巧用“均值换元法”求值

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换元法在解题中的应用

换元法是在解题时引入新变量,借助新变量进行解题的方法.换元思想的本质是把复杂、不熟悉的问题转化为简单、解决起来顺手的问题.“难题”并非无本之木,借助于换元法,总可以寻到蛛丝马迹,将难题转变为熟悉的形式.本文中结合几个典型案例,从“为何换元”“如何换元”“求解步骤”三个方面介绍了换元法在解题中的应用.     

整体换元法几例

有些数学问题看似结构复杂,计算繁难,很难直接求解,但若通过恰当整体换元,把问题作整体变换,问题就会巧妙地化繁为简,化难为易. 　　一、整体换元在计算中的运用……     

换元法在函数问题中的就应用

<正>换元法在数学解题中有着非常广泛的应用,本文仅提及它在函数问题中的一些应用,从中可以体味到换元的施用方式,构造元及设元的技巧,同时还能发现换元具有显露隐含,防止错解,化难为易,把复杂问题简单化的良好作用。     

换元法在证明代数等式中的应用

在证明代数恒等式时,适当地运用换元法进行变量置换,有时能使思路清晰过程简捷,现举例说明於下。一、通过换元,把多项式的项数减少或次数降低,可简化证明过程。例1,求证(1 x x~2 x~3)~2-x~3=(x~2 x 1)(x~4 x~3 x~2 x 1) (证明)设1 x x~2=y,则左边=(y x~3)~2-x~3=y~2 2x~3y x~6-x~3 =y~2 2x~3y x~3(x~3-1)=y~2 2x~3y x~3(x-1)(x~2 x 1) =y~2 2x~3y x~3(x-1)y =y(y 2x~3 x~4-x~3) =y(y x~3 x~4)=(1 x x~2)(1 x x~2 x~3 x~4) =右边。例2。求证x(x 1)(x 2)(x 3) 1 =(x~2 3x 1)~2     

换元法在解题中的功能

换元法在解题中的功能武鹏高（河南洛阳铁路一中４７１００２）换元法，就是把关于字母或字母的解析式用另外的字母或解析式来表示的方法、它是一种重要的数学方法，有着广泛的应用．深究换元法在解题中的功能，将有利于培养换元的意识，有助于更好地利用这一方法，并有益...     

换元法的应用

换元法是借助于辅助元 ,将问题进行转化的一种解题方法 .这种方法在解题过程中 ,将某个式子看作一个整体 ,用一个字母去代替它 ,实行变量替换 .这样做 ,常可以化高次为低次 ,或化分式为整式 ,或化无理式为有理式 ,使问题化繁为简 ,从而化难为易 ,化未知为已知 .下面就谈谈换元法的常见应用 .一、在代数式求值中的应用计算　 2 0 0 1 2 0 0 0 22 0 0 1 1 9992 +2 0 0 1 2 0 0 1 2 -2 .分析　观察此题特点 ,发现分子与分母中有三个数是连续整数 ,不妨设中间一个为ａ ,则其它两个分别为 (ａ -1 )和 (ａ +1 ) ,从而化繁为简 .解　设ａ =2 0 0 1 …     

换元法的应用

现实生活中有这样一个故事：一个人掉了一颗上衣钮扣,他跑遍了所有能跑的钮扣店也没有配到一颗同样的钮扣,为此他很沮丧．一日与朋友谈及此事,朋友说：“为何不把钮扣都换了呢!”这人才恍然大悟．     

换元法及其应用

所谓换元法，指的是在解数学题时．把某个式子看成一个整体。用一个变量去代替它．从而使问题得到简化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量（Jot）代换，”目的是变换研究对象．将问题移至新对象的知识背景中去研究．把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来．从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化、陌生问题熟悉化．     

换元法及其应用

所谓换元法,指的是在解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量(价)代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化、陌生问题熟悉化.换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量(辅助元素),可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有…     

代数换元法在解三角问题中的应用

<正>在某种三角问题中,把一个三角式用一个字母代换,这种变换称代数换元,通过代数换元可把一个复杂的三角题转化一个简单的代数题,使问题的解答化繁为简,化难为易.现举几例加以说明.一、求值例1已知sin³α+cos3α+cos³α=1,求sinα+cosα的值.     

