例谈“恒成立”问题的求解方法

数学中的恒成立问题,由于涉及诸多数学知识和思想方法,因而能力要求较高,恒成立问题的求解能有效考查学生综合解决问题的能力,同时考查学生思维的深刻性和灵活性,因此历年来备受高考命题者的亲睐!     

函数单调性问题中的恒成立问题

有一类关于函数单调性的判定问题 ,根据函数单调性的定义 ,可转化为恒成立问题后 ,方便、快捷地得以解决 .例 1　设函数 f(x) =logπ(ax2 + 2x)在 [2 ,4 ]上为单调递增函数 ,求a的取值范围 .浙江《中学教研 (数学 )》2 0 0 3年第 4期中 ,用分类讨论法求解此题 ,较繁 ,现简解之 .解　因为 f(x) =logπt在t∈ (0 ,+∞ )上为单调递增函数 ,所以只需t =ax2 + 2x在 [2 ,4 ]上为单调递增函数即可 .若设 2≤x1- 2x1+x2在 [2 ,4 ]上须恒成立 .由…     

例谈不等式恒成立问题

<正>我们知道,不等式恒成立的证明可以转化成对函数最值问题的研究,进而可以借助导数工具研究函数最值.而利用不等式的性质,可以对不等式进行等价转化,这就会使研究的函数模型发生变化.同时,我们可以从函数角度认识不等式,两个等价的不等式因为形式的不同,所对应的函数图象的关系也会有不同.今天我们通过一道题来体会此类问题解决的策略和值得关注的地方.     

从函数单调性的角度看一类“不等式恒成立”问题的等价转化

近几年来,随着高考命题改革的逐步深入,全国以及各省、市自主命题的高考试题不断有所创新．这种创新一方面体现在更加重视对学生能力的考查,另一方面体现在更加注重对数学思想和数学知识应用的考查．其中,以高等数学知识为背景的试题,设计形式新颖,成为高考试卷中一道亮丽的风景线．这些试题的设计来源于高等数学,但解决的方法却是高中数学所学的初等数学知识,     

似是而非的“恒成立”问题

《中学生数学》杂志2008年5月（上）P7《“双元不等式恒成立”解法举列》一文的开头提出了这样的结论：f（x）≤g（x）对A↓x∈A恒成立→←f（x）max≤g（x）min;     

恒成立问题中的“似是而非”

含参数的恒成立问题是高中数学中的一类重要题型,也是高考命题的热点问题．这类问题涉及的知识面广,要求有较高的解题技巧,因此它又是学习中的难点问题．如若对其中所含的数学思想理解不到位,在解题过程中就会出现似是而非的错误．本文对在教学过程中遇到的几种常见错误进行了归类整理．     

再解“恒成立”问题

本刊 2 0 0 1年 18期《解一类“恒成立”问题的五种方法》、2 0 0 2年 12期《一类“恒成立”问题的又一解法》等文 ,先后介绍了求解“恒成立”问题的诸多方法 ,读后受益匪浅 .这里笔者再介绍一种简捷新颖的方法供同学们借鉴、参考 .题目　已知当ｘ∈ [0 ,1]时 ,ｆ(ｘ) =ｘ2 +ａｘ + 3-ａ >0恒成立 ,求ａ的取值范围 .解　原不等式变形为ａｘ + 3-ａ >-ｘ2 .设 ｇ(ｘ) =ａｘ + 3-ａ ,ｈ(ｘ) =-ｘ2 .由于ｘ∈[0 ,1]时 ,[ｈ(ｘ) ]ｍａｘ=0 ,所以欲使 ｆ(ｘ) =ｘ2 +ａｘ+ 3-ａ >0在ｘ∈ [0 ,1]上恒成立 ,只要 ｇ(ｘ) =ａｘ+ 3-ａ在ｘ∈ [0 ,1]上…     

构造函数解“恒成立”问题

“恒成立”问题是高中数学学习中的一个重点,也是一个难点,在对其分析和解决的过程中蕴涵着丰富的数学思想及方法.下面仅举例说明如何构造函数解决“恒成立”相关问题.     

似是而非的“恒成立”问题

《中学生数学》杂志2008年5月(上)P7《双元不等式恒成立解法举列》一文的开头提出了这样的结论:f(x)≤g(x)对x∈A恒     

借助函数图像解不等式恒成立问题

“不等式恒成立,求参数的取值范围”是不等式中的一大题型,不等式有千姿百态,因此常令同学们不知如何着手解决,当不等式经过变形后,不等式两边的函数图像易画出时,可借助图像来求解.     

