维方法 .经常有意识地用构造法解题 ,可以培养思维的敏捷性和创造性 ,提高观察问题、转化问题和解决问题的能力 ,下面用构造法解几道最值问题 ,以便从中了解一些构造思路和技巧 ,同时也给最值问题的研究注入新的活力 .1　锁定范围 ,构造特例验证例 1　从正方体的棱和各个面上的对角线中选出ｋ条 ,使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线 ,则ｋ的最大值为 (　　)(Ａ) 2 .　 (Ｂ) 3.　 (Ｃ) 4.　 (Ｄ) 6 .图 1　例 1图分析 :若存在 5条或5条以上满足…     

如何求二次函数的最值

二次函数是中学数学的重要内容，其最值问题是学生学习的难点之一，是历年高考的一个重要知识点．因此，有必要研究解决这类问题的简明方法，现举例说明如下，供参考．     

组合最值

用非常规办法去求最值的问题统称为组合最值问题 .这类问题的解答有两个难点 :一是最值的探求 ,二是最值的证明 .本文将通过一组实例说明解决这类问题的思想方法 .1　优化选择例 1　从 1,2 ,3,… ,1995这 1995个数中最多能选出多少个数 ,使得选出的数中没有一个数是另一个数的 19倍 ?分析　依据题设要求可知 ,若ｋ ,19ｋ是 1,2 ,… ,1995中的两个数 ,则这对数最多只能选择一个 ,为了使得选出的数具有规律性 ,不妨在每一对 (ｋ ,19ｋ)中选出最大的数 ,从而选出的数又能组成 1,2 ,3,… ,1995后面的一个片断 .∵ 199519=10 5 ,从而 ,10 6 ,10 7…     

一个最值问题的解法

我们知道对于函数 ｆ(ｘ1,ｘ2 ) =ｘ1ｘ2ｘ21 ｘ22,因为有ｘ21 ｘ22 ≥ 2ｘ1ｘ2 .所以 ｆ(ｘ1,ｘ2 )的最大值为 12 .那么对一般化问题 ｆ (ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｎ) =ｘ1ｘ2 … ｘｎ - 1ｘｎｘ21 ｘ22 … ｘ2 ｎ(ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｎ 不同时为零 )的最大值又该如何考虑 ?　　当ｎ =3时 ,ｆ(ｘ1,ｘ2 ,ｘ3) =ｘ1ｘ2 ｘ2 ｘ3ｘ21 ｘ22 ｘ23.引入正参数ｃ1,ｃ2 ,因为ｃ21ｘ21 ｘ22 ≥ 2ｃ1ｘ1ｘ2 ,ｃ22 ｘ22 ｘ23≥ 2ｃ2 ｘ2 ｘ3.所以 ｃ12 ｘ21 12ｃ1ｘ22 ≥ｘ1ｘ2 ,ｃ22 ｘ22 12ｃ2ｘ23≥ｘ2 ｘ3.两同向不等式相加得 ｃ12 ｘ21 ( 12ｃ1 ｃ22 …     

关于抛物线的十个最值问题

本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题 ,得到了十个有趣的结论 .为方便读者摘用 ,现用定理形式叙述如下 :定理 1　抛物线的所有焦半径中 ,以过顶点的焦半径为最短 .证明　不妨设抛物线的极坐标方程为 ρ=ｐ1 -ｃｏｓθ,则显然有 ρ≥ ｐ2 ,其中等号成立当且仅当θ=2ｋπ+π(ｋ∈Ｚ)即焦半径通过抛物线的顶点时 .定理 2　抛物线的过焦点的所有弦中 ,以抛物线的通径为最短 .证明　设抛物线极坐标方程为 ρ =ｐ1 -ｃｏｓθ,焦点弦为ＡＢ ,且设Ａ(ρ1 ,θ) ,Ｂ(ρ2 ,θ +π) ,则有｜ＡＢ｜=ρ1 +ρ2 =ｐ1 -ｃｏｓθ+ ｐ1 -ｃｏｓ…     

