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笔者发现 ,中心对称的多边形外接圆周上的点具有如下性质 :中心对称多边形的每组对边上关于它的外接圆的对称点到过外接圆周上任一点的切线的距离之和为定值 .即命题 1 设中心对称的多边形Ａ1Ａ2 …Ａ2ｎ(ｎ≥ 2 )的外接圆Ｏ的半径为Ｒ ,ｌ为过圆周上任一点Ｐ的切线 .Ｍｉ 与Ｍｉ′为第ｉ组(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ)对边上关于圆心Ｏ的对称点 ,且Ｍｉ 与Ｍｉ′到ｌ的距离分别为ＭｉＮｉ 与Ｍｉ′·Ｎｉ′ ,则∑ｎｉ=1(ＭｉＮｉ+Ｍｉ′·Ｎｉ′) =2ｎＲ为定值 .分析 :不失一般性 ,当ｎ =2时 ,即对中心对称的四边形的情况给出证明 .图 1 命题 1图证… 相似文献
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本刊文 [1 ]将文 [2 ]的关于抛物线的一个几何性质推广到了椭圆及双曲线中 ,几个结论综合起来是与圆锥曲线对称轴有关的一个性质 .但文[1 ]中所述的性质只涉及到曲线焦点所在的对称轴 ,而遗漏了另一对称轴的情形 .另外 ,这个性质对圆也是成立的 .作为文 [1 ]的补充 ,本文再给出以下三个结论 .定理 1 设Ａ是以Ｏ为圆心、Ｒ为半径的圆内异于Ｏ的任意一点 ,Ｂ是ＯＡ延长线上的一点 ,且｜ＯＡ｜·｜ＯＢ｜=Ｒ2 ,(1 )若过Ａ点引直线与这个圆相交于Ｐ ,Ｑ两点 ,则∠ＰＢＡ =∠ＱＢＡ ;(2 )若过Ｂ点引直线与这个圆相交于Ｐ ,Ｑ两点 ,则∠ＰＡＢ+∠… 相似文献
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《数学通报》2 0 0 0年第 6期《一个有趣性质的拓广》中的命题 1 矩形外接圆周上的任一点到各顶点的距离的平方和为定值 .命题 2 矩形外接圆周上的任一点到各边中点的距离的平方和为定值 .可作进一步的推广 .命题 1′ 关于原点成中心对称的多边形的外接圆周上的任一点到各顶点的距离的平方和为定值 .证明 如图所示 ,设ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 为关于原点成中心对称的图形 ,点Ｐ(ｘ ,ｙ)为其外接圆上的任一点 ,角θｉ- 1 为有向角 ,记θｉ- 1 =∠Ａ1 ＯＡｉ,｜ＰＡｉ｜为点Ｐ到点Ａ的距离 .则∑ｎｉ=1｜ＰＡｉ｜2= ｘ-Ｒｃｏｓθｉ- 1 2 … 相似文献
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关于直线上一类最值点的探讨３４１０００江西赣南师范学院熊曾润本文研究的问题是：问题１给定一条直线人空间的ｎ个点Ａ；及ｎ个正数十（ｉ—１，２，…，ｎ），试在直线ｌ上求一点Ｐ，使得Ｓ（Ｐ）一Ｚ入ＩＰＡｒ最小．设Ａ；在直线ｌ上的射影为ＡＺ（ｉ—ｌ，２，…，... 相似文献
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对于平面上ｎ个点 ,任意两点有一个距离 ,记这些距离中的最大者与最小者之比为λｎ,求λｎ的最小值ｉｎｆλｎ.在文 [2 ]中 ,笔者已经证明了ｉｎｆλｎ >1 2π ｎ- 1 ,下面我们证明ｉｎｆλｎ <1 2π ｎ 1 ,(1 )这是用初等方法给出的最好估计之一 .首先我们约定｜Ａ｜表示集合Ａ的元素个数 ,如Ａ为平面区域 ,Ｓ(Ａ)表示Ａ的面积 .下面给出(1 )的证明 .先给出几个引理 : 引理 1 对于平面上任一圆Ｏ及圆外一点Ｐ ,有以下两个结论 :(1 )过点Ｐ一定有直线不和圆Ｏ相交 ;(2 )如果过点Ｐ有一条射线 ,它的反向延长线与圆Ｏ的某条直径所在的直线… 相似文献
