充分辩析“项” 正确解答数列题

按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项.如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫作这个数列的通项公式.在数列中对于“项”的处理既重要又复杂,易混易错.下面就是这方面的一些例子.     

利用单位根给出一般周期数列的通项公式

首先回顾周期数列的定义:给定数列{an},如果存在不为0的正整数T,使得ai=ai+T对一切自然数i都成立,则称数列{an}称为周期数列,称T为这个数列的周期.例如a,b,c,a,b,c,…,一般要写出这个简单周期数列的通项并不困难,通常可以用分段通项公式来确定.但     

常系数线性递推数列通项公式的矩阵求法

设数列为,若有正整数K和K＋1个实常数使对任意自然数n都成立,则称阶常系数线性递推数列,（l）式称为递推公式．彭咏松先生在文［l」中利用等比数列和线性方程组的一些知识,研究了常系数齐次（ho一O）线性递推数列的通项公式．本文利用矩阵理论讨论了一般的常系数线性速推数列通项公式．则（1）变为：将（2）式反复迭代,则有：当矩阵E－A可逆时,由于从而（3）式变为当时,,于是可见求数列（n｝通项公式的关键就是求矩阵A的n次方幂,利用矩阵理论可解决此问题．下面举例说明（X。）的通项公式的矩阵求法．例至已知X;一O,X。一1,…     

利用函数不动点求数列的通项公式

递推公式是给定数列的一种重要的方式,已知数列的前,n项和递推公式求数列通项公式的试题在数学高考和竞赛中也屡见不鲜.     

正项等比数列的一类递推公式

文 [1]作者在某些特定形式下 ,研究了等差数列的一类递推公式 .笔者受此启发 ,研究了相应的正项等比数列的一类递推公式 ,设数列 {an}的前n项之积为Tn,则对形如Tn=f(n ,an)的递推公式所确定的数列 {an},在一定特定形式下是一个等比数列 .笔者经初步探索 ,得到如下结果 .命题 1　已知正项数列 {an}的前n项之积为Tn,若对任意的自然数n均有Tn =( pan) n ( 1)　其中p为正常数 ,则数列 {an}为等比数列 .证　由已知 ,当n≥ 2时 ,Tn + 1=(pan + 1) n + 1( 2 )( 2 )÷ ( 1)得　　 an - 1n + 1pann=1( 3)由 ( 3)得 ann + 2 pan + 1n + 1=1( 4)( 4)…     

如何发现数列的周期性

如果题目中给出数列递推公式（相邻项之间的等式）,要求出某一项,又不可能逐个去求出该项的前面各项时,这就预示该数列是周期数列,我们可以先求出数列的周期,求出一个周期内的各项,便可求出数列的任何一项．那么如何发现是周期数列呢？下面作一些总结．     

构造常数数列求通项

<正>在数列{b_n}中,若b_n+1=b_n(n∈N﹡),则数列{b_n}为常数数列,其通项公式是b_n=b_1,在求某些递推数列的通项公式时,若能构造出一个新的常数数列,便能简便的求得通项公式.1.我们知道等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d,我们可以用构造常数数列的方法求这个通项公式.     

函数思想在数列中的几点应用

数列是一类特殊的函数 ,即数列是定义在自然数集 N或其子集 {1 ,2 ,… ,n}上的函数f ( n) ,当自变量 n依次取自然数时 ,对应的函数值是一序列 :f( 1 ) ,f ( 2 ) ,… ,f( n) ,…这就是数列 ,其通项公式为 an =f ( n) .因此 ,数列与函数之间的关系 ,是一般与特殊的关系 ,正是这种关系 ,使函数思想方法成为研究和解决数列问题的重要工具 .在数列的教学中渗透函数思想方法 ,不仅可以加深学生对数列的认识 ,而且可以使学生深入领会特殊→一般→特殊这一认知规律在数列中的具体应用 .1　 用函数观点研究等差、等比数列的特点数列的通项公式及前 n…     

周期数列的几种形式

数列是一种特殊的函数,所以数列中也存在周期的问题,且以各种形式给出的周期函数问题在数列中同样成立.定义对于数列{an},若存在一个(固定的)自然数T,使得对一切自然数n≥N,都有an T=an成立,则称数列{an}为从第N项起的周期为T的周期数列.若N=1,则称数列{an}为纯周期数列,否则称     

求有穷数列的通项公式的公式

一个无穷数列未必有通项公式,一个有穷数列呢?学习了高等代数中的拉格朗日插值公式之后,回答是肯定的。任何一个有穷数列都有通项公式。     

A（x）－C（x）的渐近公式

设Ａ、Ｃ是一些自然数的集合。对于Ａ中任一自然数ｍ，每一ｍ阶群都是Ａｂｅｌ群；对于Ｃ中任一自然数ｎ，每一ｎ阶群都是循环群。本文的目的是证明下面的渐近公式：此处γ是Ｅｕｌｅｒ常数，ｌｏｇｒｘ＝ｌｏｇ（ｌｏｇ＿（ｒ－１）ｘ），ｌｏｇ＿１ｘ＝ｌｏｇｘ。     

与pq互质的自然数列的通项公式

与ｐｑ互质的自然数列的通项公式徐和郁（浙江普陀中学３１６１００）设ｐ、ｑ都是质数，本文讨论与ｐｑ互质的自然数列（即与ｐｑ互质的所有自然数从小到大排成的数列）的通项公式．在以下的讨论中，我们要用到：引理１若，则若则引理１的前３个结论的证明是简单的，最后...     

