一类二阶整函数非齐次线性微分方程的复振荡

研究具有整函数函数系数的二阶非齐次线性微分方程:f″+A(z)e~(az)f′+B(z)e~(P(z))f=F(z)解的复振荡,其中P(z)为非常数多项式且deg(P)=n,A(z),B(x),F(z)均为整函数且max{ρ(A),ρ(B)}n.我们将看到方程的任一非零解具有无穷增长级.     

函数图象的变換

在中学数学中,从开始学习一次函数和二次函数时,就遇到函数图象的变換,以后对于指数函数与对数函数的图象,特别是三角函数的图象就需要研究更为复杂的一些图象变換了。但是尽管如此,这还只限在对某些特殊函数图象的研究上,因此笔者愿就一般的一元函数y=f(x)討論它的图象的对称、平移、放縮等变換,供教师們教学时参考。有不当之处,希同志們指正。一、对称 1.軸对称 (1) 关于x軸对称的图象:函数y=-f(x) 与y=f(x),当x取相同的值吋,y有相反的值(即当点的横坐标有相同的值时,两图象中对应点的纵坐标有相反的值。以后各論証仿此),所以它們的图象对称于x軸。 (2) 关于y軸对称的图象:函数y=f(-x) 与y=f(x),当x取相反的值时,y有相同的值,所以它們的图象对称于y軸。因为对于偶函数有f(-x)=f(x),因此,偶函数     

应用矩陣运算推导球面三角基本公式

在常見的讲述球面三角学的书籍里,一般都用投影法或平面三角方法导出余弦定理、正弦定理等球面三角基本公式。华罗庚先生在他所著“高等数学引論”第一卷第一分册中,則应用了矢量分析方法。这里,給出另一种較为簡洁的方法,即应用矩陣运算来推导球面三角基本公式。在未导出这些公式之前,先簡单介紹一下“旋轉矩陣”的概念和基水性貭。考虑空間直角坐标系的旋轉变換。設原坐标系(O;x,y,z)繞x軸沿正方向(逆时針)旋轉角α后变換为新坐标系(ο;ξ,η,ζ)(如图1),則由解析几何学便知,新旧坐标系之間有如下关系:     

限定Borel点的亚纯函数

设E是任意一个非空的闭实数集(mod 2π),ρ(θ)是E上一个上半连续的有界正值函数(0<ρ(θ)相似文献   

一类线性差分方程的亚纯解与一个亚纯函数分担3个值的唯一性

主要研究差分方程a_1(z)f(x+1)+a_0(z)f(z)=F(z)的一个有穷级超越亚纯解f(z)与亚纯函数g(z)分担0,1,∞CM时的唯一性问题(其中a_(z),a0(z),F(z)为非零多项式,且满足a_1(z)+a_0(z)■0),得到f(x)≡g(z),或f(z)+g(z)≡f(z)g(z),或存在一个多项式β(z)=az+b_0和一个常数a_0满足e~(a_0)≠e~(b_0),使得f(z)=(1-e~(β(x)))/(e~(β(x))(e~(a_o-b_0)-1))与g(z)=(1-e~(β(x)))/(1-e~(b_o-a_0)),其中a(≠0),b_0为常数.     

“求复平面上点的轨迹”初探

我们将处理复平面上的点轨迹问题,归纳其解法如下,供参考。一、定义法。所谓定义法就是应用实数、复数相等等概念处理点的轨迹问题。例1 已知复数z_1=cosθ isinθ(0≤θ<π),z_2=1 4cos2θ i4sin2θ,若复数z=z_2·z_1~(-1),试求复数z所对应的动点轨迹的普通方程。解:∵z=z_2·z_1~(-1)=(1 4cos2θ i4sin2θ)·(cosθ isinθ)~(-1)=(1 4cos2θ i4sin2θ)[cos(-θ) isin(-θ)]=5cosθ i·3sinθ, 设复数z=x yi(x,y∈R),根据复数相等的     

双曲旋轉与指数函数

本文首先簡單地介紹一种平面上的变換,然后利用它來說明指数函数的几何意义 1.双曲旋轉 平面上的点变換 x＇=kx y＇=(1/k)y (1)(k是一个不是零的常数),顯然可以看成兩个变换,向x軸压縮     