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定理 1 ｎ棱锥有外接球的充要条件是 :它的底面多边形有外接圆 .证明 记ｎ棱锥为Ｐ-Ａ1 Ａ2 …Ａｎ,它存在一个外接球 ,球心为Ｏ ,半径为Ｒ .Ｏ在底面投影记为Ｍ ,则ＯＡ1 =ＯＡ2 =… =ＯＡｎ =Ｒ显见Ｒｔ△ＯＭＡ1 ≌Ｒｔ△ＯＭＡ2 ≌… ≌Ｒｔ△ＯＭＡｎ∴ＭＡ1 =ＭＡ2 =… =ＭＡｎ即Ｍ是ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 的外心 ,必要性证毕 .反之 ,对于ｎ棱锥Ｐ-Ａ1 Ａ2 …Ａｎ,设底面多边形有外接圆心Ｍ ,过Ｍ作直线ＭＮ垂直于底面 ,显见ＭＮ不与ＰＡ1 垂直 ,故作线段ＰＡ1 中垂面 (即过ＰＡ1 中点且与ＰＡ1 垂直的平面 )必与直线ＭＮ有唯一的交… 相似文献
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关于空间ＰＡ_ｉ~２为定值的一个结果杨定华（四川高县中学高９６级（１）班６４５１５０）定理记Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ；Ｂ１，Ｂ２，…，Ｂｎ为空间中的２ｎ个点，Ａ１Ｂ１，Ａ２Ｂ２，…，ＡｎＢｎ交于一点Ｏ，且ＯＡｉ＝ＯＢｉ（ｉ＝１；２，…，ｎ），点Ｐ是半径为... 相似文献
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对于某些数学问题,若能灵活运用其定 义,便能快速获解．下面仅谈谈圆锥曲线定义 的灵活运用． 例１ 已知圆Ｏ方程为ｘ～２＋ｙ～２＝１００,点 Ａ的坐标为（－６,０）,Ｍ为圆Ｏ上任意一点, ＡＭ的垂直平分线交ＯＭ于点Ｐ,则点Ｐ的轨 迹方程为（）． 此题若用求轨迹方程的其它方法很费 时,但根据图形用定义就能迎刃而解． ｜ＰＡ｜＋｜ＰＯ｜＝｜ＰＭ｜＋｜ＰＯ｜ ＝Ｒ Ｐ点的轨迹是以 Ａ（－６,０）,Ｏ（０,０） 为焦点的椭圆．故选（Ｂ）． 例 ２ 已知定点 Ａ（２,）,Ｆ是椭圆头十头一１的左焦点,点Ｍ在椭圆上移动,１６ １… 相似文献
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关于"圆锥曲线的一类定值问题"的再探讨 总被引：2，自引：2，他引：0
文 [1 ]证明了如下三个结论 :结论 1 已知抛物线ｘ2 =-2ｐ(ｙ-ｂ)上一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,过Ｐ作倾斜角互补的两条直线ＰＭ ,ＰＮ分别与抛物线交于异于Ｐ的两点Ｍ ,Ｎ ,则直线ＭＮ的斜率为定值ｘ0Ｐ.结论 2 已知椭圆ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1上一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,过Ｐ作倾斜角互补的两条直线ＰＭ ,ＰＮ分别与椭圆交于异于Ｐ的两点Ｍ ,Ｎ ,则直线ＭＮ的斜率为定值ｂ2 ｘ0ａ2 ｙ0.结论 3 已知双曲线 ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1上一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,过Ｐ作倾斜角互补的两条直线ＰＭ ,ＰＮ分别与双曲线交于异于Ｐ的两点Ｍ ,Ｎ ,则直线ＭＮ的斜率为定值 -ｂ2 … 相似文献
