关于能被两位数整除的整数的特征研究

判断一个整数能否被另一个整数整除一直是初等数论中一个饶有兴趣的问题.我们知道,能被2整除的数必是偶数,能被3或9整除的整数的特征是它的各个数字之和也必能被3或9整除,能被5整除的数的个位数一定是0或5,能被10整除的数的个位数一定是0,判断一个数能否被任意两位数整除并非易事,笔者研究发现如下规律.……     

浅述整除与同余

浅述整除与同余四川大学唐贤江一、整数的整除性１、基本概念对于两个整数ａ、ｂ（ｂ≠０），若存在一个整数ｎ，使得ａ＝ｂｎ，则称ｂ整除ａ，或ａ被ｂ整除，记为ｂ｜ａ；ｂ整除ａ有时也称ｂ是ａ的因数，ａ是ｂ的倍数。若ｂ不能整除ａ用ｂａ表示。２、基本性质１）若ｂ｜...     

周期函数最小正周期的一般求法

文[1]中讨论了周期函数求最小正周期的一种方法。但是它给出的方法有一定局限性,有很多周期函数还不能用文[1]中的方法确定最小正周期。本文给出了一种求最小正周期的一般方法。本文采用下列记号: 1) 对自然数m,n,用m|n表示n可被m整除;而用m(?)n表示n不能被m整除; 2) 对有限个或可数个自然数n_1,n_2,…,我们称自然数d为其最大公因数,如果d是满足:d|n_i,(i=1,2,…)之最大者,且记d=(n_1,n_2,…)     

一个有趣的整除问题

请问:23~(43)+43~(23)是否能被66所整除? 为回答这一问题,先来看一个较简单的问题:“3~5+5~3是否能被8所整除”,如果这一问题能有个一般方法获得解决,我们的问题也就可以相应得到解决了。首先因为3~5+5~3=243+125=368=46×8,所以8|(3~5+5~3)[注:记号“8|(3~5+5~3)”表示8能整除3~5+5~3,或3~5+5~3能被8所整除]这个方法很简单,但由于这个数中的底数和指数都比较小,乘方后所得之和也不很     

初中数学竞赛试题选讲(待续)

本文想通过对若干竞赛试题的分析,讲一些解题方法。下面分几个方面讨论,限于篇幅这里将不讨论竞赛中大量出现的几何题。一有关整数性质的题这类题目在竞赛中极多,它们涉及到数的整除性:带余表示(设a,b为任意整数,b>0。则有唯一的整数m与r,使得a=mb r,0≤r<6);质数:数的奇偶性等等。例1 一个六位数,如果它的前半部分三位数字与后半部分三位数字完全相同,顺序也相同。则7、11、13必是此六位数的约数。做题首先是审题。依题意所设六位数应是 (?) 由于7、11、13都是质数。且7·11·13=1001,所以本题无非是要证明N被1001整除,为此,只要注意到 (?)即证得本题。     

“魔术数”的一般表达式

1986年全国初中数学联赛试题有一题是: 将自然数N接写在每一个自然数的右面(例如,将2接写在35的右面得352),如果得到的新数都被N整除,那么N称为魔术数;在小于130的自然数中,魔术数的个数有__. 对于魔术数的一般表达式,我们非常感兴趣。因为只有找到了魔术数的表达式,那就等于摸清了魔术数的规律。 我们先讨论一下这个问题,然后再解决上面的赛题。由于在中学没有讲整除性的问题,为了方便,我们引进中学同学也可以接受的整除.符号:。}。表示“诬除尹(或,’b被a整除”)。并且认为整除的一些最基本性质是大家熟知的。 命题1:N是魔术数嘴二势N}1…     

漫画趣题

第一题第二题 六位数ZAAAAZ能被9整除,求A表示的数字是几? 下面的7号图是由1一6号图中哪几号图复合在一起而成的?吸刻吸郊准齐烂装烤淤健装沐娜沐娜吸娜烤教眯装烂装。仑户. 夺准郊薄装第三题第四题 下图中有两个大小祖同的正方形,一个正方形里有4个圆,另一正方形里有9个圆,请你比较一下,哪个圆形中阴影部分的面积大? 请你找一个不大于900000的最大的六位数,它可以被23整除,它的个位数字是3,百位数字是2.<漫画趣题》参考答案 第一题 A一8. 如果一个数能够被9整除,那么它各位数字之和必然是9的整数倍,反过来也对.因此,2 A A十A A 仑是9…     