一道习题解答的完善

题:方程 x=((e~t+e~(-t))/2)cosθ y=((e~t-e~(-t))/2)sinθ当θ、t分别为参数时各表示什么图形?常见的解答是: (1)当θ为参数时,原方程变为 x/((e~t+e~(-t))/2)=cosθ, y/((e~t-e~(-t))/2)=sinθ。两式平方后相加得 x~2/((e~t+e~(-t))/2)+y~2/((e~t-e~(-t))/2)~2=1。它表示椭圆。 (2)当t为参数时,原方程变为     

圆锥曲线的一个性质

由文 [1]可得圆锥曲线的一个性质 .定理　过圆锥曲线的焦点F的一条直线与这曲线相交于A ,B两点 ,M为F相应准线上一点 .则直线AM ,FM ,BM的斜率成等差数列 .证　对双曲线 x2a2 - y2b2 =1(a >0 ,b >0 ) ,记点A ,F ,M的坐标分别为 (x1,y1) ,(c ,0 ) ,(a2c ,m ) .设双曲线的极坐标方程为 ρ =ep1-ecosθ,点A的极坐标为 (ρ1,θ1) ,则无论点A在双曲线的左支还是在右支 ,都有 ρ1=ex1-a .于是AM的斜率为kAM =y1-mx1- a2c=e(y1-m)ex1-a =e(ρ1sinθ1-m )ρ1=e(epsinθ11-ecosθ1-m)ep1-ecosθ1=еpsinθ1+emcosθ1-mp .　　设点B的极角为…     

一道2005年全国高中数学联赛加试试题的简捷解法

2005年全国高中数学联赛加试第二题是:设正数a,b,c,x,y,z满足cy bz=a;az cx=b;bx ay=c,求函数f(x,y,z)=x21 x y21 y z21 z的最小值.命题组给出的标准解答较繁,本文将给出一个简捷解法.为了书写简单,本文中用∑表示循环求和,首先由已知条件得b(az cx) c(bx ay)-a(cy bz)=b2 c2-a     

一道2005年全国联赛试题的别解

2005年全国高中数学联合竞赛加试试题第二题为: 设正数a、b、c、x、y、z满cy bz=a,az cx=b,bx ay=c.求函数f(x,y,z)=(x2)/(1 x) (y2)/(1 y) (z2)/(1 z)的最小值.     

二次系统对应的阿贝尔方程周期解

二次系统 x′=-y δx P2 ( x,y) ,y′=x Q2 ( x,y)化为阿贝尔方程 dz/dθ=A(θ) z3 B(θ) z2 C(θ) z之后 ,在 A( θ)变号时 ,能够由∫θ-∞ exp -2∫θs C(τ) dτ A( s) ds与∫ ∞θ exp -2∫θs C(τ) dτ A( s) ds的符号判定周期解的不存在性与存在唯一性 ;在 A(θ)≡ 0及 A(θ)不变号情况下也得到若干结果 ,比文 [1 ]中相应结果更为细致适用     

齐次有理分式函数f(x,y)的极限问题

本文讨论齐次有理分式函数f(x,y)当(x,y)趋于(0,0)时的极限问题。首先引入,将f(x,y)当(x,y)趋于(0.0)时的极限问题转化为f(ρcosθ,ρsinθ)当(ρ,θ)趋于极点时的极限问题;然后建立极限的存在性与齐次有理三角函数R(sinθ,cosθ)的零点情况之间的关     

一类二元最值问题的极坐标解法

我们知道,以直角坐标系中的坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.那么,点P的直角坐标(x,y)与它的极坐标(ρ,θ)之间有一组互化公式x=ρcosθ,y=ρsinθ(ρ≠0,θ∈R).利用这一组互化公式我们可以将点的直角坐标化为极坐标,将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程,近年来此类问题在新课改区的高考试卷中屡屡出现,其重要性不言而喻.     

是椭圆还是双曲线?

