关于序数的一个定义

1.引言在本文中我們提出序数的一种定义。这一定义有两个优点,即比較簡单同时又是把自然数作为具有下述两性貭的最小集合A的元素定义的明显推广: (ⅰ) 空集0∈A且 (ⅱ) 若x∈A,則x+1∈A(此处x+1=xU{x})。通过添加一个第三条件,首先定义了序数集合Q,然后定义序数为Q的元素或Q自身。正如上述自然数定义結合着通常的归納原則一样,我們的定义結合着超穷归納原則。对于序数性貭的証明,这是仅有的最为有力而且直观的工具,其合用性之由定义得出大大地簡化了理論的发展。不过,看来我們的定义只在某些类型的集論中方是可能的,即只在許可存在非常大的集合的集論中方为可能。根据这个理由,我們先对我們在其中工作的公理系統作一个簡短的描述。以后在第6中再比較充分地討論这一系統及其与旁的系統的关系。     

度量空間(續)

巴拿赫-达尔斯基定理从初等几何学中我們知道,若以某种方式分一多面体为几个多面体,并且重新排列这些部分多面体以組成一新多面体,則后者无論如何也不能放入原多面体的內部。在这个定理里关鍵在于,我們分原多面体为几个部分,它們也是多面体。似乎以为,若我們分一立方体为某一有限数目的集合,則在空间中不     

集合论的孕育与诞生

集合论在数学中占有一个独特的地位,它的基本概念已渗透到数学的所有领域.按现代数学观点,数学各分支的研究对象或者本身是带有某种特定结构的集合如群、环、拓扑空间,或者是可以通过集合来定义的(如自然数、实数、函数).从这个意义上说,集合论可以说是整个现代数学的基础.集合论作为数学中最富创造性的伟大成果之一,是在19世纪末由德国的康托尔(1845—1918)创立起来的.但是,它萌发、孕育的历史却源远流长,至少可以追溯到两千多年前.1　无穷集合的早期研究集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论.集合作为数学中最原始的概念之一,通常是指…     

我們是这样提高数学課堂教学貭量的

一、运用多种方法讲透基本概念教好数学,首先必須保証学生对基本概念有清晰的理解。我們发現学生知識的缺陷,往往就是由于基本概念不清所造成的。数学教学大綱中明确指出:“在数学教学中,应当特别注意使学生自觉地掌握数学中的基本概念、观念和方法,尤其是函数观念和它的图象。”“无論什么时候,都应当尽量把基本的概念和观念提高到第一位,并且要避免以大量的次要的公式和原則加重学生記忆上的負担。”这些指示給了我們很大的启示。以往我們虽然也很重視讲清基本概念,但方法不多,一般是重复讲解,甚至要求学生死背定义,因此在     

“抽屜原则”及它的一些应用

在这篇短文里,我們向讀者介紹一个在数論中用到的原則,即所謂“抽屜原則”;应用这个原則,我們先証明某些用有理数去迫近实数的定理;再进一步証明一种不定方程——貝尔方程——的解的存在,並介紹一下与貝尔方程     

概率的概念

1.概率论研究的对象我們知道,数学是研究客观世界的量的关系的科学。数学的每个分支都是直接或間接地由于客观生产实践的需要而产生的,无論是它的基本概念、內容和方法,都必須正确地反映和研究客观現象的某种量的規律。那末,概率論所研究的,究竟是哪一类量的規律呢? 自然科学在观察和实驗的基础上所确立的最簡单的規律性是指出我們所研究的事件必然发生或必然不发生的条件;換句話說,这些条件可以表成以下两种模型中的一种:     

洛必大法則的一個推廣

用來求無窮小或無窮大變量之此的極限的洛必大(G.F.de l′Hospitale)法則為我們所熟知,本文用幾何方法來證明此法則因而推廣此法則,最後並利用推廣後的法則說明它與極限論中一古典定理——施篤茲(O.S.Stolz)定理問的關係。§1. 洛必大法則的幾何證明洛必大法則有兩個,可叙述如下: 法則一如f(t)及g(t)連續於區間(a,b),且(?)而在這區間內部導數f′(t)及g′(t)都有限,且f′(t)≠0;如果(?)(有限或無窮大),則必(?) 這裹為了以後說話方便,將所有的極限都寫成了右極限,其實只要這一法則能够證明,那末     

关于不完备空間的“共鳴定理

<正> 在完备的赋范綫性空間,也即Banach空間中,有一个我們熟知的极为重要和有广泛应用的定理,那就是“共鳴定理”.正如我們所熟知的那样,无論該定理的証明方法各有不同,但是总是必須要用到空間的完备性的假設.然而,如果当我們所涉及的空間并不知道它是否完备或者就是不完备的时候,我們自然就会提出疑問:“共鳴定理”是否仍是成立?     

