一道全国高中数学联赛预赛试题的推广

<正>题目(2015年全国高中数学联赛四川预赛15题)过双曲线x²-y2-y²/4=1的右支上任意一点P(x_0,y_0)作一直线l与两条渐近线交于A、B,若P是AB的中点.(1)求证:直线l与双曲线只有一个交点;(2)求证:△OAB的面积为定值.解答证明:(1)双曲线的两条渐近线方程为y=±2x.当y_0=0时,易得直线l的方程为x=x_0,此时直线l与双曲线只有一个交点.     

考点24 双曲线

1.(全国卷,6)已知双曲线x62-y32=1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF1⊥x轴,则F1到直线F2M的距离为().(A)356(B)566(C)56(D)652.(全国卷,9)已知双曲线x2-y22=1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF1·MF2=0,则点M到x轴的距离为().(A)34(B)35(C)233(D)33.(福建卷,10)已知F1、F2是双曲线x2a2-yb22=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是().(A)4+23(B)3-1(C)32+1(D)3+14.(上海卷,5)若双曲线的渐近线方程为y=±3x,它的一个焦点是(10,0),则双曲线的方程是.5.(山东卷,14)设双…     

利用反比例函数的性质解题

<正>反比例函数y=k/x(k为常数,k≠0)的图像是双曲线.当k>0时,双曲线的两支分别在第一、三象限,在每个象限内,y随x增大而减小,如图1;当k<0时,双曲线的两支分别在第二、四象限,在每一个象限内,y随x增大而增大,如图2,双曲线的渐近线是两坐标轴.     

新题征展(11)

A.题组新编1.( 1)过定点 A( 2 ,1)且与双曲线 x2 - y2 =4恰有一个公共点的直线共有　　条 ;( 2 )过定点 B( - 2 ,- 2 )且与双曲线 x2 - y2 =4恰有一个公共点的直线共有　　条 ;( 3)以双曲线 x2 - y2 =4的两支为间隔把平面划分成左、中、右三个区域 ,其中过中域 (不含边界 )任一     

双曲线的一个性质

<正>本文拟介绍一个关于双曲线的性质.首先看如下性质:如图1,若AD∥BC,则S△ABC=S△DBC;反之,若S△ABC=S△DBC,则AD∥BC.下面利用这个性质给出双曲线的一个性质:情形1如图2,点M、N是双曲线y=k/x(k>0)第一象限     

椭圆双曲线的一组有趣性质

在对椭圆、双曲线的研究中 ,笔者发现一组有趣性质 .为便于结论统一 ,我们先引入一个概念 :定义　在二次曲线方程Ａｘ2 +Ｂｙ2 +Ｃ=0 (其中Ａ、Ｂ、Ｃ是常数且Ａ·Ｂ·Ｃ≠ 0 )中 ,称比值 - ＡＢ 为此二次曲线的斜心率 ,记为Ｋ ,即Ｋ =- ＡＢ.例如圆ｘ2 +ｙ2 =ｒ2 的斜心率Ｋ =- 1 .于是 ,我们有如下有趣性质 .定理 1　椭圆 (或双曲线 )的中心在原点Ｏ ,焦点在坐标轴上 ,其斜心率为Ｋ .点Ｐ为椭圆 (或双曲线 )上任意点 ,Ｐ1 Ｐ2 为椭圆 (或双曲线 )上任意弦 ,设直线ＰＰ1 、ＰＰ2 的斜率分别为ｋ1 、ｋ2 .若弦Ｐ1 Ｐ2 过中心Ｏ ,则ｋ1 ·ｋ2…     

用圆锥曲线的统一定义求其标准方程

在人民教育出版社出版的《六年制重点中学高中数学课本》中把椭圆、双曲线、抛物线统一定义为:与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹。当01是双曲线;e=1     

巧用等轴双曲线uv=a~2解题

巧妙运用直角坐标系uov的等轴双曲线uv=a~2(a>0)解答某些数学题,新颖独特、实用简便。本文先介绍一个结论,然后从三个方面进行举例,期能起到抛砖引玉的作用。定理设a>0,则在直角坐标系uov内,两直线u+v=-2a、u+v=2a分别切双曲线uv=a~2于顶点A_1     

椭圆与双曲线

1　本单元重、难点分析1)重点 :椭圆与双曲线的定义及相关概念 ;椭圆与双曲线的标准方程及其推导 ;椭圆与双曲线的几何性质及应用 .2 )难点 :利用椭圆与双曲线的第一定义和第二定义解题 ;椭圆与双曲线的几何性质的应用 ;直线与椭圆、双曲线的位置关系及与弦有关的问题 .2　典型例题选讲例 1　已知Ｆ1,Ｆ2 是椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )的左、右焦点 ,Ｐ为椭圆上的一点 ,∠Ｆ1ＰＦ2 =π3.1)求椭圆离心率的取值范围 ;2 )求证 :Ｓ△Ｆ1ＰＦ2 =33ｂ2 .图 1　例 1图讲解　由椭圆的第一定义 :|ＰＦ1| + |ＰＦ2 | =2ａ ,而 |ＰＦ1| ,|ＰＦ…     

圆锥曲线的一个性质

笔者在圆锥曲线性质的探索过程中发现一个性质,现呈现如下结论1 如图1,过双曲线C:x2/a2-y2/b2=1(a＞0,b＞0)的右准线x=a2/c与x轴的交点P作双曲线C的割线交于A,B两点,如双曲线离心率为e,焦准距为p,右焦点为F,∠AFB =θ,直线AB的斜率为k(k＞0),则k=ecosθ/2.     