函数不等式恒成立问题的求解策略

函数-不等式恒成立问题是中学数学的重要内容,也是近年高考的一个热点问题.研究高考试题,不难发现函数-不等式问题立意深刻,是有效地甄别考生能力的一类好试题.本文中例谈高考中函数-不等式恒成立问题的求解策略,以飨读者.一、直接法例1(2007年重庆卷)已知函数f(x)=ax~4lnx+bx~4-c(x>0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数.(Ⅰ)试确定a、b的值;(Ⅱ)讨     

函数不等式恒成立问题的求解策略

函数一不等式恒成立问题是中学数学的重要内容,也是近年高考的一个热点问题．研究高考试题,不难发现函数一不等式问题立意深刻,是有效地甄别考生能力的一类好试题．本文中例谈高考中函数一不等式恒成立问题的求解策略,以飨读者．     

“恒成立”与“恒有解”

1　含参数的式子 ｆ(ｘ) =ｇ(ｘ) 在什么条件下“在Ｒ上恒成立”与“在Ｒ上恒有解”是有区别的“ｆ(ｘ) =ｇ(ｘ) 在什么条件下对于任意实数ｘ恒成立”是求此式在Ｒ上成为恒等式的条件 ,即参数的范围 .用函数的观点看 ,命题等价于“在什么条件下 (即参数取什么范围内的值时 ) ,函数 ｙ =ｆ(ｘ)与函数 ｙ =ｇ(ｘ) 在Ｒ上是同一函数” .“ｆ(ｘ) =ｇ(ｘ) 在什么条件下在Ｒ上恒有解”是求关于ｘ的方程有实数解的条件 .用函数的观点看 ,命题等价于“在什么条件下 (即参数的范围 ) ,函数 ｙ =ｆ(ｘ) 与 ｙ =ｇ(ｘ) 的图象总有交点” .显然 ,可以将…     

例谈恒成立问题的求解方法

探索性数学问题中有这样一类问题：含有参变量的数学关系式在某种限制条件下恒成立，要求参变量的取值范围．本文介绍解决这类问题的方法与若干技巧．1用特殊值探路，先猜后证复杂的数列问题，其条件与结论的关系往往不很明朗，直接探求难以见效，于是，我们将问题退到特殊情形中来，通过特殊的引路，探索、发现规律，制定解题方案．例1设a1＝1，a2＝4，当n≥3时，an－4an-1＋4an－2＝0，是否存在等差数列{bn}，使an＝b1对一切自然数n都成立？并证明你的结论．解∵an－2an-1＝2（an-1－1－2an-2），是首项为a2－2a1＝2、公比为2的等比数列，…     

关于“恒成立”问题的思考方法

一、与二次不等式有关的恒成立问题任何一个一元二次不等式总可以化成 ax~2 bx c>O (a>O) ax~2 bx c0)的形式,由二次函数y=ax~2 bx c(a>0)的图象和性质,我们不难得出以下两个结论: (i)ax~2 bx c>0 (a>0)在区间[α,β]上恒成立的充要条件是特别地,若a取-∞或β取 ∞,则其充要条件只要改为去掉含∫(α)或∫(β)的不等式就是。若α取-∞同时β取 ∞,则其充要条件只要去掉第二组不等式就是,即     

“恒成立”与“恒有解”辨析

不等式“恒成立”与“恒有解”是容易混淆的问题.“f(x)>a在什么条件下在R上恒成立.”是指求对每个实数x,f(x)>a都成立的条件.用函数的观点来看,命题等价于“在什么条件下,函数y=f(x)的图像恒在直线y=a的上方.”     

八类函数型不等式恒成立问题的探究

<正>函数型不等式的恒成立问题在近年的高考中频频"闪亮登场",常以压轴题的身份出现,能有效地甄别考生的思维品质,成为高考的热点和难点.如2005年天津卷21,辽宁卷22等.由于这类问题综合性强,难度大,能力要求高,很多同学望而生畏,无从下笔.本文通过一些典型例题探究在高考中常见的八种类型,仅供参考.     

不等式的恒成立和恒不成立问题

本文举例说明不等式中的恒成立和恒不成立问题的相应解法,供同学们参考．一、恒成立问题对于恒成立问题,我们有定理1 对于函数f(x),a≥f(x)恒成立的充要条件是a≥f(x)的最大值;a≤f(x)恒成立的充要条件是a≤f(x)的最小值．     

不等式恒成立问题

<正>高中数学中恒成立问题是一个广阔的课题,它涉及很多的数学知识和思想方法,从现在高考试题中对恒成立的热点,主要包括以下三种:一、含参立求参数范围问不等式恒成立问题;二、方程恒成立问题;三、函数恒单调问题.1.分离参数此方法适用于不等式中参数和主元可分离的情况,方法要点是:把参数项和主元项分别移到不等号的两边,再转化为函数求最值