例谈换元法在一类问题中的应用

<正>著名数学家G·波利亚曾说过,解题的成功要靠正确的转化.这里的转化其实就是一种重要的数学思想——化归思想.换元法是化归思想中常用的方法之一.恰当的换元往往能使问题化繁为简,变生为熟,从而有利于问题的解决.下面是笔者最近编拟的一道题:题目在直角坐标系xOy中,已知曲线C     

换元法和消元法在多元函数求最值中的应用

<正>笔者发现江苏高考数学题中,对于多元函数求最值问题经常考察,例如08年江苏卷第11题,10年江苏卷第12题,12年江苏卷14题,那么当我们面对多元函数最值问题的时候应该如何去分析解决问题呢?笔者结合自己的思考发现,巧用换元法达到消元或者形式上的简化可以很好的展示多元函数求最值问题的实质,从而更好的解决问题.     

“整体代换”在化简、求值中的应用

在整式化简、求值、证明中,较复杂问题运用整体代换,可以使问题的解决起到化繁为简、化难为易的作用,运用整体代换,关键是“整体”的选择与确定.现举例说明整体代换在解题中的应用. 一、“整体代换”在求值中的应用例一已知代数式3y2-2y 6的值为     

三角换元法的应用

<正>三角换元法是一种用三角函数代替问题中的字母(或式子),然后利用三角函数之间的关系达到解题目的的一种解题方法.该解法的优点在于将已知条件通过代替转化为同一个角的某个三角函数来表示,从而利于我们运用熟知的三角公式进行化简,直至问题的解决.本文以部分数学高考题,自主招生试题,高中数学竞赛试题为例说明如下.例1(2012年浙江省高考题)若正数x、y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是     

三角换元法的应用

三角换元法是一种用三角函数代替问题中的字母（或式子）,然后利用三角函数之间的关系达到解题目的的一种解题方法.该解法的优点在于将已知条件通过代替转化为同一个角的某个三角函数来表示,从而利于我们运用熟知的三角公式进行化简,直至问题的解决.本文以部分数学高考题,自主招生试题,高中数学竞赛试题为例说明如下.     

三角换元法的应用

对含有某角的三角函数的偶次幂的三角函数式,通过“换元、降次”,将其转化为代数式来求解,往往使得解题简捷。反过来,有的数学问题,通过三角换元后,化为三角函数式问题来处理,这种方法,叫做三角换元法。三角换元法是高等数学中的一种重要方法,在初等数学中也有着较广泛的应用。有的问题应用三角换元法去解,不仅可化难为易,使得解题简便,而且能让学生养成“一题多解”的习惯,开扩视野,发展思维,加深对函数概念和等价变换更加探入的理解。现从以下几个方面举例说明。     

不等式证明中的换元法

不等式的证明因其方法灵活多变、综合性强而成为高中数学的一个难点 ,在各类数学竞赛中 ,不等式的证明问题是一个热点 .本文介绍用几种换元法来证明一些较难的不等式 .所谓换元法 ,就是将所要证明的不等式中的字母作适当的代换 ,变换数学式的形式 ,以显化其内在结构的本质 ,从而达到简化证题的过程 .一、均值换元法若题目中有ａ1+ａ2 +… +ａｎ=Ｘ的条件时 ,常可考虑作如下换元 ,设ａｉ=Ｘｎ +ｔｉ(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,此时ｔ1+ｔ2 +… +ｔｎ=0 ,由于 Ｘｎ 是ａ1、ａ2 、…、ａｎ 的平均值 ,故称之为均值换元法 .例 1　已知ａ,ｂ ,ｃ,ｄ ,ｅ…     

吴消元法在Lagrange和Hamilton方程中的应用

主要借鉴吴消元法,研究带约束动力学中多项式类型Lagrange方程和Hamilton方程,提出了一种求约束的新算法．与以前算法相比,新算法无需求Hessian矩阵的秩,无需判定方程的线性相关性,从而大为减少了计算步骤,且计算更为简单．此外,计算过程中膨胀较小,且多数情形下无膨胀．利用符号计算软件,新算法可在计算机上实现．     

“换元法”在中学数学中的应用(续完)

三、不等式和在解方程时一样,解不等式时应用换元法可以把诸如:分式不等式、无理不等式、指数和对数不等式、三角不等式和反三角不等式及高次不等式等等化为一次、二次不等式或不等式组来解。在证明某些不等式时,应用换元法可将证明过程简化,同时通过换元以后容易看出不等