3-γ-临界图G中关于i(G)=γ(G)的一个充分条件

如果图G满足γ（G）＝k且对图G中任两个相邻的点x,y有γ（G＋xy)=k-1,则称图G为k-γ-临界图,如果图G满足γ（G）＝k且对图G中任何距离为d的两点x,y有γ（G＋xy)=k-1,则称图G为k-(γ,d)－临界图。Sumner和Blitch猜想在3－γ－临界图中有γ（G）＝i(G).Oellermann和Swart猜想3－（γ,2）－临界图中有γ（G）＝i(G),这篇文章中我们提出3－γ－临界图中使γ（G）＝i(G)的一个充分条件。     

图的连通控制数与无赘数的一个不等式

设G是连通图,γ_C(G)和ir(G)分别表示G的连通控制数和无赘数。孙良于1990年证明了γ_c(G)≤4ir(G)—2,同时提出猜想γ_c(G)≤3ir(G)—2。本文进一步研究γ_c(G)与ir(G)的关系,并证得上述猜想成立。     

关于Graffiti的一个猜想（583）

本文给出了Graffiti的猜想（583）[1]的一个反倒，说明猜想不真．并且得到了I（T）＋a’（T）的较好的上下界．T表示树；a’（T）表示树T的边独立数：I（T）表示树T的反比度．     

关于图的连通DOMINATION的若干结果

设G是n阶连通图.γ_c(G),d_c(G),i(G)和ir(G)分别表示G图的连通Domination数,连通Domatic数,独立Domination数和Irredundance数,k(G)表示G的连通度.本文证明了下列结论. (1) 如n≥3,则i(G) γ_c(G)≤n [n/3]-2; (2) γ_c(G)≤4ir(G)-2; (3) γ_c(G)≤k(G) 1; (4) 如G≠K_n,则d_c(G)≤k(G). 此外,本文给出了满足等式γ_c(G) γ_c(G)=n和γ_c(G) γ_c(G)=n 1的图G的一个特征.     

关于Piazza等人的一个猜想的证明

Ｐｉａｚｚａ;Ｒｏｂｅｒｔｓ和Ｓｔｕｅｃｋｌｅ在１９９５年猜想:任何一个完全ｎ－部图是严格边－韧性图(ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｅｄｇｅ－ｔｅｎａｃｉｏｕｓ ｇｒａｐｈ) 本文证明了这个猜想．     

关于平面图的边着色猜想（英文）

在最大度为△的图G中，设γ表示能够△一边着色的边的最大部分，Albertson和Hass猜想：如果G是无桥平面图，且△=3和，则γ=1．我们对于n2=2证明了这个猜想为真．     

关于拟阵基图一个猜想的证明

设G是一个拟阵的基图,κ(G),λ(G)和δ(G)分别是G的连通度、边连通度和最小次数,文献[1]给出了下面的猜想:κ(G)=λ(G)-δ(G),本文将证明上述猜想是正确的。     

关于3-点临界图的一个猜想的证明

设γ(G) 是图G的点控制数. 如果对任意的v ∈ V (G), 都有γ(G?v) < γ(G) 成立, 那么称G为γ-点临界图. 本文主要给出Ananchuen 和Plummer 提出的一个猜想的证明, 得到了如下的结果:若G是无K_1,7的3-点临界图, 且阶数为不小于18的偶数, 则除几类特殊图外, G 均有完美匹配.     

边色数的分类及其有关性质

设图G为简单连通图,由Vizing定理知:Δ(G)≤x′(G)≤Δ(G) 1,其中Δ(G)表示图G的最大顶点次,x′(G)为图G的边色数。若x′(G)=Δ(G),则称G为第一类图,记为G∈C~1;若x′(G)=Δ(G) 1,则称G为第二类图,记为G∈C~2。其他图论术语见一般参考书。一边e(或者顶点v)称为临界的,如果成立x′(G)>x′(G\e)(或者x′(G)>x′(G\v))。图G称为是临界的,如果G∈C~2,且G的每一边是临界的。对于v∈V(G),令d~*(v)=|{u|(v,u)∈E(G)且d(u)=Δ(G)}|。设F={u|d(u)=Δ(G),u∈V(G)},记G_Δ=G[F]。令图G_Δ的圈秩数为b(G_Δ)。     

复合图及其连通度和临界度

本文确定了H(G)的点-连通度及H(G)关于点-连通度的临界度;确确定了H(G)的边-连通度及某种H(G)关于边-连通度的临界度。     

A note on the independent domination number of subset graph

The independent domination number i(G) (independent number (G)) is the minimum (maximum) cardinality among all maximal independent sets of G. Haviland (1995) conjectured that any connected regular graph G of order n and degree 1/2n satisfies i(G) 2n/3 1/2. For 1 k l m, the subset graph S _m (k, l) is the bipartite graph whose vertices are the k- and l-subsets of an m element ground set where two vertices are adjacent if and only if one subset is contained in the other. In this paper, we give a sharp upper bound for i(S _m (k, l)) and prove that if k + l = m then Havilands conjecture holds for the subset graph S _m (k, l). Furthermore, we give the exact value of (S _m (k, l)).This work was supported by National Natural Sciences Foundation of China (19871036).     