代数式概念剖析

什么是代数式?通用教材初中《代数》第一册第74页有明确的定义:“用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子,叫做代数式。单独的一个数或者一个字母。象—31,0,x,也是代数式”。同页上注明“这里的运算是指加、减、乘、除、乘方、开方”。然而,教材在第89页的正文和练习中求代数式的值时,却把|z|+|y|-2|x|·|y|,|x|+3|y|,|x+3y|等式子也叫做     

用观察法求二元一次不定方程的特解初探

任何事物的矛盾都是普遍性和特殊性的辩证统一 ,普遍性存在于特殊性之中 ,特殊性里包含着普遍性 ,因此认识“特殊”是认识“一般”的入门向导 .求二元一次不定方程的一个特解 ,是求该方程通解的关键 ,也是求二元一次不定方程的正整数解或二元一次不定方程应用题的重要基础 .用观察法求特解 ,简便易行 ,快速敏捷 .下面 ,举例说明用观察法求特解的一点技巧 .1　对于二元一次不定方程 ax by=c( a,b,c为整数 ,( a,b) =1) ) ,当 a|c或 b|c的情况 .例 1　求 3 x 5 y=9的一个特解 .解　∵　 ( 3 ,5 ) |9,此方程有整数解 .求特解∵　 a=3 ,3 |9　可…     

竞赛中的质数题

<正>质数的定义:如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数(也称素数);如果整数a除以整数b(b≠0)所得的商a/b是整数,那么叫a做b被整除,记作b|a,b就叫做a的约数;当几个正整数有公有的约数,叫做这几个正整数的公约数,公约数中最大的一个公约数,称为这几个正整数的最大公约数;正整数a、b的最大公约数可以记作(a、b);当(a、b)=1时,则称这两个正整     

整数的一个令人惊奇的性质

文〈1〉提出了整数的一个令人惊奇的性质 :对任意的一个整数 ,以你喜欢的任意方式重新排列 ,则开头的数与新的数之间的差 ,永远会被 9整除 !例如 :原数为 1 2 56 3 ,重排后的新数为 2 3 6 51 ,它们的差为 1 1 0 88,1 1 0 88÷ 9=1 2 3 2 ;原数为 3 3 3 3 3 ,重排后还是 3 3 3 3 3 ,它们的差为 0 ,0÷ 9=0 ;原数为 6 72 6 3 6 ,重排后为6 6 6 3 72 ,差为 6 2 6 4,6 2 6 4÷ 9=6 96 .以上选出的三个数都具有这个性质 ,有兴趣的话你可以任选整数进行尝试 .这个性质如果要进行严格的证明 ,似乎无从入手 .我们就先从两位数入手 .设原两位数为ａｂ…     

数学自学检查题

算术和代数实数和复数 1.两个或几个数的最小公倍数能否整除它們的最大公約数? 2.算术中熟知的被3整除的检驗法是否是数被3整除的充要条件? 3.在哪些集合中,算术运算能实行,而在哪些集合中不能实行? (a) 在自然数集合中。(b) 在整数集合中。(c) 在有理数集合中。(d) 在实数集合中。(e) 在复数集合中。 4.从上述列举的集合中,其中任何一个在怎样的条件下,不能滿足的运算是什么? 5.是否对于任何数都存在它的相反数? 6.是否对于任何数都存在它的倒数? 7.两个互为倒数的数,是否可能符号相反的? 8.一个数是否可能是:(a) 小于自己的絕对值?(b) 等手自己的絕对值?在数a和|a|之間应該建立怎样的不等式符号? 9.已知数a的絕对值比数b的絕对值大,能否得     

自行巧编练习题

音乐工作者凭籍1234567七个音符,奇妙组合,可以谱写千万首动人的歌曲。朋友们也可凭籍1234567890十个数码,巧妙编排,能够编出千万个具有新意的试题。编题要掌握一个原则:便于自检自查。 以我个人管见,以用“被3、9、11整除”的数来编写试题为好,便于自检自查。 在练习珠算时,只需检验得数是否能被3或9或11整除,不需重复运算全过程,省力省时、方便。     

一类数的整除问题

本文讨论一类数的整除问题,即讨论n的多项式f(n)能否被m!或k·m!整除的问题(n、k∈J,m∈N)。定理 m个连续整数的乘积能被m!整除。对这一定理,所见书刊常限于自然数范围内论证。事实上,在整数范围内也是很容易证明的。     

