一道2010年全国联赛试题的变式探究

以上五个问题的解答都用到了三角换元法,它是求函数值域的一种常用方法．进行三角换元的主要根据是sin2 a＋cos2 a=1,如果x2＋y2=a2,可令x=asin a,Y=a cos a;     

关于不定积分的换元积分法

关于不定积分的换元积分法水乃翔，王美琴（杭州大学数学与信息科学系３１００２８）新近，文献［１］将不定积分的换无法分成直接代换和逆代换两类，它们分别正是教材［２］，［３］，［４］和［５］所述的第一类和第二类换元法，第一类换元法通常也称为凑微分法，在［１...     

一组三角不等式的简单证明

一组三角不等式的简单证明宋庆（江西永修县一中３３０３０４）王伯英先生在文［１］、［２］中利用控制不等式证得一些不同寻常的三角不等式，其中有：ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ２＋１，（１）ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ１＋２２，（２）ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉ...     

一道竞赛题的六种简便解法

<正>二次根式求最值问题常出现在竞赛题的填空题中,此类问题一般可以使用换元法、配方法、三角换元法、平方法等解决,但这些方法解答难度较大,因此运用巧妙解法解决此类问题十分重要．下面以一道竞赛题为例,介绍几种二次根式求最值问题的简便快捷解法．     

采纳“y=x~αx∈R~ ”将带来种种“阵痛”

陈重穆先生于１９９６年１０月发表的文［１］与次年１１月２５日给炯沛老师的复函，已经十分清楚地阐明了限定幂函数ｙ＝ｘα的定义域为Ｒ＋的必要性；文［３］与［４］的论述是对陈先生观点的具体化，笔者表示赞同不再重复；本着对教材改革的关注，我们先来剖析现行高一代数课本Ｐ４０的以下论述；我们看下面的例子：５ａ１０＝ａ２＝ａ１０５（ａ＞０）３ｘ１２＝ｘ４＝ｘ１２３（ｘ＞０）这就是说，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式可以写成分数…     

一个不等式的几何意义

一个不等式的几何意义李长明（贵州教育学院５５０００３）设ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，则有ａ２＋ａｂ＋ｂ２＋ｂ２＋ｂｃ＋ｃ２＋ｃ２＋ｃａ＋ａ２≥３（ａ＋ｂ＋ｃ）．这是文［１］中，用构造三角形法证代数不等式的一例．它与文［２］的思路一样．但文［２］只用了“三角形内...     

一个数学问题的探究

《数学通报》问题1662：求函数y=sinx＋cosx＋tanx＋cotx＋secx＋cscx的值域．其解答采用切割化弦和换元法求得值域为（-∞，1-2√2]∪[2＋3√2，＋∞）．笔者通过探究发现，在该函数取正值时，最小值2＋3√2在特殊角x=2kn＋π/4（k∈Z）时取得，本文进一步探求该函数在限制条件下的一些推广形式的最小值．     

一类涉及两个单形的不等式及应用

本文给出了一类涉及两个单形的三角不等式，作为其应用；可以导出文［１］的主要结果，特别地可以证明文［５］提出的一个猜想．     

关于换元法求无理函数值域应用问题的思考

换元法是一种变量代换,其实质是用一种变量形式去取代另一种变量形式,从而把一个函数变为简单函数.所换新元的范围由原函数的定义域及所换元的表达式来确定.本文对用代数换元法和三角换元法求三类无理函数的值域作些探讨.     

也谈一组数学问题的统一解法

文［1］中用分母整体换元法证明了一类分式不等式，但较繁．本文介绍另一种解此类问题的通法，以飨读者．首先介绍不等式（1）和（2）．当且仅当bi=kai（b为常数，i=1，2，…，n）时取“=”号（以下略）它的证明见［2］下面就用（1）或（2）证明[1]中所提到的一组数学问题．例1设证明很简单，无需任何技巧注：如[1]所述，若采用分母整体换元法，需令S-a1=k1，S－a2=k2，…，S－an=kn得a1=S-k1，a2=S-k2，…，an=S-kn，经代换化简整理变后，还要再用（1）或均值不等式方能使问题获得解决．类似的例子不一一枚举．对于［1］中一些貌现繁难…     

关于函数f（x＋λ）＝af（x）＋b／cf（x）＋d的周期性的讨论

关于函数ｆ（ｘ＋λ）＝ａｆ（ｘ）＋ｂ／ｃｆ（ｘ）＋ｄ的周期性的讨论华中师范大学数学系刘永华，邓乐斌文［１］的作者用矩阵的方法，使分式线性递推数列，二阶循环数列，等差数列，等比数列求通项的问题全部统一到二阶矩阵的乘方上来了．文［２］、文［３］讨论了一类...     

