运用类比联想探求解题思路

有时候 ,我们遇到一个陌生问题 ,即刻不知如何解决 ,但是 ,当我们细心观察它的特征后 ,脑海中会闪现出某个“似曾相识”的问题 ,并且从这个熟悉问题的解法中得到启发 ,从而迅速合理地解决它 .如此进行类比联想的效果 ,既沟通了不同知识间的联系 ,又加深了对这些知识的理解和记忆 .类比的内容是丰富的 ,联想的对象是多样的 ,因而它的应用也必然是广泛的 .例 1　已知 ｂ -ｃ5ａ =1,求证 :ｂ2 ≥ 4ａｃ.证　由结论类比根的判别式 ,原式可变为 5ａ -5ｂ ｃ =0 .令ｘ =5后 ,可变为一个二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ =0 ,而此方程有一个实根为 5,故判别…     

通过类比联想寻找解题思路和方法

有很多数学问题的解决需要灵感,而灵感的获得又不是凭空产生的,需有一定的依托,而这种依托就是对平常所学定理、公式、几何图形的进一步理解和深化:从正反两方面的理解、从代数几何角度的理解(几何包括函数图象及平面几何、立体几何图形).比如勾股定理,正、余弦定理,三角形面积     

一个最值问题的解法

我们知道对于函数 ｆ(ｘ1,ｘ2 ) =ｘ1ｘ2ｘ21 ｘ22,因为有ｘ21 ｘ22 ≥ 2ｘ1ｘ2 .所以 ｆ(ｘ1,ｘ2 )的最大值为 12 .那么对一般化问题 ｆ (ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｎ) =ｘ1ｘ2 … ｘｎ - 1ｘｎｘ21 ｘ22 … ｘ2 ｎ(ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｎ 不同时为零 )的最大值又该如何考虑 ?　　当ｎ =3时 ,ｆ(ｘ1,ｘ2 ,ｘ3) =ｘ1ｘ2 ｘ2 ｘ3ｘ21 ｘ22 ｘ23.引入正参数ｃ1,ｃ2 ,因为ｃ21ｘ21 ｘ22 ≥ 2ｃ1ｘ1ｘ2 ,ｃ22 ｘ22 ｘ23≥ 2ｃ2 ｘ2 ｘ3.所以 ｃ12 ｘ21 12ｃ1ｘ22 ≥ｘ1ｘ2 ,ｃ22 ｘ22 12ｃ2ｘ23≥ｘ2 ｘ3.两同向不等式相加得 ｃ12 ｘ21 ( 12ｃ1 ｃ22 …     

例说初中数学中动线段最值问题的解法

求动线段长度的最值是初中数学中一种常见题型,动线段的端点中都含有动点,对于只含有一个动点的单动点线段,一般利用动点的轨迹或与该动点相关的动点的特性解题,对于含两个动点的双动点线段,一般利用该线段与与之相关的动线段之间的比为定值解题,与之相关的动线段具有这样的特征:两个端点中有一个端点是定点,或有一个端点具有某种特性,我们可以利用上述动线段的端点特征解题.下面就举例说明这种题型的解法.     

基于数学模式探析数学竞赛中的函数最值问题

基于数学模式的观点,对数学竞赛中的函数最值问题的求解方法做了一些分析,给出了九种模式结构.     

数学问题解答

20 0 3年 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 41 6　Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,∠ＢＡＣ=90°,Ｄ、Ｅ为ＢＣ边上的两点 ,△ＡＤＥ的外接圆分别交边ＡＢ、ＡＣ于点Ｐ和Ｑ ,且ＢＰ +ＣＱ =ＰＱ ,求∠ＤＡＥ的度数 .(安徽省南陵县第二中学　金旗　2 42 40 0 )图 1引理　如图 1 ,梯形ＡＢＣＤ中 ,ＡＤ∥ＢＣ ,Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＣＤ上两点 ,且ＡＥ=ＢＥ ,ＥＦ=12 (ＡＤ +ＢＣ) ,则有ＥＦ ∥ＢＣ .(该引理较易证明 ,略 )解　如图 2 ,过Ｐ点作ＰＦ ⊥ＡＢ ,ＰＦ交ＢＣ于Ｆ点 ,取ＰＱ的中点Ｏ ,连结ＯＥ ,ＰＥ .图 2因为ＡＢ =ＡＣ ,∠Ｂ…     

解题后适度联想、类比，探索问题本质

不少学生在做完一道题后,很少去适度联想、类比、深化,仅仅满足于表象上的了解,不会揭示问题的本质,不去进行知识间的联系和沟通,长期如此,很难有一个认识上的提高．本文就上述问题,倡导同学们在平常练习过程中展开适度联想,将知识适度深化、综合,这有利于思维品质的优化、学习效率的提高．试举几例以示说明．     