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９５年高考第２６题的推广２５０００１山东省实验中学木生问题已知椭园，直线：Ｐ是ｌ上一点，射线ＯＰ交椭圆于点Ｒ，又点Ｑ在ＯＰ上且满足｜ＯＱ｜·｜ＯＰ｜＝｜ＯＲ｜２．当点Ｐ在ｌ上移动时，求点Ｑ的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．对问题的条件进行推广将椭圆推... 相似文献
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《数学通报》2001,(9)
20 0 1年 8月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 2 6 设ｍ >0 ,ｎ >0 ,α∈ (0 ,π2 ) ,求证 :ｍｓｅｃα ｎｃｓｃα≥ (ｍ23 ｎ23) 32 .(江苏省灌云县中学 朱兆和 2 2 2 2 0 0 )证明 设点Ｐ的坐标为 (ｍ ,ｎ) ,直线ｌ过点Ｐ ,倾角为π-α ,ｌ与ｘ、ｙ轴的正半轴分别交于点Ａ、Ｂ(如图 ) .则 ｜ＰＡ｜ =ｎｓｉｎα,｜ＰＢ｜ =ｍｃｏｓα则 ｜ＡＢ｜ =｜ＰＡ｜ ｜ＰＢ｜=ｍｓｅｃα ｎｃｓｃα .又设Ａ(ａ ,0 ) ,Ｂ(0 ,ｂ) ,则直线ｌ的方程为 ｘａ ｙｂ =1 ,ｌ过Ｐ(ｍ ,ｎ) ,所以 ｍａ ｎｂ =1 .｜ＡＢ｜2 =ａ2 ｂ2 =(ａ2 ｂ2… 相似文献
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关于圆锥曲线的切线性质的一组定理 总被引：2，自引：1，他引：1
本文将应用如下两条熟知的引理及相关的平面几何知识 ,推导出关于椭圆、双曲线、抛物线的切线性质的一组定理 .引理 1 椭圆 (或双曲线 )上任一点的切线与该点的两条焦半径成等角 .引理 2 抛物线上任一点的切线与该点的焦半径及其对称轴成等角 .定理 1 过椭圆 (或双曲线 )上任一点作切线 ,则两焦点到此切线的距离之积为定值 .证明 (仅以双曲线为例 ,椭圆类似 ,从略 )如图 ,设双曲线的方程为ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1 ,ａ、ｂ ∈Ｒ+,Ｐ为双曲线上任一点 ,ｌ为过点Ｐ的切线 ,Ｆ1、Ｆ2 为两焦点 ,Ｆ1Ａ⊥ｌ于Ａ ,Ｆ2 Ｂ⊥ｌ于Ｂ ,由引理 1可知 ,∠… 相似文献
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已知点Ｐ的坐标为 (ｘ0 ,ｙ0 ) ,直线ｌ的方程为Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 ,求点Ｐ到直线ｌ的距离ｄ的值。全日制高中教材《平面解析几何》及成人中专教材《数学》都是通过“讨论”、“过Ｐ点作 ｙ轴的平行线”、“运用三角知识”导出ｄ的 ,笔者认为两教材的求法思路自然、灵活 ,也易为学生理解 ,但也有不足之处 ,如过多地依赖图形 ,出现了多次讨论等 ,本文将独辟蹊径 ,通过求函数最小值来导出ｄ的值 .众所周知 ,点Ｐ到直线ｌ的距离就是点Ｐ到直线ｌ上任一点Ｍ的距离的最小值ｄ .设Ｍ (ｕ ,ｖ)是直线ｌ上任意一点 ,则 |ＰＭ|=(ｕ -ｘ0 ) 2 (ｖ -… 相似文献