题目 z∈C,试判断适合方程|z i| |z-i|=1的点z的集合是什么图形? 解一根据复数减法的几何意义和复平面上两点间的距离公式,可知上式表示与两个定点的距离的和等于常数的点的集合。从椭圆的定义判断上述图形是椭圆。解二设z=x yi (x,y∈R),把原方程化为:     

用试探法解齐次线性微分方程的一点注记

若有常系数齐次线性微分方程y~(n) c_1y~(n-1) … a_ny=0我们可用试探法求它的解.令y=e~(λz)代入上式的左端,得(e~(λx))~(n) a_1(e~（λx）)~(n-1) … a_n(e~（λx）)=(λ~n a_1λ~(n-1) …a_n)e/~（λx）=F(λ)e~λ=     

求解复数问题的基本思路

复数是实数的拓广 ,它与几何、三角有着紧密的联系 ,解决复数问题时 ,可根据题目的特点 ,将问题进行适当的等价转化 ,转化为代数、三角或几何问题求解 .1　利用复数的代数形式化归为代数问题例 1　 (1992年全国高考题 )已知z∈C ,解方程zz - 3iz =1+3i.解　设z =x +yi(x ,y∈R) ,代入原方程得(x +yi) (x - yi) - 3i(x - yi) =1+3i,整理得x2 +y2 - 3y - 3xi=1+3i,由复数相等的条件得- 3x =3,x2 +y2 - 3y =1,解得　 x =- 1,y=0 ,或 x =- 1,y =3.故z1=- 1,z2 =- 1+3i.2　利用复数的三角形式化归为相应的三角问题例 2　已知复数z1,z2 满足z1+z2…     

复数的一道复习题

在《复数》这一章的复习课上 ,我给出这样一道题 :若复数z适合 |z| =1 ,求复数 2z+3 - 4i所对应的点的轨迹方程与轨迹 .同学们讨论非常热烈 .有同学当即回答 :“由于考虑的是复平面上复数所对应点的轨迹方程 ,即考虑复数实部、虚部之间所满足的代数关系 ,再通过轨迹方程判断是何种轨迹 .所以只要设所求复数2z+3- 4i的实部为x虚部为 y,找出x ,y之间的代数关系即可 .解 :设w =2z+3 - 4i=x +yi(x,y∈R)令 :z=a+bi(a,b∈R)则 :w =(2a +3) +(2b- 4 )i∴ x=2a +3y=2b- 4a=x - 32b=y +42　∵ |z|=1　∴a2 +b2 =1∴ x - 322 +y+422 =1即 :(x - 3) 2…     

2006年高考模拟试卷(理科)

(时间:120分钟,满分150分)一、填空题(本大题满分48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.已知复数z满足(1-i)z=i,则|z|=2.已知集合S={x|y=lg(1-x)},T={x||2x-1≤3|}则S∩T=.3.在等差数列{an}中,已知a7=13,a15=29,则通项公式an=.4.若P是圆x2 y2-4x 2y 1=0上的动点,则P到直线4x-3y 24=0的最小距离是.5.若(sin2θ-cosθ) icosθ是纯虚数(i是虚数单位,θ∈(0,2π)),则θ的值为.6.函数y=sinxsinx 3π的最大值是.7.已知等比数列{an},如果a1 a2=12,a2 a3=-6,则li mn→∞Sn=.8.在△ABC中,a、b、c分别为∠…     

一个复数命题的证明与应用

命题设z∈C，a∈R，且az≠0，则为纯虚数．1证明思路1利用纯虚数的定义证法1设z=x yi，x、y∈R，因z≠0，故x、y不同时为零．于是，思路2利用共轭复数模的性质：思路3利用复数的几何意义证法4在复平面内，设复数z、a、-a所对应的点分别为P、A、B，如图1．因Z≠0，故P不可能是坐标原点即线段AB的中点．于是动点P的轨迹为线段AB的垂直平分线且除去AB的中点的轨迹为虚轴为纯虚数．证法5在复平面内，设复数z、a所对应的点分别为P、H，以OA、OP为邻边作回O从P，如图2，则OC-OA＋AC-a十z，AP--OP--OA一z一a，于是，z-a一fi十。lpAP…