基于有理变换的改进辅助方程法在变系数非线性发展方程中的应用

首次提出了基于有理变换的改进辅助方程法,成功地解决了变系数非线性发展方程的求解问题,并且验证了三种辅助方程适用于该方法.该方法与传统方法的主要区别是率先对给定方程进行了有理变换,其优势在于可以得到一个较为统一的初步的解,进而再依据不同的辅助方程等将初步的解转化为最终的解.同时,由此法得到的解省去了多个待定未知量,仅需要确定k,ω(t)即可,使计算过程更加方便简洁.简言之,改进辅助方程法将多种辅助方程法的步骤统一化,用统一的方式得到方程的解,无需依据各种辅助方程法的特性去设解,进一步完善辅助方程法的研究理论.     

一类非线性发展方程的显式精确解

提出了寻求非线性发展方程行波解新的辅助方程法,作为实例通过选取变系数Bernoulli方程作为辅助常微分方程,并借助于计算机系统Mathematica和齐次平衡原则,求解了一类非线性发展方程,得到了该方程的新的显式精确解.所用方法可应用到其它类似方程的求解.     

解方程(组)的一种换元法

用设辅助元的方法解方程(组)是解一些复杂方程(组)的一个有力手段。但是,即使对同一方程(组)也有很多换元方法,而由此所决定的解方程(组)的计算量有时竟有很大差别。因此,针对不同结构特点的方程(组)应该通过分析选择合适的辅助元。本文再介绍一种设辅助元的方法,对某些方程(组)来说同常见的其它换元方法相比较,它能降低所得辅助元方程的次数而使解法相应获得简     

一类非线性数学物理方程的精确解

利用改进的辅助方程法,分别获得(1+1)维Benjiamin Ono方程、Phi-4方程、(3+1)维YTSF方程、foam drainage方程的精确解,进一步扩大了解的范围,丰富了解的结构.实践证明,利用这种辅助方程法对于研究非线性数学物理方程具有十分重要的作用.     

具任意次非线性项的Camassa-Holm方程的双孤子新解

给出辅助方程、函数变换与变量分离解相结合的方法,构造了具任意次非线性项的Camassa-Holm方程的双孤子和双周期新解.首先,通过两个辅助方程、函数变换与变量分离解,将具任意次非线性项的Camassa-Holm方程的求解问题转化为非线性代数方程的求解问题.然后,借助符号计算系统Mathematica求出该方程组的解,并用辅助方程的相关结论,构造了双周期解和双孤子新解.     

非线性演化方程的孤立波解

用齐次平衡原则和辅助微分方程方法得到了6个重要的n次非线性演化方程的孤立波解.辅助微分方程方法的主要思想是借助简单的可解微分方程的解去构造复杂的非线性演化方程的行进波解.这里简单的可解微分方程称为辅助微分方程.本文使用的辅助方程有双曲正割幂型解或双曲正切幂型解.     

时间分数阶偏微分方程的数值算法研究

提出了一种求解时间分数阶偏微分方程的数值算法.根据方程的初值条件和边界条件构造辅助函数,应用辅助函数将方程转化为具有零初值条件和零边界条件的方程.应用差分算法计算方程中的分数阶导数,然后求解出方程的数值解.方程的分数阶可以为任意正实数,无论分数阶取何值,此算法均采用同样的差分格式求解方程.给出的两个计算实例说明此算法是...     

再谈微机辅助平面解析几何教学

本文是对文[1]的补充。在[1]中我们着重阐述了微机辅助平面解析几何中直角坐标方程的教学问题,现就平面解析几何中另两类方程——极坐标方程和参数方程的微机辅助教学问题,做进一步的探讨并提供一个实用的程序。 从教材内容和教学实践看,关于极坐标方     

广义Camassa-Holm方程的几种新结论

给出一种辅助方程的几种新结论, 构造了广义 Camassa-Holm 方程的多种无穷序列新解. 首先, 利用首次积分与函数变换, 给出了一种辅助方程的新解、B¨acklund 变换和解的非线性叠加公式. 然后, 通过函数变换, 把广义Camassa-Holm 方程的求解问题转化为非线性常微分方程的求解问题. 最后, 借助符号计算系统 Mathematica, 构造了广义Camassa-Holm方程的多种无穷序列新解.     