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抛物线的焦点到准线的距离为Ｐ ,用直尺圆规画出抛物线 ,画法如下 :图 1画法 1 作线段ＫＦ ,使 |ＫＦ| =Ｐ ,Ｏ为线段ＫＦ的中点 ,过Ｋ作ＫＦ的垂线Ｌ ,在ＫＦ的延长线上取点Ｍ1 ,以Ｆ为圆心 ,以ＯＭ1 为半径画圆⊙Ｆ ,再以Ｋ为圆心 ,以ＯＭ1 为半径画弧交直线ＫＦ于点Ｎ1 ,过Ｎ1 作垂直于ＫＦ的直线交圆⊙Ｆ于点Ｐ1 Ｐ1 ′ ,改变Ｍ1 的位置 ,例如Ｍ2 ,Ｍ3… ,用同样的方法画出点Ｐ2 ,Ｐ2 ′ ,Ｐ3,Ｐ3′…… ,把点Ｏ ,Ｐ1 ,Ｐ1 ′ ,Ｐ2 ,Ｐ2 ′ ,Ｐ3,Ｐ3′…… ,用平滑的曲线连结起来 ,就得到抛物线的图象 (如图 1 ) .画法二 作直线Ｌ ,在… 相似文献
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《数学通报》2000,(10)
第一天大田 ,2 0 0 0年 7月 19日时间 :4小时 30分每题 7分 问题 1 圆Γ1 和圆Γ2 相交于点Ｍ和Ｎ .设ｌ是圆Γ1 和Γ2 的两条公切线中距离Ｍ较近的那条公切线 .ｌ与圆Γ1 相切于点Ａ ,与圆Γ2 相切于点Ｂ .设经过点Ｍ且与ｌ平行的直线与圆Γ1 还相交于点Ｃ ,与圆Γ2 还相交于点Ｄ .直线ＣＡ和ＤＢ相交于点Ｅ ;直线ＡＮ和ＣＤ相交于点Ｐ ;直线ＢＮ和ＣＤ相交于点Ｑ .证明 ＥＰ =ＥＱ .解答 令Ｋ为ＭＮ和ＡＢ的交点 .根据圆幂定理 ,ＡＫ2 =ＫＮ·ＫＭ =ＢＫ2 ,换言之Ｋ是ＡＢ的中点 .因为ＰＱ∥ＡＢ ,所以Ｍ是ＰＱ的中点 .故只需证明Ｅ… 相似文献
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圆的定义在平面几何中写得很明白，用集合的记号就是：定义１设Ｏ为平面（Ｅ２）中的一点，ｒ为一正数，集合｛Ｐ｜ＯＰ＝ｒ，Ｐ∈Ｅ２｝称作以Ｏ为圆心、ｒ为半径的圆．这个定义清楚明白，无话可说，但笔者多年前也见过有的教材采用下一定义：定义２设Ｏ为平面（Ｅ２）中... 相似文献
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证明某直线是圆的切线的主要证题依据是 :(一 )切线的判定定理 :经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ;(二 )圆心到直线的距离ｄ与圆的半径的数量关系 :直线ｌ和⊙Ｏ相切 ｄ =ｒ,即当ｄ =ｒ 直线ｌ和⊙Ｏ相切 .这一证题依据的实质就是 :若圆心到某直线的距离等于半径 ,则此直线是圆的切线 .在大量有关切线判定的题型中 ,常规辅助线的作法通常有以下两种 :一 .连线得半径要证明某直线是圆的切线 ,若此直线与圆有一个明确的交点而经过此点的半径未作出时 ,则连结圆心和此交点 ,得到圆的半径 ,再利用第一个证题依据 ,即切线的判定… 相似文献
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文 [1 ]给出了定比分点坐标公式引出的几个结论 ,在各类数学问题中还有许多与此公式相类似的结果 ,笔者进行了一些探索 ,又得到如下几个结论供同行参考 .结论 1 设Ｐ ,Ａ ,Ｂ ,Ｍ是以Ｏ点为圆心 ,Ｒ为半径的圆周上的四个点 ,∠ＰＯＡ =α ,∠ＰＯＢ =β(约定∠ＰＯＡ表示始边ＯＰ绕着Ｏ点旋转到终边ＯＡ所成的角 ,逆时针旋转为正角 ,顺时针旋转为负角 ) .ＡＭ∶ＭＢ =λ ,则 ∠ＰＯＭ =α λβ1 λ .图 1 圆证 如图 1 ,设∠ＰＯＡ =α (弧度 )∠ＰＯＢ =β (弧度 ) ,∠ＰＯＭ =ｘ (弧度 ) ,∵λ =ＡＭＭＢ=ＰＭ -ＰＡＰＢ -ＰＭ=ｘＲ … 相似文献