不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|取等号的充要条件

高中数学课本证阴了不等式!。}一}川《1。一卜日《卜!理l划,但没有指出何时才能取得‘“”号,本文指出其‘二’号成立的充要条件,并给出应用. 定理1.不等式la+bl《卜l+lb}(。,b〔R)取‘二”号的充要条件是。b>0. 证明:卜一:一6!二扣}+!乙}令今!。十bl忍二·(卜卜!b!)s令冷,十2}。}lb!十b’二。:+:卜b!+bZ令今:b》0. 用数学归纳法可证明推论:不等式l::十。:十…+口。I《!。:卜卜:卜…+}。。】取‘=”号的充要条件是所有a。a;》o(‘,j=l,2,…,。) 定理2.不等式}口{一}b】《】a+‘}(a,b, ‘刃)取“~’号能充妥系件是口二b=。或一l《b/:‘〔. …     

广义积分integral from n=0 to 1()((1n)~(k-1)t)/(1 t)dt与级数Sum from n=1 to ∞() ((-1)~(n-1))/n~k间的关系及计算

定理1设k是正整数，则有证明记由于易知又由于所以所以（6）式为在（8）中取、r—－1，有在（9）中作变换L—一X有＿＿、＿．l．＿＿、，＿I。〔h〔，＿＿＿rp（－1）＿。＿。L、，＿＿＿。。＿＿＿＿，＿。。定理1给出了广义积分l；：＝一体与级数西二个一之间的关系。下面的定理2将给出‘“““””“’””””“”JI＋t”’”””“‘“’””“““””“’””““”“”‘”“““计算级数Zirn／一的一个递推公式。它相9地将人X）展成余弦级数（14）式为一递推公式，继续递推并注意到八二I。。Snxdx一O，则（14）为在（16）式中…     

涉及两个三角形的一个等式及其应用

定理dea，b，c，西和a’，b’，c’，凸’分别表示＊ABC和西XH0的边长和面积，为了证明（1），我们先证明：引BRx．v．x．x’．v’，z’满足由轮换时称可得我们称（7）式为“匹多”等式．（由于T＞O，Q＞O，所以由（7）式却匹多不等式H＞16面面’成立）．在（1）式中今a’一b’一c’，即面A’B’C为等边三三角形时，并设我们称（8）式为“外森比克”等式．由（1）式和（7）式可将匹多不等式加巴为：当然，由（4）、（5）、（6）式还可以得到多个区多不等式的加强．同样，由（8）式也可以得到一系列外在比克不等式的加强，限于篇幅，可…     

凑配均值不等式常用的变形技巧

（a1，a2，…，an是正数，n∈且≥2）解证有关不等式问题，常常无法直接解决，而是先将解证的不等式进行适当的变形，凑出均值不等式的条件，再用均值不等式解决．这时，恰当的变形便成为解题的关键．下面介绍七种常用的变形技巧．1补项例1已知X＞-1，且x≠0，n∈N，求证：（1＋x）n＞1＋nx．证明例2设x1，x2，…，xn。都是正数，证明：2拆项例3已知a、b∈R ，且a≠b，求证：证明a5＋b5例5已知a、b、c∈R ，且a＋b＋c＝1，求证：证明例8已知a＋b＋c—1，＄证：rt‘＋b‘＋C‘MM．证明”．”1一（a＋b＋c）‘一a‘＋b’＋c’＋Zab＋Zbc＋…     

周界中点三角形的又一性质

定理设面ABC三边为a，b，c，周界中点三角形相应边为a’，b’，c’，则证明设D、E、F分别为西ABC的边BC、CA、AB边上的周界中点．从E、F作EM上BC于M，FN上BC于N，NV（如图3）但BF—CE一户一a，因此上式即为a’＞a一（p—a）（cosB＋cosC）．再由关于y，C’的类似不等式，三式相加，得诸式代入上式左边，欲使看是否可能？化饲：即p’＜6R’－－f－－ZRr—r’；但Gerretsen不等式为P‘＜4R‘＋4Rr＋3r‘，可见只须证4R’＋4Rr＋3r’＜6R’＋ZRr—r’，PFZR’－ZRr、4r‘20；由欧拉不等式R）Zr知，ZR’一ZRr—4r‘一2…     

数学问题解答

1999年9月号问题解答（解答由问题提供人给出）12if．求ig勺O”＋ig‘SO”＋tgc7o“的值．解设A—ig1o”一ig5o”＋ig7o“，B—tglo“ig7o“－tglootg500－ig5o”ig7o”，C—tglo”ig5o”ig700．首先，求出A、B、C的值．由ig3a的公式得，ig“a－3ig3atg“a－3tga＋ig3a—O，易见，a—－SO”、IOo、7O”是方程ig‘a－／3ig‘a－3tga＋H’－j—’、—－·—－”一”3一O的在正切函数tga的单调区间（－goo，gO肝内的三个不同的根，由韦达定理得：A一人，B—一A3，卜———”～3其次，令D，；一ig”Ic“＋（－ig5o“）’‘＋ig”7O（n…     

