数论在中国的发展情况

在中国,数论的发展是有着极其悠久的历史的.这在纪元以前,孙子所建立的中国除数定理和距今约七百年前秦九韶所发明的解一次不定方程的方法,都是比较突出的例子.到了近代,数论方面的发展更由于早期向苏联学习而有了长足的进步.谈到近代数论,必须要提起数学研究所所长华罗庚在这方面所作过的许多优秀的贡献.     

华罗庚教授在数论上的贡献

指数和的估计 命q为一个正整数及f(x)为一个整系数多项式 f(x)=a_kx~k … a_1x_1此处(a_k,…,a_1,q)=1.考虑完整三角和若f(x)=x~2,则S(q,x~2)为熟知的 Gauss和.Gauss证明过 |S(q,x~2)|=q~(1/2).S(q,f(x))的估计问题有悠久的历史,直到华罗庚在1940年完全解决这个问题之前,还仅仅只能对于一些特殊多项式能够解决.华罗庚用精美的方法证明了     

2022年全国高中数学联赛数论题的解法

这篇文章虽是解题,但没有一般的形式化表述,而是从始至终阐述思维展开过程．作者想突出的从特殊到一般的思维方法讲述得非常清楚．最后作者还强调了其中的要点和难处,平实而又省人．     

均匀设计——数论方法在试验设计的应用

一、引言 在试验设计中当因素较多时,常用正交试验法。为了叙述的方便,目前仅限于讨论各因素水平相等的试验,设水平数为q。用正交表安排多因素试验,试验的数目为rq~2,r为自然数,当q比较大时所需的试验数目就很可观,例如安排一个9水平试验,则至少要9~2次试验,在许多情况下做这么多试验是不允许的。在试验费用很贵的时候,也希望尽量减少试验次数。多水平的试验可以用平衡不完全区组法(BIB)来减少试验次数(参见     

n级三角矩阵环上的模范畴和同调特征

本文给出了n级三角矩阵环Гn的定义．证明了n级三角矩阵代数Гn上的有限生成模范畴mod Гn与范畴Гn(?)等价,得到了诸如Гn的Jacobson根,Гn(?)的不可分解投射对象的形式及Гn的整体维数等性质．     

Gauss整环上的三角和与二维Fourier级数

本文在分析了一维AFT（Arithmeric Fourier Transform)推导的基础上,首次将整数环上的三角和推广到Gauss整环上。结合Gauss整环上的Moebius反演公式,推出了计算二维Fourier系数的AFT算法。     

三角在代数上的一个应用

指明一个实系数多項式P(x)是否有实根常常是一件很重要的事情。我們已經有施斗姆方法能指出P(x)实根的个数,当然也指出了非实复根的个数。下面仅提出一个P(x)有非实复根的充分条件作为三角在代数上的一个应用。定理实系数多項式P(x)=x~n+a_1x~(n-1)+…++a_n当(a_1-a_3+a_5-…)~2+(1-a_2+a_4--…)~2≤1,a_n(?)0时,一定有非实复根。为了証明这个定理,我們先証明两个公式: sin(α_1+α_2+…+α_n)==cos α_1 cos α_2…cos α_n(T_1-T_3+T_5-…),(1)cos(α_1+α_2+…+α_n)==cos α_1 cos α_2…cos α_n(1-T_2+T_4-…),(2)其中T_k为tg α_1,tg α_2,…,tg α_n中每k个相乘相加k=1,2…n。为了証明公式(1),(2)采用如下的归納法:設有两个命題f(n),g(n)。1) 当f(1),g(1)都是真确的。2) 假設f(n-1),g(n-1)都是真确的,可以推出f(n),g(n)也是真确的。则对所有的自然数n,f(n),g(n)都是真确的。     

论复数在三角上的应用

根据复数的初等性质和运算法则,使我们能充分地利用复数去研究三角中的问题。例如,利用棣莫佛定理能够推出倍角的正余弦公式,利用复数的乘法和乘方法则可以推出正弦和余弦的加法定理等等。此外,利用复数可以证明三角中的一些重要公式、定理,还可以证明三角恒等式和计算三角和等问题。本文的目的是利用复数解三角中的一些问题。为了方便起见,我们给复数以简便记号,这种记号被称作Francais记号,1813年由他所创,后来被柯西采用过。     

萦绕问题脑海转引出源头活水来——一道三角问题的解法赏析

数学问题总是从不同的层面刻画和描述知求关系.当我们从一个方面揭示问题时,希望从另一方面得到合理的解释和回应,以期达到共鸣的效果.针对下面数学问题,笔者就经过了探索和谐共存的心路历程,愿与同行共享.     

函数在任意区间上的三角级数

在高等数学课程中,大家都知道,非周期函数在[0,π]或[0,l]上可展成正弦级数或余弦级数。本进行进一步的研究,得出了非周期函数在任意区间[a,b]上不仅可展成为正弦级数或余弦级数,而且可展成为Fourier级数。     

韦达定理的逆定理在三角中的应用

如果两个数α和β满足如下关系:α+β=b/aαβ=c/a,那么这两个数α、β是方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根,我们知道,这便是韦达定理的逆定理。下面举例说明它在平面三角中的应用。例1 已知A+B=90°,sinAsinB=m。求证:tgA、tgB是方程mx~2-x+m=0的两个根。证明:∵A十B=90°, ∴A=90°-B B=90°-A。∴tgA+tgB=sinA/cosA+sinB/cosB =sin(A+B)/cosAcosB=1/sinBsinA =1/m (1) ∵tgAtgB=tgActgA=1 (2) 故根据韦达定理的逆定理,由(1)、(2)     