数论问题

(续上期 )例 9　证明 :对任意自然数n ,数 [( 3+5) n]+ 1被 2 n 整除 .这里 [x]表示实数x的整数部分 .证　论证的要点是给予 [( 3+ 5) n]的一个不同的 (但适用的 )表示 .为此 ,我们考虑数α =3+ 5的共轭数 β =3- 5,它们由整系数二次方程x2 - 6x + 4=0相关联 :是该方程的两个根 .记un=αn+ βn.我们现在易于导出 {un}(n≥ 1 )的递推公式 :以αn 乘α2 - 6α + 4=0 ,及 βn 乘 β2 - 6 β+ 4=0 ,并将结果相加 ,即得un + 2 =6un + 1- 4un,n≥ 1 ( 5)因u1=6 ,u2 =2 8都是整数 ,故由 ( 5)及归纳法知所有的un 都是整数 .注意 0 <3- 5<1 .故 0 <β…     

恒同映射类的最少不动点数

<正> §1.引言设 K 是一个连通的有限的单纯复形,|K|表示其多面体,并且 f:|K|→|K|是恒同映射类中的任一映射,即 f(?)1.用Φ(f)表示 f 的不动点集,并用“个数(Φ(f))”表示Φ(f)中点的个数,即 f 的不动点的几何个数.当 f 遍历恒同映射类,个数(Φ(f))的下确界,即 K 的恒同映射类的最少不动点数,记作 m(K).已经证明(见[4]定理2或[2]定理1.4):如果 K 是二维连通的,则 m(K)=1或0,按照 K 的示性数 x(K)≠0或=0.对     

信息在计算机中的表示

我们知道,由于电子元件和处理方式韵原因,到目前为止,电子计算机是采用“0”和“1”两种状态来表示信息。因此,数在计算机中也只能用0和1两个数码来表示,我们叫二进制数。而人们所熟悉的是由0,1,…9十个数码表示的十进制数。那么,二进     

某些特殊射影线性群的特征性质(英文)

本文仅用“群的阶”与“元的阶”这两个最简单的群论概念刻划了某些特殊射影线性群,某主要结论是:定理5 设 G 是其中合数阶元的阶仅为2的方幂的有限群,3~2||G|,则 G 为下述情形之一:(1).G 为奇阶质元群,且|G|=3~n 或3~n p,其中 P 是大于2的质数,n≥2;(2).G=AB.其中 B=0(G)且为初等 Abel 3-群;A 为循环2-群或广四元数群;(3).G(?)M_9或 PSL_2(9);(4).G(?)PSL_3(4).定理9 设 G 是满足下述条件的有限群:(1).|G|的相异质因子数|π(G)|≥2+|π(1/2 (q-1))|,其中 q 为 Mersenne 质数,q>3,|π(k)|为正整数 k 的相异质因子数;(2).G 中含有1/2(q-1)阶元,且 G 中元的阶仅为异于1/2(q+3)的质数、1/2(q-1)的因子以及2的方幂;则 G(?)PSL_2(q),q 为 Mersenne 质数.定理10 设 G 是满足下述条件的有限群:(1).|π(G)|≥4;(2).除1外 G 中元的阶恰为异于7的质数,9和10;则 G(?)PSL_2(19).     

初一数学竞赛训练题(五)

一、选择题 1.若abC>0,则|a|/a |b|/b |c|/c-|abc|/abc的值为( ) (A)2 (B)-2 (C)±2 (D)以上都不对 2.已知n是偶数,m是奇数,方程组:是整数、那么( ) (A)P、q都是偶数 (B)p、q都是奇数 (C)p是奇数,q是偶数 (D)p是偶数,q是奇数 3.设a、b都是整数。 (1)若a 5b是偶数,则a-3b也是偶数 (2)若a b能被3整除,则a、b都能被3整除     

正整除算题个位商、十位商的确商方法

从《全国珠算技术等级鉴定标准》的除算试卷看,凡是正整数与正整数相除都是除得尽题,能手级及普通一级题占60％,普通四级题占80％,如果寻求相适应的算法,就能大大减少拨珠量,加快运算速度;这种正整除算题个位商、十位商的确商方法,只能局限在珠算技术等级鉴定时运用。 一、整除的概念 在除法计算中,两数相除、商是整数且没有余数叫整除。例如21÷7=3,叫做21能被