实数的連續性

在高中代数課本第二册83。“关于极限的定理”这一节中,列举了关于极限的六个定理。除了第二个定理外,其余五个定理,在任何一本数学分析課本中,都可找到証明。但是,对于第二个定理,通常的数学分析課本上,有着不同的处理方式:有的采取作为不加証明的基本命題;有的从实数的連续性出发,当作一个定理来証明它。由于对实数連續性的叙述,有各种不同方式,因而,对这个定理的证明,也是各式各样的。这里,我們将从高中代数課本第一册的实数字义出发,介紹这个定理的証明。实数是什么?可以有各种不同方式来回答这个問題:中学代数是用无限小数来作为实数定义的。而在高等数学中,最常见的有两种方式:按照德得金(Dedckind)的实数理论,实数是有理数的分划;按照康脱(Cantor)的实数理論,实数是有理数的正則序列的类。可以証明,这几种定义是等价的。由于定义实数     

如何在“高次方程”的教学中进行理論联系实际

党的教育方针,丰富了数学的思想性。在当前的数学教学中,必須坚决克服“三脫离”的傾向,使数学理論与生产劳动相結合,同时也应保証学生能自觉和牢固地掌握数学基础知識,并运用这些知識,去研究相接近的学科,和解决实际問題的技能与技巧。但为了切实解决数学与生产劳动的关系,它集中表現在理論与实践的关系上。这里仅就高三代数“高次方程”一章,遵循实践-理論-实践的原則,进行了深入钻研,反复揣摩,似有所得。个人簡陋之見,錯誤难免,玆特草撰     

也談大、中学数学銜接問題

数学通报1959年12期刊登了赵慈庚先生的“大、中学数学銜接問题”一文,我們认为討論这个問题很重要。作为刚刚跨出中学进入大学学习不到一年的我們,是經历了一段由于大、中学某些脱节而造成学习上的困难过程。一、关于独立工作我們进入大学,刚开始学习,就感到独立工作能力差,最头痛的是上課听不懂,不能抓住教材的主要关键。我們統計了一下,大学第一学期初学“数学分析”时有72％的同学基本上能听懂課,28％的同学根本听不懂。我們认为,其根本原因是由于在中学时,老师讲课的教材少,内容簡单,理論性不强,所接触的东西是比較直观和具体的。对一些基本概念、定理和重要的     

談数学綜合性題的練习

在中学高年級的数学教学中,对于綜合性题的练习,随着全国数学教學貭量的提高,已經更加引起数学教师的重视,无論是为了教育或教养的意义,大家认为它益发显出能促进巩固概念、启发思維和提高解題能力与熟练技巧的作用,因为当学生处理綜合性的綜习时,可以較好地把数学各科間的一些概念、定理、法则和公式等联系起来,加以应用,从而使学生能够进一步加深对于这些概念、定理、法則和公式等的理解与掌握。同时在考虑选择解法与步驟时,也正可以較好地培养学生的思維能力。近年來,在貫彻党的教育方針,进行教学改革中,我們在数学教学时,适当地配合一些綜合性的例題与习題,作了初步尝試。現将我们的做法和体会,提供同志们研究討論,并請予以指正。一、配备綜合性例題习题应該有計划有目的地进行 給学生配备综合性例題或留这类作业练习,是很受学生欢迎的,不过我們在教学中应当有目的有計划地进行,否則会打乱教材系統,或者影响教学进度計划。我们是依照以下几个方面来进行的:     

集合与子集

集合是数学中的一个不定义的概念，它是现代数学的基础．从某种意义上讲，数学的各个分支就是建立在各种满足特定条件的集合之上的．因此，充分认识集合的概念和性质，有助于加深对数学本质的理解．     

关于"平面向量基本定理"的说课

1 教材结构与内容简析 本节课主要内容是平面向量基本定理及其应用。学生在前面已经掌握了向量的基本概念、向量的加、减运算法、实数与向量的积、向量共线的充要条件，这些都是学习本节内容的知识基础。本节课教材是平面向量这一章中最重要的内容之一．向量具有数和形的两种特性，是数学中解决几何问题的工具，可以使复杂问题简单化、直观化，使代数问题几何化、几何问题代数化，解决起来更加简捷；而平面向量基本定理是把几何问题向量化的理论基础。     