广义Camassa-Holm方方程的几种新结论

给出一种辅助方程的几种新结论,构造了广义Camassa-Holm方程的多种无穷序列新解.首先,利用首次积分与函数变换,给出了一种辅助方程的新解、B¨acklund变换和解的非线性叠加公式.然后,通过函数变换,把广义Camassa-Holm方程的求解问题转化为非线性常微分方程的求解问题.最后,借助符号计算系统Mathematica,构造了广义Camassa-Holm方程的多种无穷序列新解.     

广义变形的DP-CH方程的显式精确解

通过构造一个辅助方程,利用动力系统方法,Jacobi椭圆函数,来讨论广义变形的DP-CH方程,得到了广义变形的DP-CH方程更丰富的行波解的显示精确表示.     

一阶迭代微分方程的解析解

讨论了一阶迭代微分方程解析解的存在性,通过构造一个辅助方程的幂级数解给出该方程的解析解.     

应用辅助方程法求Zakharov方程的精确解

应用辅助方程法求得Zakharov方程的精确解,这些解包括双曲函数解、三角函数解.当对双曲函数解中的参数取特殊值时,可得到孤立波解:当对三角函数解中的参数取特殊值时,可得到周期波函数解.实践表明:辅助方程法在非线性光学、量子光学、激光物理和等离子体物理等领域具有广泛的应用.     

Fisher方程和Burgers-Fisher方程新的精确行波解

本文研究了Fisher方程和Burgers-Fisher方程.运用一种辅助微分方程方法,得到了这两种非线性偏微分方程新的精确行波解.     

中值问题中辅助函数的构造原理及应用

本文研究了方程有根的证明题中辅助函数的构造原理,并利用这种方法构造了拉格朗日中值定理证明中的辅助函数.     

几种广义非线性发展方程的新解

本文研究了构造了广义Kd V方程和广义KP-Burgers方程等几种广义非线性发展方程的新解的问题.利用三种辅助方程及其新解,获得了广义Kd V方程和广义KP-Burgers方程等几种广义非线性发展方程的新解.这些解由双曲余割函数、双曲正切函数、双曲正割函数、双曲余切函数和余割函数组成.     

mKdV方程和mKP方程组的新的精确孤立波解

用三角函数假设法和一种新辅助方程的解构造mK dV方程和mKP方程组的精确孤立波解.这种方法也可用于寻找其它非线性发展方程的新的孤立波解.     

某些积分的方程(组)解法

通过变量替换或分部积分可建立关于某些积分的方程,通过引入辅助积分可建立关于某些积分的方程组,解这些方程或方程组可得所求积分.     

2+1维Ginzburg-Landau方程的精确波解

分析研究了一个具有三次增益效应和五次耗散项的2+1维Ginzburg-Landau方程.利用同解变型法并结合一个高阶辅助方程的解,成功地取得了该方程的一些新的精确行波解.     

基于Riccati-Bernoulli辅助常微分方程的Davey-Stewartson方程的行波解

Riccati-Bernoulli辅助常微分方程方法可以用来构造非线性偏微分方程的行波解.利用行波变换,将非线性偏微分方程化为非线性常微分方程, 再利用Riccati-Bernoulli方程将非线性常微分方程化为非线性代数方程组, 求解非线性代数方程组就能直接得到非线性偏微分方程的行波解.对Davey-Stewartson方程应用这种方法, 得到了该方程的精确行波解.同时也得到了该方程的一个Backlund变换.所得结果与首次积分法的结果作了比较.Riccati-Bernoulli辅助常微分方程方法是一种简单、有效地求解非线性偏微分方程精确解的方法.