变上限积分integral from n=a to x () f(t)dt的一个应用

本文将利用变上限定积分构造辅助函数的方法，建立并证明一类新的积分不等式。定理1设f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，f（a）=0，如果．那么如果广（x）＞l，那么不等式（l）反向，且仅当人x）20，入。）一x－a或几。）一lr－a＋b＿I。＿。、上三二时等号成立。2”“。、——～。证明对于任意给定的t6［a，b」，构造函数对t求导数得：F’（t）二由厂（t）＞O，知f（）单调递增，又f（）一O，故f（）＞O，tC［a，hi又O＜／（t）＜1，．”．G’（t）＞O，G（t）单调递增。”．’G（a）一O．”．G（t）＞O即产（t）一G（t）f…     

某些循环不等式的直接证法

合肥工业大学苏化明先生在文[1]中应用一类三角形不等式来证明某些循环不等式，其实这些循环不等式就是由三角形不等式生成的（参考文献[2]）．本文意在借助均值不等式给出这些循环不等式的直接证法．例1设x、y、z＞0，求证：9（X y）（y＋z）（z＋x）≥8（x＋y＋z）（xy十yz＋zx）①证明左=18xyz十9x2y干9xy2＋9y2z 9yxz2十9x2x＋9xx2，右=8x2y 8x2z 8xyz 8xy2 8y2z 8xyz＋8yz2＋8xz2 8xyz，原不等式等价于x’y＋xv‘＋y’z十批十z‘x－zx’＞6ng．这用六元均值不等式易证．故原不等式成立．例2设Z、＊、Z＞0，求证：则原不等式等价于（…     

关于Miloevi不等式的加强

1991年，D．M．Milosevic建立了一个关于三角形的不等式’[1]．其中表示对a、b、c循环求和·1992年，陈计建立了下面不等式D’；＞？cos‘AZ手．（2）注意到熟知的R．Kooistera不等式［‘1．＿．、A＿3．＿、3’Sin‘二）ML．（3周才凯在文［4j中给出了（2）的一个加强：＿，－＿2－＿、A、。＞’cos’AM；（＞Isin’Y）‘．（4）最近，杨晋在文［sj中对（l）、（2）进行了强弱比较，得到：针对（4）、（5），文［5］提出了如下猜测：本文证明（6）成立，且推广为：其中kMO．证明由公式及柯西不等式，得不妨设。＞b＞C，RO由等知，…     

基于柯西不等式结构特征的解法

柯西不等式的一般形式为（a1^2＋a2^2＋…＋an^2）（b1^2;＋b2^2…＋bn^2）≥（a1-b1＋a2b2＋…＋dnbn）^2（n∈N＋）,它的结构特征可用对联“‘方、和、积’不小于‘积、和、方’”来帮助记忆．“方、和、积”是指不等式的一边先为“平方”,再进行“求和”,最后才是两组矩个数平方和的“乘积”;而“积、和、方”则指不等式的另一边应先为“乘积”,再进行“求和”,     

函数最值在证明不等式中的应用

在高等数学中,证明不等式的方法很多,最常见的是利用微分中值定理、单调性、最大则。）值和凹凸性,其实,不等式的证明往往可从计算函数在相应区间上的最大值或最小值着手,下面举例说明．例1证明：当证令则,所以F（X）在X=0取得唯一的最小值,从而当时即时,,即例3证明：当时,证令上必存在最大值与最小值．因由f（X）=0得为可微函数,它的最值必在驻点或边界点上达到,而所以在上的最大值为2,最小值为一2,故当,即内唯一的最大值为,从而当a＞O,时即函数最值在证明不等式中的应用@蒋国强$扬州大学水利学院!扬州,225009…     

用判别式解题谨防“三忽视”

1忽视分类讨论例lm为何值时，（m－1）xZ一地；；－1）x－1＜06成立？错解即时,原不等式恒成立,剖析不题打本指明卜；－1）x‘－3（；，；一回）l’一回为二双函数，因此。一1可为0，故四分类讨论．正解若，n—1—06d，属不署式但成正；琶m—1士06立，依副所述知，当三＜n。＜互的，原不等式压成立2忽视有解的前提条件例26程x‘＋（。n—2）x一（。n—3）＝0的两根为l’l，12，末x卜xg的极小盾错解困韦达定理自剖析上述解答忽视了方程有解的动提条件，即面一（m－2）’＋4（。n—3）＞0。；n＜－2人都”。ZZh而7）；＝1的，原方程无买根正…     

也谈一组数学问题的统一解法

文［1］中用分母整体换元法证明了一类分式不等式，但较繁．本文介绍另一种解此类问题的通法，以飨读者．首先介绍不等式（1）和（2）．当且仅当bi=kai（b为常数，i=1，2，…，n）时取“=”号（以下略）它的证明见［2］下面就用（1）或（2）证明[1]中所提到的一组数学问题．例1设证明很简单，无需任何技巧注：如[1]所述，若采用分母整体换元法，需令S-a1=k1，S－a2=k2，…，S－an=kn得a1=S-k1，a2=S-k2，…，an=S-kn，经代换化简整理变后，还要再用（1）或均值不等式方能使问题获得解决．类似的例子不一一枚举．对于［1］中一些貌现繁难…     