一种求“过河”最值问题的简易方法

如何求“过河”最值问题，一直是中学的一个难点．求解这类问题，笔者总结了一种方法——“水陆等效法”，易懂，简便，实用。     

一个最值问题的探究

最值问题涉及到函数、不等式、三角、解析几何、立体几何等内容，特别是导数知识的介入，求最值成为近几年高考的热点．我在高考复习中讲一个最值问题时却引起了意外的探究．     

巧用权方和不等式求最值

最值问题一直是竞赛的热点，求解方法很多。笔者通过研究发现，若能恰当地应用好权方和不等式，许多最值问题便迎刃而解。     

巧用一道不等式求一类无理函数的最值

新教材高中数学第二册 (上 )第 16页有一道练习题 :求证 :(ac +bd) 2 ≤ (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) ,等号成立当且仅当bc =ad .利用这一不等式可以很方便地求一类无理函数的最大值或最小值 .将上述不等式变形为 :|ac +bd|≤ (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) .若此式右端 (a2 +b2 ) (c2 +d2 )为常数 ,当bc =ad时 ,则 (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) 是 |ac+bd|的最大值 .同理 ,当 (a2 -b2 ) (c2 -d2 )≥ 0时 ,有 |ac-bd|≥(a2 -b2 ) (c2 -d2 ) ,当且仅当bc=ad时取等号 .若此式右端 (a2 -b2 ) (c2 -d2 )为常数 ,当bc =ad时 ,(a2 -b2 ) (c2 -d2 )是 |ac -bd|的最小值 .下…     

一道最值题的四种新解

题目设x,y,z∈R^＋且√x^2＋y^2＋z=1,求xy＋2xz的最大值．     

一道最值习题的推广及应用

习题　设 0 <ｘ <13 ,求 ｙ =ｘ2 (1 - 3ｘ)的最大值 .分析 :将ｘ2 分解为ｘ·ｘ后 ,其和不等于3ｘ ,不满足最值定理的条件 ,所以要对ｘ的系数进行“配系”为32 ,从而使问题得解 .解　∵ 0 <ｘ <13 ,∴ 1 - 3ｘ >0 ,∴ ｙ =ｘ2 (1 - 3ｘ) =49[3ｘ2 ·3ｘ2 ·(1 -3ｘ) ]≤ 493ｘ2 3ｘ2 (1 - 3ｘ)33=42 43 ,当且仅当3ｘ2 =1 - 3ｘ即ｘ =29时 ,ｙｍａｘ=42 43 .将此问题推广到一般情况 ,得命题 1　若 0 <ｘ <ｍ ｌｎ,则函数 ｙ =ａｘｋｍ(ｌ -ｎｘｍ) ｐ (ｋ ,ｌ,ｍ ,ｎ ,ｐ∈Ｎ ,ａ∈Ｒ )当且仅当ｘ =ｍ ｋｌｎ(ｐ ｋ) 时有最大值ａ ｋｐｎ…     

浅谈旋转体中一类截面面积最值的统一性

经过两条母线的截面是圆柱、圆锥、圆台中的一类重要截面 ,其面积的最值问题是这类截面的一个研究重点 .从目前的一些资料和刊物发表的文章来看 ,仅有圆柱、圆锥方面的结论 (见下文中的结论 1、结论 2 ) ,而缺少最重要的圆台方面的结论 .作为补充和完善 ,本文将给出圆台中过两条母线的截面面积最值的一般性结论 ,并进一步阐释圆柱、圆锥、圆台三者之间的和谐统一关系 ,供读者教学或研究时参与 .结论 1　设圆柱的底面半径为ｒ,母线长为ｌ,则过两条母线的截面面积的最大值为 2ｒｌ.证明略 .结论 2　设圆锥的母线长为ｌ,轴截面顶角为 ,则过两…     

一道解析几何最值问题的探讨

在光明日报出版的《数学单元测试（高二、高三数学）》第144页有这样一题：