评华罗庚与王元合著的《数论在近似分析中的应用》

华罗庚教授与王元教授合著的《数论在近似分析中的应用》一书,作为纯粹数学与应用数学专著,已于1978年底由科学出版社出版。这本书(为简便起见,以下简称《数论应用》)是近二十年来用数论方法对于多维积分近似计算研究成果的一个系统全面的总结。 众所周知,1859年Riemann引进复变数函数的函数,1896年Hadamard用解析方法证实了素数定理,1921年Hardy—Littlewood创建“圆法”,以及特别是1937年N.M.BoB创造了“三角和方法”解决了大奇数Goldbach问题以来,分析方法渗透到     

在高中一年級讲三角課时遇到的几个問題的商榷

(一) 在中学里,为了便于指导学生閱讀課本,培养他們独立工作能力,应当依照現行課本的教材順序进行教学。不过目前数学各种教材正处在逐步下放阶段,彼此銜接方面有些还不够紧密,而高中一年级的代数与三角两門課间脫节現象更为显著。在高一三角課中,首先讲三角函数定义时,要依賴于相似形的性貭与函数的概念作为基础。但是在代数里还沒讲到函数,没有函数概念的初步知識而进行研究三角函数作为一种具体的函数性貭时,对于这門知識的理解与运用来說,都将使学习受到一定程度的困难与缺陷。所以应当使学生了解函数的概念后再进一步讲三角函数的定义是完全有必要的。这样,就必然需要对現行課本中的部分教材,从順序安排方面作适当处理,才能适应于教学。怎样安排更好?个人意見是这样: 第一,开始讲三角新課前,先把函数的概念讲一些基本知識,包括常量、变量、对应关系及函数的符号与表达式等,为讲三角函数定义作好准备。如果采取这种方法,应注意下列两点: 1.讲函数的概念,不宜占用过多的課时,內容也不宜过广。主要以能够适应讲三角新課时的需要为准; 2.与代数里所讲函数概念的教材內容要一致,課     

在三角中运用比例性质的解题思路

在三角中,一些与比例有关的问题,运用比例性质来解题非常方便,因为它目标明确,思路清楚,可以克服解题的盲目性,得到简捷的途径、这里略举数例说明。 (一)直接以比值为媒介来解题例1 在△ABC中,己知(sinB+sinC):(sinC+sinA):(sinA+sinB)=5:6:7求证:cosA:cosB:cosC=-4:11:14     

导数的一个定理在三角恒等式中的应用

11二二一-~二二二二二二二=二二=二一一=二=二二二二二二二二二二二二侧1+xZ训1十x之0故aT:cos(一x):-口TCCO万X=C又a下ecos(一1)+a了ecosl二兀(常数)x〔〔一1,1〕所泛妇罚。:(一x)+ar“osx=兀,故厂cc仍(一x)二二一arccosx, 定理设函数厂(x)在区间(a,如果在(a,西)内恒有f‘(x)=o(a,b)内是常数。b)内可导, 那么f(x)在x〔〔一1。 杯J3 (卜l(1) 证明:召1乙COS据这一定理可以巧妙、(1 01〕。求证Za下es inx二a::cos(1一Zx“),若、爷士1,由于〔名aTc了l’nx一 2万“)〕产= 浪角恒等 例 证式的题。简便的解决一类三了1一xZ 2丫1一x“l,一三…     

直线的截距在代数、三角中的应用

亚2 一、证明形如。《f(:) k。(x)《万的不等式 对于,《f(:) k夕(:)簇M,其中k,M,m为常数的不等式的证明,只要作如下变换: 令。一j(幼,。二抓:),则问题转化为:证明2(一专):)普一2(。…。、。。S·、粤)了百 2.=f(二)口=g(忿)(3)2* 要簇二(2、 擎或2、十妙毛: ‘qq过曲线上任意一     

浅谈控制不等式在几何三角上的应用

控制不等式理论近些年来发展很快,而且已经应用到非常广的领域,其中对几何三角不等式的应用则是很有意思的一部分,故在这里作一个简单的介绍。     

常用三角代换及其在代数上的应用

在许多代数问题中,根据有关字母的取值范围或满足的条件,引进相应的三角函数,借用三角方法解答这些问题,往往比纯代数方法简便。本文介绍一些常用三角代换及其在代数上的应用。 1若|a|≤1,联系到|sina|≤1,|cosa|≤1可作代换a=sina或a=cosa。例1 已知|a|<1,|b|<1,求证 |ab±((1-a~2)(1-b~2))~(1/2)|≤1。证明因为|a|<1,|b|<1,所以可令     

对五年来高考数学试题的看法

一、五年来高考与中学教学情况的回顾 有人说,高考命题就象一根指挥棒,直接地影响着中学各科的教学方向。这话讲得是很有道理的。我们可回顾一下自1977年恢复高考制度以来的数学试题和中学数学教学的有关情况。 1977年的高考是由各省、市、自治区分别命题的,试题要求难易不一。广东、北京、上海等省市的试题较容易,而安徽、福建、江西、陕西等省的试题较难。1978年起恢复全国统一命题的做法。由于报考     

加权残数法在固体力学中的应用——我国近年来进展情况

本文综述了我国近年来加权残数法用于固体力学的进展情况.加权残数法是一种解微分方程式的近似解法,广泛地用于流体力学、热交换问题等.于国内,由于需要,近年来发展此法用于固体力学问题,发现有较多优点.文章简单地介绍此法之后,即综述此法用于杆、板、壳、网壳、弹性力学二维及三维问题,有关泛函研究,收敛性问题,配点地位问题,试函数研究,样条函数及梁函数的应用,非线性问题及于时间领域内的应用等.作者总结过去,提出了几个加权残数法今后需要研究的课题的建议.