1997年初中数学竞赛试题参考答案

第一试一、选择题1．下述四个命题（1）一个数的倒数等于自身，那么这个数是1（2）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（3）a2的平方根是 |a|（4）大于直角的角一定是钝角其中错误的命题有（A）l个（B几个（c）3个（D）41解（l）、（2）、（4）是错误的命题，故造（C）．么满足上述不等式的整教x的个数是（A）4（B）5（C）6（D）7N4（H－／Z）wtxwtZ（H＋H）1．27…wtx＜73…故选（C）．3．若实数a，b，c满足a’＋b‘＋c’＝9，代数式ta—b）’＋（b－c）’＋（c－a）’的最大值是（A）27（B）18（C）15（D）12拐（a－b）2＋（b…     

高中教学“短平快”同步练(2)

【高一代数】一元二次不等式选择题1．若a2}补集是（）（A）V到一1＜X＜引（BV到一1＜X＜引（C川到一互＜X＜引（D川ho3或X＜一1）5最简一元二次不等式x2＞0的同解不等式是（）（A／＋X＋1＞0（B）xZ－X＋l一0（O（X－1尸＞0（D）X十周…     

三角形各心与界心间的关系

定理1设P为AABC所在平面内任一点，则美中P、R和rfi别为半固长，外接回和内团圆半径．证明则留4，因BD—p—C，DC—P一b，在西PBC中用Stewart定理：在西ABD中，有再由Menelaus＆理，淆；，AJa、。、一、。。。。从而无一“；在西PAD申用Stewart定’””“JDpa”““—”“一””“一”一一理，得指PD’、AD‘表达式代入此式，利用即得欲证．由此可以推知：（l）JO＝RZr．（2）JH—ZIO—2JRnMF＝．（P弓H重台，吕PA’一4R’一a’等代人，巨用allffiP’一百a‘一r’＋4R”租OI’一R’一ZRr，即得欲证）由（3）和（4）…     

高等数学试题

一、填空（每小题5分）2．微分方程好的通解为3．曲面3在点（2，1，0）处的法线方程为4．过点（3，1，－2）且与直线垂直的平面方程为5．幂级数的收敛区间为答案：其中函数人g具有二阶连续导数，5、（10分）计算曲线积分I其中L为圆周x’＋y’一a’的逆时外方向。答案：－。四、（10分）试求球体x’＋y’＋z‘＜Zz的质量，已知球体上任一点的密度与该点到原点的距离平方成正比。答案：＊切，足是常数””””］q”’～’”一五、（10分）计算曲面积分是曲面X—X‘＋／（0＜Z＜1）的外侧。竺室．二“——’2六、（10分）设P（x，y）一xy’o…     

一道分式不等式的新证及改进

一道分式不等式：设文［1」、［Zj曾给出证明．本文将原不等式改进为再给出两种证法．先看三个引理：引理1设α1≥α2≥…≥αn＞0，0＜证明可参见［3」．引理2设αi、bi．证明可见[4]．引理3设αi、简证依引理2，并注意到幂平均不等注由题知，易得n—a＞0，而（此处由n（xf十送十…十米）＞（x；十Q＋…＋1）‘，知nb＞a‘，或nb—a‘＞0．）证法2P同证法1．不妨设x；＞x，＞…＞x－＞0，方知于是依弓l理1及幂平均不等式一道分式不等式的新证及改进@孙建斌$福建省泉州市永春县科委!3626001李长明.的灵活运用.中学数学(湖北),1996,2 2…     

e~(kx)在解题过程中应用几例

在解题过程中如果能用上ekx，会使解法简单巧妙，下面的例2说明必须会用e－x构造辅助函数。例1设f（x）是定义在［0，］上的连续函数，且证二八x）在肝，音］上连续，八X）＞o，设在X。处取最大值，于是由于八x。）是最大值，人n＜八X。），这就有：用上面的方法可证出在同样可证fseo，以此类推，则有人X）三0。上面的例是我们学校的一次统考题，证法一是学生想起的。例2设人x）在「a，b］上存在n＋l阶导数，且满足广‘’（a）一月‘’（b）—0，足一0，1，2，…，n．（这里／”（a）一f（），f”’（b）一f（））．证明：目七（a，b）使…     

一个不等式的巧证

设a，b，c∈R，且a＋b＋c＞0，ab十bc ca＞0，abc＞0，柬：a＞0，b＞0，c＞0．此题在分种参考书中曾出现过，原证法都是用反证法证明的．这里结出一种简捷的巧证．设f(x）=（x＋a）（x＋b）（x＋c）＝x‘＋（a＋b＋c）x3＋（ab bc ca）x＋abc从尾舟式来看，显然当X＞ow人X）＞o．意味着y一八X）的图象更X轴的正半细无交点，而y一人x）弓xs青三个交点（－a，0），（－b，0），（－C，0），所以必有一a＜0，一b＜0，－c＜0即a＞0，b＞0，c＞0．一个不等式的巧证@周满庭$安徽省宣城中学!242000…