一个数学问题的联想

数学通报1843号问题是：在△ABC中,试证：sinAcosB＋sinBcosc＋sinCcosA≤3／3/4.．     

求代数式最大（最小）值的基本原理

在高三复习课中 ,学生对以下例 1的解法提出疑问 .　图 1　例 1图例 1　 (1997年全国高考理科第 (2 5)题 )设圆满足 :①截 ｙ轴所得弦长为 2 ,②被ｘ轴分成两段圆弧 ,其弧长的比为 3∶1,在满足①②的所有圆中 ,求圆心到直线ｌ:ｘ- 2 ｙ =0的距离最小的圆的方程 .解　如图 1,设圆心为Ｃ(ａ ,ｂ) ,半径为Ｒ ,由条件①可得ａ2 12 =Ｒ2 ,由条件②得∠ＡＣＢ =90° ,得Ｒ2 =2ｂ2 ,两式消去Ｒ ,得2ｂ2 -ａ2 =1(1)设圆心Ｃ到直线ｌ:ｘ - 2 ｙ =0的距离为ｄ ,则ｄ=|ａ - 2ｂ|12 2 2 =55|ａ - 2ｂ| (2 )问题变为求ｄ取到最小值时ａ ,ｂ的值 .将 (…     

最值问题中的常见错例及其剖析

最值问题是中学数学的一类重要问题 ,其解法繁多且灵活多变 ,因此学生求解时极易出现错解、误解的现象 .本文归纳、整理了学生在求解最值中的一些常见的问题 ,通过展示错解、剖析错因、给出正解 ,以达正本清源、辩别正误的目的 .1　消元时忽视条件的限制　　例 1　设 3ｓｉｎ2 α 2ｓｉｎ2 β =2ｓｉｎα ,求ｙ =ｓｉｎ2 α ｓｉｎ2 β的取值范围 .错解 :ｙ =ｓｉｎ2 α 12 ( 2ｓｉｎα - 3ｓｉｎ2 α) =- 12(ｓｉｎα - 1) 2 12 ( 1)　　由 |ｓｉｎα|≤ 1,∴ ｙ∈ [0 ,12 ] .剖析 :显然当 ｙ =ｓｉｎ2 α ｓｉｎ2 β =12 时 ,ｓｉ…     

通过从平面几何到立体几何的类比进行数学发现的计算机模拟

该文从数学方法论的角度阐述了归纳、类比等数学方法在数学发现、发现与创新中的重要作用．从这一观点出发，提出了采用类比方法实现数学发现的计算机模拟的基本思想，并介绍了一个通过类比平面几何中的定理来发现立体几何中的有关定理的模型．实验结果表明，该模型具有一定的发明创新能力．     

求解函数问题的首先考虑

定义域是函数的一个基本要素 ,研究函数的有关问题时 ,如果忽略定义域 ,往往会导致解题失误 .因此 ,必须优先考虑函数的定义域 .下面结合数例加以说明 .1　求函数的值域 (最值 )例 1　已知 3x2 +2 y2 =9x ,求u =x2 +y2 的最大值 .错解 :∵ 3x2 +2 y2 =9x ,∴ y2 =12 (9x - 3x2 ) ,∴u =x2 +y2 =x2 +12 (9x - 3x2 )=- 12 x - 922 +818,所以当x =92 时 ,u有最大值为818.剖析　由制约条件 3x2 +2 y2 =9x知y2 =12 (9x - 3x2 )≥ 0 ,解得 0≤x≤ 3,即u =- 12 x - 922 +818的定义域为 [0 ,3],而x =92 [0 ,3],所以u不可能取得818,故上述解法有误 …     

对一个数学问题的类比探究

从一个数学问题出发,分别探讨了点O为三角形的外心、内心、重心、垂心时的最值问题,得到了相应的结论.     

例说数学思维的困境及其摆脱

思维受挫就是在解题时,按一般的思路介入后,或者浅尝辄止,或者眼花缭乱,或者误入歧途,一错再错,或者前途渺茫,无法推进,就算使尽了浑身解数,左冲右突,终觉“山重水复疑无路”.笔者以为,要修复受挫的思维,只要仔细读题审题,寻找蛛丝马迹,类比联想相关知识点,分析可能的思想方法,探索恰当的思维路径,就会“峰回路转,柳暗花明”.下面举例说明,供同学们参考.     

例谈联想思维在数学解题中的运用

数学是思维的学科,提高学生的思维能力是数学教育的目标之一,灵活、精巧的解题技巧不会凭空出现,它是在一个个由此及彼的联想中进发出来的.本文主要结合中学教学实际,探讨解题过程中一些常见的联想途径.1由数到形的联想数与形是密不可分的,数形的结合,往往会使一些看似无从下手的问题得到巧妙解决,使复杂问题简单化.     

一个最值问题的求解方法

文[1 ] 对如下问题进行了研究 :已知实数x1 ,x2 ,… ,xn 满足x21 +x22 +… +x2 n= 1 ,当n≥ 3时 ,求maxi≠j mini≠j|xi-xj|.本文给出如下简捷解法 .由题意 ,不妨设x1 ≤x2 ≤…≤xn -1 ≤xn,并令mini≠j|xi-xj|=min|xi+ 1 -xi|=a(i=1 ,2 ,… ,n - 1 ) .则当 j>i时 ,xj-xi=(xj-xj-1 ) +… +(xi+ 1 -xi)≥(j-i)a∴ ∑1≤i相似文献   

一道德国数学奥林匹克试题的简解

文[1]给出了一道德国奥林匹克试题的解法,本人觉得其解法不常规,下面给出此题的另一种简解,同时阐明多元函数最值的一般求法,与读者共勉．