考点27 圆锥曲线系、参数方程及最值问题

1.(天津卷,5)设双曲线以椭圆2x52+y92=1长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为().(A)±2(B)±34(C)±21(D)±432.(湖北卷,5)双曲线xm2-yn2=1(mn≠0)的离心率为2,有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则mn的值为().(A)136(B)83(C)136(D)383.(重庆卷,9)若动点(x,y)在曲线x42+y2b2=1(b>0)上变化,则x2+2y的最大值为().(A)b24+42b(0相似文献   

等轴双曲线上三点构成正三角形的充要条件

1997年全国高中数学联赛一试第四题为 :设双曲线 xy =1的两支 C1、C2 ,正三角形PQR的三个顶点位于此双曲线上 ,求证 :P、Q、R不能都在双曲线的同一支上 .本文先给出赛题的几种证法 ,然后给出等轴双曲线上的三点构成正三角形的一个充要条件 .图 ( 1 )证法 1　假设 P、Q、R在双曲线 xy =1的同一支如 C1(如图 (1 ) )上 ,其坐标分别为 (x1,1x1)、(x2 ,1x2) ,(x3,1x3) ,不妨设 0 相似文献   

一道解析几何题的变式探究

高三复习圆锥曲线时遇到这样一道习题:题目点P是双曲线C1:ax22-yb22=1(a>0,b>0)和圆C2:x2 y2=a2 b2的一个交点,且2∠PF1F2=∠PF2F1,其中F1,F2是双曲线C1的两个焦点,则双曲线C1的离心率为.本题主要考查双曲线和圆的有关基础知识,由题中条件可知,圆是以双曲线的焦距为直径的,则∠     

圆锥曲线统一定义的应用

椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.它们表示到定点F和定直线l的距离的比是一个常数e的点M的轨迹.当01时,点M的轨迹是双曲线;当e=1时,点M的轨迹是抛物线.其中定点F叫做焦点;定直线l叫做准线;定比e叫做离心率.这样的     

圆锥曲线易错点剖析

一、将非标准形式当成标准形式导致错误例1已知双曲线的右准线为x=4,右焦点为F(10,0),离心率e=2,则双曲线方程为     

黄金双曲线的若干性质

文[1]给出了黄金椭圆的定义和性质.阅后很受启发,类似地,本文给出黄金双曲线的定义及性质.定义若双曲线x2a2-by22=1的离心率为黄金比的倒数(记w=52-1,e=ac=1w=5 2 1),则称双曲线为黄金双曲线.性质1黄金双曲线都具有方程x2-wy2=a2的形式.性质2在黄金双曲线中,任一焦点F和它距离较远的实轴的端点A以及虚轴的任一端点B所成的角∠FBA=90°.性质3在黄金双曲线中,虚轴是实轴和焦距的等比中项.性质4黄金双曲线的虚端点圆面积(就是以双曲线的中心为圆心,过虚轴端点的圆的面积,下类同)是实端点圆面积和焦点圆面积的等比中项.以上性质的证明比较容…     

利用曲线系(x~2/a~2)-(y~2/b~2)=λ求曲线方程

中学教材介绍的曲线方程的求法有两种。一是轨迹法,二是标准式法。利用曲线系求曲线方程又是标准式法一种特殊形式。这里以双曲线系方程为例,说明这种方法的应用。方程x~2/a~2-y~2/b~2=λ(Ⅰ)表示中心在原点,对称轴合于坐标轴的双曲线系。λ>0时,焦点在x轴上,λ<0 时,焦点在y轴上,不管λ为何值,这些双曲线都以x~2/a~2-y~2/b~2=0为渐近线(特别地,λ=0时,曲线就是渐近线)。因此,双曲线系(Ⅰ)又称共渐双曲线系。当研究的双曲线与渐近线有关时,运用双曲线系(Ⅰ)解题很方便。     

一类解析几何问题的简洁求法

《圆锥曲线方程》一章是解析几何的重点和难点 ,圆锥曲线与直线的位置关系更是高考中永恒的热点 ,这类问题有一种常见模式 :一条直线与圆锥曲线交于Ａ ,Ｂ点 ,且ＯＡ⊥ＯＢ .对于这类问题 ,下面介绍一种简洁解法 .例 1　设双曲线的顶点是椭圆 ｘ23+ ｙ24 =1的焦点 ,该双曲线又与直线 15ｘ - 3ｙ + 6 =0交于Ａ ,Ｂ两点 ,且ＯＡ⊥ＯＢ(Ｏ为原点 ) ,求此双曲线的方程 .解法 1　已知椭圆的焦点 (0 ,± 1) ,即是双曲线的顶点 ,因此设双曲线方程为 ｙ2 -ｍｘ2 =1(ｍ >0 ) ,联立直线方程 15ｘ - 3ｙ + 6 =0与双曲线方程 ｙ2-ｍｘ2 =1消去 ｙ ,得53-…     

例析圆锥曲线离心率范围问题的求解

离心率是圆锥曲线的一个重要性质 .椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据 ,双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据 ,而抛物线离心率为特殊值 .圆锥曲线的统一定义是按离心率范围不同 ,而确定圆锥曲线中的椭圆、双曲线、抛物线的类型 .高考试题对离心率的求值多次相继出现 ,受其启发 ,本文现对圆锥曲线离心率变化范围进行探究 ,对常见相关习题进行归纳 .1　由曲线图形的性质求离心率的范围从曲线的方程和性质 ,结合图形特定形状 ,求解离心率的范围 .例 1　过双曲线x2a2 - y2b2 =1　 (a >0 ,b>0 )的右焦点 F作双曲…     

新题征展(124)

A 题组新编 1.(张乃贵)(1)已知F1,F2是双曲线x2/a2-y2/b2=1的左、右焦点,点P是双曲线右支上的一点,且PF1=5PF2,则双曲线的离心率取值范围是____;