巧用技巧求解不定积分

本文总结了六种不定积分求解的典型方法与技巧.     

浅谈作反函数代换求不定积分

在求不定积分时,当被积函数中含有某已知函数的反函数时,若令反函数为积分变量,作换元积分法,往往使不定积分更容易求得.下面举例说明.     

求分段函数不定积分的一些方法

求连续函数不定积分的关键是求其一个原函数,而连续函数在其连续区间内所对应的积分限函数就是它的一个原函数。所以可以用下面两种方法求解连续分段函数的不定积分。     

求不定积分时值得注意的一个问题

求一个函数的不定积分,不论选取怎样的变量代换,均应求出被积函数定义域的每一个连续区间上的原函数族,而不能只求出某些区间上的原函数族.否则,将导致某些积分计算的不正确的结果.例如:在[1]中第255页例11,求integral dx/(x(x~2)~(1/x~2))-1),书中给出了四种解法.其第一种解法是:     

求不定积分中某些常见错误简析

计算不定积分时，同学们往往只拘泥于会积出原函数，而忽视了一些细节问题，导致不易发现的错误结果。下面举例说明之。一、不定积分与原函数概念常见错误例亚若F’（x）＝f（x），则称F（x）是f（x）的原函数，F（x）＋C是f（x）的不定积分。析F’（x）＝f（x），未注明x所属区间。。。。jsdx。－。。。。，。。。－，。。。。。。，。“JH。x－JZ。x若理解为前一原函数族中某一特殊原函数与后一原函数族中任一原函数之差，则一般应等于一非0常数！若后者正巧取得是前一特殊原函数，那么其差才为0。二、换元积分中易出现的错误析今x—t…     

利用定积分求分段表示的函数的不定积分

分段表示的函数的不定积分的求法通常采用逐段求其不定积分 ,但这样得出的结果会有几个积分常数 ,由于不定积分的任意常数只有一个 ,为求出最后结果 ,则要利用原函数必连续的条件 ,找出几个积分常数之间的关系 ,确定出不定积分的任意常数 (见 [1 ]) ,由于求函数 f(x)的不定积分∫f (x) dx =F(x) C,关键是求出它的一个原函数 F(x) .若注意到变上限函数 F(x) =∫xaf (t) dt满足 F′(x) =f (x) ,即 F(x)是 f (x)的一个原函数 ,则有∫f (x) dx =∫xaf (t) dt C于是 ,求函数 f(x)的不定积分问题 ,就可以转化为求定积分∫xaf (t) dt的问题 .…     

几个可利用图形面积来求的不定积分

可以利用易记忆的图形面积,反求一些难记住的积分公式.     

求二次函数解析式的技巧

二次函数_=甜。+如+c(＆≠O)的解析式有如下三种形式表示: l、顶点式:y=n(z一¨。+足,(^,是)为顶点坐标. 2、交点式:当△=6。一4“≥0时,设方程甜。+k+c:0的两根为z。,z2,则二次函数的解析式可写为y=口(z—z。)(z—z2),点(z,,0),(z2,0)是二次函数的图象与z轴的交点. 3、广义交点式:二次函数的图象具有轴对称性,由此我们可知:二次函数图象上两点(z,,y。),(z:,y2),若_),。=了:=￡,则对称轴为:-z=半,此时,解析式可写为:y=口(z—z。)(z—z2)+￡,这是交点式的推广. 在用待定系数法求二次函数的解析式时,运用上面的知识,恰当选择设立解析式,可以…     

求标准正交基的技巧

求标准正交基的技巧靳廷昌（天津师专杨村分校３０１７００）读了文［１］之后，颇受启发．笔者在本文给出求标准正交基更为简便的方法．这种方法只需进行矩阵的第三种列初等变换，便可直接把Ｒｎ的一个基化为正交基，从而再单位化求得标准正交基．首先叙述如下：引理１设...     

求高阶导数的方法与技巧

给定y=f(x),设其在区间I n阶可导,求f~(n)(x),一般来说比较困难一下面总结几种求n阶导数的方法与技巧,以求能对大家有所启发.     

不定积分的代数解法

基于积分运算是微分运算的逆运算,利用线性代数方法,提出了一种求解几类特殊函数不定积分的新方法,并结合实例验证了方法的有效性.     

不定积分的一个注记

本文对2018年全国硕士研究生入学统一考试中一道不定积分问题进行了研究,给出了5种解法,提出了一种新的计算不定积分的方法——待定函数法.     

几类三角函数的不定积分

在微积分中,不定积分的计算既是重点又是难点.巧妙地利用1=sin~2x+cos~2x介绍几类三角函数的不定积分,讨论形如Lmn=∫sec mxcscnxdx,m,n=0,1,2,…的不定积分.同时,讨论其它相关三角函数的不定积分,如∫sec~mxdx,∫csc~mxdx,∫secx csc~mxdx,∫sec~mxcscxdx,∫tan~mxdx,∫cot ~mxdx,m=0,12,….另外,通过几个实例简单讨论以上积分公式的应用.     

不定积分的代数解法

基于积分运算是微分运算的逆运算,利用线性代数方法,提出了一种求解几类特殊函数不定积分的新方法,并结合实例验证了方法的有效性.     

不定积分解法研究

通过对不定积分的研究,提出了求几类特殊函数不定积分的新方法.不但求出了高等数学中具有代表性的几种形式的不定积分,而且对不定积分的教学和积分方法的寻求都有启发作用.     

不定积分教法探讨

本根据多年的教学实践,从概念教学,定理公式讲解和习题课教学目的三个方面探索了不定积分这一灵活性大、技巧性强的内容和教学方法,为如何开展不定积分教学提供了一种参考方法。     

新不定积分表

将传统不定积分表中的递推公式全部展开,并将近200个常用不定积分公式合并为43个积分公式,从而给出一张新不定积分表.     

求代数式的值的一种技巧

给出已知条件求一代数式的值的问题,是初中代数中的一个重要内容之一.由于这类问题题型较多,特点不一,因而求解技巧也不可忽视.今介绍一种变形已知关系式,巧妙代换常数求解的技巧,供读者参考.例1已知x2-3x+1=0,求x3+x-3/x2+x-2的值.     

求动点轨迹的方法与技巧

求动点轨迹的基本方法主要有以下几种 :1)直译法 .如果动点满足的条件是一些几何量的等量关系 ,则只需直接将动点的坐标代入 ,便可得到动点的轨迹方程 .2 )定义法 .如果动点的轨迹是某种确定的曲线 ,则可根据该曲线的定义建立其方程 .3)转移法 .如果动点P随着另一动点Q的运动而运动 ,且Q点在某一已知曲线上运动 ,那么只需将Q点的坐标用P点的坐标来表示 ,并代入已知曲线方程 ,便可得到P点的轨迹方程 .4 )交轨法 .如果动点P是某两条动曲线的交点 ,则可联立这两条曲线的方程 ,并消去其中的参数 ,便可得到P点的轨迹方程 .5 )参数法 .如果动…     

函数的商的不定积分

本文给出了函数的商的不定积分公式,揭示了该公式的应用方法.