黎曼式非欧几何

譯者按:譬如有左中右三間房子靠在一起,要能认識清楚当中一间房子的特点,最好到左右两間里都看看,比較比較;我們在中学里接触的都是欧几里得几何的內容,但要认清其特点,最好也到非欧几何学的领域里“溜一趟”,关于罗巴切夫斯基的非欧几何,国內已有較多的介紹,而关于黎曼式非欧几何則介紹較少。現在特将苏联“数学教学”1961年第2期A.C.巴尔霍民柯的这篇文章編譯出来,供讀者从中窺視黎曼式非欧几何的大体輪廓。引言在几何学里經常有两件要做的主要工作,一是为了明确概念而确立定义,一是为了揭示真理而推証定理。每定义一新概念,必須有旧概念为依据,而此旧概念又須用更原始的概念去定义。如此追溯上去,我們不得不事先选定一組基本概念,不加定义,作为解释其余一切概念的出发点。     

关于解析几何教学的几点注意

本文拟环繞解析几何中的一些概念,关于在数学教学中如何对待“直观与論证”談一些个人的看法。內容包括:一、数学中的邏輯論証及直观說明;二、解析几何教学中一些問題的商榷;三、关于綫段的量的一个定理;四、关于三角形面积公式的一个証明;五、关于二次曲綫中心的定义問題。一、数学中的邏辑論证及直观說明先談談数学中的邏輯論証。通常在数学中的論証属于形式邏輯中論証的范畴。形式邏輯中的任何証明都是由下列三部分构成:(一)論題,(二)論据,(三)論証。論題是需要加以証明的判断,論据是被用来作为論題底充足理由的諸判断,論証是組成从論据推出論     

微积分学中值定理

在数学分析的学习和研究过程中,微积分学中值定理,象一条紅綫一样貫串始終,联系着它的概念、理論和应用:成为数学分析基础理論的核心。我們把它敘述为“微积分学中值定理”(我們这样称呼它): 若1°函数f(x)在区間[a,b]上連續; 2°函数F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数;     

指导学生独立地完成数学作业的几点体会

教师讲解示范例題 对数学課的教学来說,当然讲清数學的概念和规律是头等重要的任务,不然的話学生就根本学不会数學知識。我这里談的是在基本上听懂了老师所讲的知識后,如何指导学生独立地更好地完成課內外的作业问題。我觉得教师在讲数学的概念、法則、性貭、定理后,接着就要讲这些概念、法則、性貭、定理如何应用的例題,或者通过一些例題来分析所讲的概念、法則、性貭、定理等基础知識,通过这些例題的讲解不仅能促使学生学会数学基础知識如何应用,帮助学生进一步理解基础知識,同时也能启发学生独立思考的方法和途径。究竟怎样来选择例題才能达到上述的要求呢?个人有这样几点体会。一、精心选择例題。例題的来路很广,书上有例題,习題中的有些題目还可以选作例題,課外参考书上也可以挑选些例題,教师自己也可以編拟些例題等等,但問題不在于例題选自何处,而在于所选例題的內容是否确当,教师能否有目的地讲解这些例题。 1.教师耍选用具有代表性的例題,通过这些例題的讲解,启发学生举一反三,触类傍通。教师应该认真研究这些具有代表性的例題,看它能解决什么样的問題,怎样在讲解过程中向学生揭示它的代表性和規律,这样使学生用所学的例題当响导去解决其他一些练习     

論构造性数学

1.近年来,数学中的构造方向获得了重大的进展,它的实貭是局限于不引起实无穷性抽象的潛在能行性的抽象的范围內,而仅仅限于研究构造性对象。同时,由于对具有給定性貭的对象的存在,只是在指出了构造这种对象的潛在能行性的方法之后才被认可,因此,否弃了所謂純粹存在性的定理。我們不去給构造性对象的概念下定义,而只給予解释,构造性对象是指某些图形,它是由另一些基本的图形——基本的构造性对象——按一定方式来組成的。用儿童积木“建筑师”构筑起来的建筑物,以及由继电器所組成的继电器接触线路,就是这种例子。在构造性数学理論中,为了避免作出构造性对象的一般定义,我們局限于研究某些标准型式的构造性对象,无論是构成我們結构的零件——基本的构造性对象,还是基本的构造性对象的結合方法,都应当标准化。最簡单的一种构造性对象,就是在一个确定的字母表中,由它的字母所构成的字。在給定字母表中的字,就是其中字母的一个序列。例如,     

同解方程的教学意見

为什么“同解方程”是学生难于接受的內容,从而也是教师不易处理的教材呢?我認为至少有三个原因: 1.同解概念本身比較抽象,由于学生年龄特征所限,初学时确实难于接受。 2.虽然我們沒有預測增根和減根的一般理論,但是对于某些常用解法还是可以个别地建立其同解法则。目前教材除了載有同解方程定义和一些極原則性的同解定理以外(虽然这些是必要的),而如何利用同解理論去指导解方程就談得很少,因此某些教师进行到同解方程一节时就講一下,事后便不能經常利用已学得的理論去实际指导解方程。这种理論脫离实际的教法,必然导致不良效果。