粘合运算对图的控制参数的影响

简单图G的粘合运算G_(uv)指的是重合G的两个顶点{u,v}并且去掉重边和环所得到简单图的运算．本文考虑了粘合运算对图的4个控制参数γ(G),Γ(G),β(G),i(G)的影响．刻画了图G_(uv)与图G的控制参数γ(G),Γ(G),γ(G),i(G)之间的关系．及给出γ(G_(uv))=γ(G)-1和β(G_(uv)=β(G)-1的充要条件．     

关于Weichsel猜想的一点注记

设P是n-立方体图Q_n的完备控制集．在1994年,Weichsel证明了存在某些整数r_1,r_2,…,r_m使P在Q n中的诱导子图〈P〉为Q_(r1),Q_(r2),…,Q_(rm)的不交之并,并且猜想r_1=r_2=…=r_m．本文证明了当m≤20时,该猜想正确．     

A Note on the Bondage Number of a Graph

ＡＮｏｔｅｏｎｔｈｅＢｏｎｄａｇｅＮｕｍｂｅｒｏｆａＧｒａｐｈ￥ＬｉＹｕｑｉａｎｇ（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＧｕａｎｇｚｈｏｕＴｅａｃｈｅｒ＇ｓＣｏｌｌｅｇｅ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｂｏｎｄａｇｅｎｕｍｂｅｒｂ（Ｇ）ｏｆａｇ...     

Weak edge-degree domination in hypergraphs

In this paper we extend the notion of weak degree domination in graphs to hypergraphs and find relationships among the domination number, the weak edge-degree domination number, the independent domination number and the independence number of a given hypergraph.     

Disproof of a Conjecture on the Subdivision Domination Number of a Graph

A set S of vertices of a graph G = (V,E) is a dominating set if every vertex of is adjacent to some vertex in S. The domination number γ(G) is the minimum cardinality of a dominating set of G. The domination subdivision number sd_γ(G) is the minimum number of edges that must be subdivided (each edge in G can be subdivided at most once) in order to increase the domination number. Haynes et al. (Discussiones Mathematicae Graph Theory 21 (2001) 239-253) conjectured that for any graph G with . In this note we first give a counterexample to this conjecture in general and then we prove it for a particular class of graphs.     

图的双控制的一些新结果

图G=(V,E)的每个顶点控制它的闭邻域的每个顶点.S是一个顶点子集合,如果G的每一个顶点至少被S中的两个顶点控制,则称S是G的一个双控制集.把双控制集的最小基数称为双控制数,记为dd(G).本文探讨了双控制数和其它控制参数的一些新关系,推广了[1]的一些结果.并且给出了双控制数的Nordhaus-Gaddum类型的结果.     

有关循环图C(n;{1,k})的独立数的一些结果

令G=(V(G),E(G))是一个简单有限无向图.如果V(G)的子集S中任意两个顶点均不相邻,则S是图G的一个独立集.顶点独立集大小的最大值,称为图G的独立数,记作α(G).本文研究了循环图C(n;{1,k})的独立数问题,并给出了当k=2,3,4,5时的准确值.     

图的结合数猜想的新结果

［１］中Ｗｏｏｄａｌ猜想：若图Ｇ的结合数ｂｉｎｄ（Ｇ）≥３２,则图Ｇ包含三角形,本文证明：若ｂｉｎｄ（Ｇ）≥７＋√６９１０,则图Ｇ包含三角形,从而进一步改进了［２］的结果     

具有最大控制数的连通图的刻画

设Ｇ为一个Ｐ阶图,γ（Ｇ）表示Ｇ的控制数．显然γ（Ｇ）≤［ｐ／２］．本文的目的是刻画达到这个上界的连通图．主要结果：（１）当ｐ为偶数时,γ（Ｇ）＝ｐ／２当且仅当Ｇ≈C₄或者Ｇ为某连通图的冠;（２）当ｐ为奇数时,γ（Ｇ）＝(p-1)/2当且仅当Ｇ的每棵生成树为定理３．１中所示的两类树之一．