作一种数形转化解一类三角问题

作一种数形转化解一类三角问题王仕维（重庆市兼善中学６３０７００）当θ∈［θ１，θ２］且０＜θ２－θ１＜２π时，如何求函数ｆ（θ）＝ａｃｏｓθ＋ｂｓｉｎθ的值域，这似乎是一个常见而且简单的问题，将其化为ｆ（θ）＝利用θ＋ψ的范围及正弦函数的单调性便可解...     

求一类多元函数最值的公式

１　问题的提出例１　设ｘ、ｙ、ｚ是三个不全为零的实数,求函数ｕ（ｘ,ｙ,ｚ）＝ｘｙ＋２ｙｚｘ２＋ｙ２＋ｚ２的最大值．例２　设ｘ、ｙ、ｚ是三个不全为零的实数,求函数ｕ（ｘ,ｙ,ｚ）＝ｘｙ＋２ｙｚ＋２ｘｚｘ２＋ｙ２＋ｚ２的最大值．文［１］利用带参数的均值不等式较为巧妙的求出了函数的最大值;文［２］利用双判别式法给出了这类问题的一种初等解法,拜读后获益匪浅．这类三元二次分式函数的最值问题在一些竞赛中曾以填空题的形式出现;倘若按部就班的以文［１］、［２］中的方法去求解,就显得“小题大作”．对求这类问题是…     

天净沙·值域

几何换元三角 ,方程综合单调 ,判别有界配方 .因题而异 ,求值域在归纳注 :“几何”指数形结合 ,即用几何的思想求解 ;“换元”指换元法 ,“三角”指三角代换 ;“方程”指利用方程的思想 ,即反函数法 ;“综合”指综合分析法 ;“单调”指利用函数的单调性 ;“判别”指判别式法 ;“有界”指利用函数的有界性 ;“配方”指配方法 ;“因题而异”是指求值域没有固定的方法与模式 ,必须具体题目具体分析 ,关键在于个人的归纳总结 .天净沙·值域$贵州茅台酒厂子校@李治泉 $贵州仁怀一中@严勤     

一个三角不等式的加强及推广

一个三角不等式的加强及推广湖南岳阳县熊市乡中学陈宽宏诸多书刊中有这样一个三角不等式：△ＡＢＣ是锐角三角形，则ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＞ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ（１）证明，见［１，Ｐ６０］或［２］．本文以（１）的等价变形为出发点来加强及推广（１...     

引入参数利用等号成立的条件证明不等式

文［１］，［２］把欲证不等式引入参数后，使问题转化为求关于参数函数的最值问题．本文给出另一种方法，即对欲证不等式引入参数后，利用均值不等式及其取等号的条件来证明．这种方法的思路自然，操作简便，应用广泛．下面举例说明．例１设ｐ，ｑ∈Ｒ＋，且ｐ３＋ｑ３＝...     

等差数列方幂和的一个新的表示式

等差数列方幂和的一个新的表示式７３０９１９甘肃煤炭工业技校马统一文［１］讨论了利用（１＋ｘ）ｋ的一个新展开式求的一个方法．本文对文［１］的方法进行了本质上的修改和推广．从而给出一般等差数列的前ｎ项ｋ次方和的一个新的计算公式．定义称为人阶差分多项式，规...     

关于对广义正定矩阵的进一步研究

文［１］定义了广义正定矩阵集合Ｐ（Ｉ）．文［２］定义了较Ｐ（Ｉ）更广泛的另一个广义正定矩阵集合Ｐ（Ｓ＋）．本文把Ｐ（Ｉ）中矩阵的某些性质，推广到Ｐ（Ｓ＋）中从而丰富了Ｐ（Ｓ＋）矩阵集合的结果。     

关于扰动m-增生算子值域条件的改进

本文证明了扰动ｍ－增生算子的几个值域定理，改进了文［１］的某些定理的条件     

解非线性方程的二阶敛速指数迭代法

1．gi言文［1，2］中利用ODE方法［'］给出解非线性方程在卜6I内的根x"的两个非线性迭代法其中'w由文［2］中（5）式确定．令h-1方法（2）具有M阶敛速，方法（3）是线性收敛的．它们是李雅普诺夫渐近稳定性和文［4］中Lambert提出的解Stiff方程的非线性方法相结合的结果．Lllbll't在每个小区间【Ln，Ln＋1］上用一个有理函数月O一句（I十利来逼近微分方程的解z二"I，＊。）；＊。Ek；q，使得对I＿，J。）一J＿，"乙十；，J。）＝。＿＋i，l'（Ln，10）一人，而tim0（7；00）一0"．那么我们能否在每个小区间【Ln，Ln＋1］上用一个指…