数列通项公式的求法

数列是一种以自然数 1,2 ,… ,ｎ作为自变量的函数 ,给出数列的方式常常有两种 ,一是由项与项数的关系给出的即通项公式法 ,二是由相邻项的关系给出的即递推公式法 .这两种方式都反映出了数列的结构特点和构成规律 .那么怎样由己知数列的递推公式来探求数列的通项公式呢 ?本文通过具体实例介绍几种常用的方法 .一、转化成等差等比数列此方法主要根据数列的递推关系式的特征 ,通过适当变形 ,构造出关于某个整体的等比或等差数列 ,求出该整体的通项后再求所求数列的通项 .例 1　已知数列 {ａｎ}中 ,ａ1 =1,ａｎ =3ａｎ-1 + 1(ｎ =1,2 ,3,… ) …     

一些取整数列求和公式及应用

一些取整数列求和公式及应用秦宗慈（镇江高专数理系２１２００３）由取整函数［Ｘ］产生的数列可称作取整数列．关于取整数列的求和，我们已经知道等［１］．本文将证明另外一些求和公式，其中一切字母表示自然数．在公式④中，令ｓ＝２，ｍ＝ｌ便得①；令ｓ＝２，ｍ＝２...     

等差数列和等比数列问题

等差数列和等比数列是两种非常基本的数列 ,其通项公式和求和公式已为大家所熟悉 .数列问题涉及的知识面十分广 ,我们不能拘泥于几个公式和性质 ,而是要在理解的基础上把握住这些公式与性质的本质 ,掌握其思想方法 ,特别是要注意培养熟练地求出其中任意一个元素的运算能力和把一个具体问题转化为等差数列或等比数列问题的逻辑能力 .例 1　 ( 1998年希望杯全国数学邀请赛第二试试题 )在一个各项是实数的等比数列中 ,若前两项的和是 7,前六项的和是 91,那么前四项的和是 (　　 )(Ａ) 2 8.　 (Ｂ) 32 .　 (Ｃ) 35.　 (Ｄ) 4 9.解　因为Ｓ2 =ａ1…     

逆向思维 别样的风景

1.问题的提出在数列的章节中,由初值及递推关系求通项公式的题目是常见的,但笔者逆向一想就不禁要问：为何只见“由递推求通项”,却鲜有“由通项求递推”？你也许会纳闷：通项公式已经告诉我们数列的每一项了,干嘛还要求递推公式？假若已知数列的通项公式,让你求其某一项,你会怎么做？这还不简单,代入计算即可,但事实有时却并非如此.     

关于特定型极限limx→+∞1/xk∫x0t~(k-1)︱cos t︱dt的分析与计算

通过引入伯努利数和自然数等幂和公式,给出相应的奇自然数等幂和公式.利用夹逼定理将该特定型函数极限转化成商式数列的极限问题,并由第二数学归纳法推出分子表达式的不定积分表示,进而应用余弦函数的周期性和奇自然数等幂和公式推得分子表达式的通项公式,再由夹逼定理获得该特定型极限的一般结果,从而回答了所提出猜想是正确的.     

充分辩析“项” 正确解答数列题

<正>按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项.如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫作这个数列的通项公式.在数列中对于"项"的处理既重要又复杂,易混易错.下面就是这方面的一些例子.例1某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的     

等差（等比）数列中的相等问题

我们知道 ,非零的常数列既是等差数列 ,又是等比数列 .在这类数列中 ,对于任意自然数 p ,q ,都有ap=aq.除此之外 ,还有没有其它等差 (等比 )数列使ap=aq 成立 ?Sp =Sq的情况又如何 ?本文将对这些问题进行探讨 .1　等差数列中的相等问题设 {an}是等差数列 (非常数列 ,下同 ) ,是否存在自然数 p ,q ( p≠q) ,使ap =aq,Sp=Sq?分析　若ap=aq,则由等差数列的通项公式有a1+ ( p - 1 )d =a1+ ( q - 1 )d .因为 {an}不是常数列 ,即公差d≠ 0 ,所以 ,必有 p =q .这与 p≠q的条件相矛盾 .这样 ,我们就得出第一个结论 :对于非常数列的数差数列 ,它的…     

例谈高中数学的递推关系

递推公式是数列中重要的概念之一,指可以通过给出数列的第1项(或前若干项),并给出数列的某一项与它的前一项(或前若干项)的关系式来表示数列,这种表示数列的式子叫作数列的递推公式,是数列一种特殊的表示法.其实,高中数学中的其他很多内容也有着递推关系的身影.