2002年全国高中数学联赛加试试题另解

1.如图 1 ,在△ ABC中 ,∠ A =60°,AB>AC,点 O是外心 ,两条高 BE、CF交于 H点 ,点 M、N分别在线段 BH、H F上 ,且满足BM =CN,求 MH NHOH 的值 .解法 1　连结 OB、OC.∵　∠ BH C =∠ FH E =1 2 0°,又　∠ BOC =2∠ A =1 2 0°,∴　 B、O、H、C四点共圆 .设∠ OBC =α =3 0°,∠ EBC =β,∠ OBC =∠ OCB =3 0°,∠ EBC =∠ H OC =β.∴　 MH NHOH =BH - BM CN - H COH =BHOH- H COH.由正弦定理 ,在△ OH B中 ,BHOH=sin(1 2 0° β)sin(α -β) .在△ OH C中 ,H COH=sinβsin(α -β) .∴　 M…     

2004年高中数学联赛平面几何题(加试)另解

题目在锐角三角形ABC中,AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点,FG与AH相交于点K,已知BC=25,BD=20,BE=7,求AK的长.     

2014年全国高中数学联赛加试第一题的证法探究

2014年全国高中数学联赛A卷加试第一题：设实数a,b,c满足a＋b＋c=1,abc〉0．求证：ab＋bc＋ca〈√abc/2＋1/4.本文探究这道试题的几种解法,供读者参考。     

2015年全国高中数学联赛加试第一题的优美证明

<正>~~     

2014年全国高中数学联赛加试第一题及其“根”的探究

一、赛题的根2014年全国高中数学联赛A卷加试第一题(以下简称赛题):设实数a,b,c满足a+b+c=1,abc>0,求证:bc+ca+ab<1/4+(abc)(1/2)/2.(1)看赛题,笔者自然而然回想起了文1所述的一道竞赛题:(2010年全国高中数学联赛广东预赛第3题,以下简称试题)设非负实数a,b,c满足a+b+c=1,求证:bc+     

2021年全国高中数学联赛加试几何题的多种解法

<正>在2021年全国高中数学联赛的加试中,原卷给出的几何题答案虽然简洁,但感觉它过于灵巧,不易掌握,所以本文基于常理的思考过程给出其它方法．第一种兼顾了几何法与三角法的优点,短时间内容易想通思路;另一种是纯三角法,思路直接,但需要三弦定理等知识基础．     

2021年全国高中数学联赛加试最值题引发的思考

笔者推广了2021年全国高中数学联赛(B卷)加试最值题的结论,给出了一个类似结论.笔者将其作为证明方法的类推应用,阐述利用平均值不等式法、柯西不等式法、待定常数法(或凑等号法)、切线法、中间不等式法,通过构建并运用局部不等式,使一大批不等式竞赛题获得简洁证明.     

2020年全国高中数学联赛加试几何题的证明与思考

2020年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)的第一题是一道平面几何问题,此题构形简洁,题目中内蕴较多的基本几何位置关系,证明此题也不需要过多高深的知识,既可以从代数运算的角度推证,也可以利用平面几何基础知识获解,是一道证法灵活、内涵丰富的试题,值得我们品味把玩与思考研习.     

2016年全国高中数学联赛一道试题的另解

<正>~~     

全国高中数学联赛一题的另证

<正>~~     

2002年全国高中数学联赛加试试题及参考答案

试题一、(本题满分50分) 如图.在△ABC中,∠A=60°,AB>AC,点O是外心.两条高BE、CF交于H点.点M、N分别在线段BH、HF上,且满足BM=CN.求MH NH/OH的值.     

2011年全国高中数学联赛加试试题及参考答案

试题一、(本题满分40分)如图1,P,Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD的中点.若∠BPA=∠DPA,证明:∠AQB=∠CQB.二、(本题满分40分)证明:对任意整数n≥4,存在一个n次多项式     

2010年全国高中数学联赛加试试题及参考答案

试题一、(本题满分40分)如图1,锐角三角形ABC的外心为O,K是边BC上一点(不是边Bf的中点),D是线段AK延长线上一点,直线BD与AC交于点N,直线CD与AB交于点M.求证:若OK⊥MN,则A,B,D,C四点共圆.     

2003年全国高中数学联赛加试试题及参考答案

试　题一、(本题满分 5 0分 )过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线 ,切点为A ,B .所作割线交圆于C ,D两点 ,C在P ,D之间 .在弦CD上取一点Q ,使∠DAQ =∠PBC .求证 :∠DBQ =∠PAC .二、(本题满分 5 0分 )设三角形的三边长分别是整数l ,m ,n ,且l>m >n .已知 3 l10 4 =3 m10 4 =3 n10 4 ,其中 {x}=x -[x] ,而 [x]表示不超过x的最大整数 .求这种三角形周长的最小值 .三、(本题满分 5 0分 )由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形 ,其中n =q2 +q + 1,l≥12 q(q+ 1) 2 + 1,q≥ 2 ,q∈N .已知此图中任四点不共面 ,每点至少有…     

2013年全国高中数学联赛加试试题及参考答案

<正>一、(本题满分40分)如图1,AB是圆ω的一条弦,P为弧AB内一点,E、F为线段AB上两点,满足AE=EF=FB.连接PE、PF并延长,与圆ω分别相交于点C、D.求证:EF·CD=AC·BD.证明如图2,连接AD,BC,CF,DE.由于AE=EF=FB,从而