五、复数

知识要点］本章主要内容有复数的概念；复数的三角形式；代数形式与三角形式的互化；复数的代数运算及三角运算；复数的模、辐角及复数的加、减、乘、除和开方的几何意义；复数集中的一元二次方程和二项方程．其重点要求准确掌握和应用概念，正确地进行代数式和三角式的运...     

复数

1　考点简析新课教学与高三备考复习是有区别的 .但是新课教学又不能不顾及高考 ,不能对高考的要求心中无数 ,而应当循序渐进地、有机地渗透“考试说明”的有关要求 .1.1　知识点剖析本章的知识点有 7个 (见课本 7个小节的标题 ) ,其内涵与外延是 :复数的有关概念 (含模与共轭复数的有关性质 ) ,复数的整体形式、代数形式、三角形式及其转换 ;复数代数式与三角式的运算 ,复数的几何表示 ,复数运算的几何意义 ,几何意义与运算的转换 ,图形与方程的转换 ;在复数集中解一元二次方程和二项方程 .1.2　思想方法化复 (数 )为实 (数 ) ,数形结合 ,…     

复数定义的多样性与运算的灵活性

复数是实数的扩展 ,复数集的建立 ,完善了数集理论 ,为我们提供了新的解决现实问题的思路与方法 .高中代数课本第八章复数的内容主要包括 :复数的概念、运算和简单应用 .其重点是概念和运算 .1　复数定义的多样性复数的定义有三种形式 ,即代数形式、向量 (几何 )形式、三角形式 ,都是通过两个量来表示一个复数 :代数形式ａ ｂｉ中的实部ａ与虚部ｂ ;向量形式ＯＺ 中的长度 (模 ) |ＯＺ |与方向 ;三角形式ｒ(ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ)中的模ｒ与辐角θ .这三种形式是互相联系的 ,可以相互转化 .据此 ,学习复数时 ,对有关概念也应从形式上多方理…     

简化复数运算的常用技巧

复数的运算是复数这一章的核心内容 .与对其它运算的要求一样 ,复数的运算 ,也是一要准确 ,二要快速 .因为复数有代数、三角、几何等多种形式 ,所以进行复数运算时 ,既要选择恰当形式 ,严格遵循运算法则 ,又要灵活运用各种技巧 .加强这方面的训练 ,不仅可以直接提高运算能力 ,而且对于培养发散思维能力也大有益处 .下面举例谈谈简化复数运算的几个常用技巧 .1　运用整体思想例 1　已知复数ｚ满足 | 2ｚ -ｉ| =2 |ｚ| ,且ａｒｇ2ｚ -ｉｚ =π3.求ｚ .解　∵ | 2ｚ -ｉ| =2 |ｚ| ,∴ | 2ｚ -ｉｚ | =2 ,又ａｒｇ2ｚ -ｉｚ =π3,∴ 2ｚ -ｉｚ =…     

复数四则运算学习谈

<正>对于复数的运算来说,涉及的有复数的加法、减法、乘法及乘方运算,对于复数的加法和减法,则与多项式化简中的合并同类项相似,即实部、虚部分别相加和相减;对于复数的乘法则与多项式的乘法是类似的,只是在运算的过程中把i2换成-1,然后把实部和虚部分别合并.要注意共轭复数的运算,对于复数的乘方,则适用指数幂的运算规律.对于复数的除法,是将分子分母都乘以分母的共轭复数,并     

2001年全国各地高考数学模拟试题新题评析复数部分

复数是人类对数的认识的一个重要里程碑 ,是中学代数的重要内容之一 .由于复数具有“表示形式多样 ,涉及概念复杂 ,运算方法灵活 ,包容知识丰富”的特点 ,因而是每年高考必考内容之一 .细观近几年的高考数学试题 ,考查复数知识的题目多为容易题或中档题 ,作为解答题常出现在第 1题或第 2题的位置 .此类命题表述清晰、意图明确 ,重在考查学生对复数概念的理解及对复数基本运算技能、技巧的掌握 ,有关性质的灵活运用 ,尤以三角形式与三角函数知识进行综合及对复数运算的几何意义应用为主线 .因此 ,在进行复数复习时我们应充分注意到这些 ,要特…     

简化复数运算的若干途径

简化复数运算的若干途径７１４０００陕西渭南瑞泉中学李琪复数的运算是近年来高考命题的一个热点，提高复数运算能力的关键是掌握简化复数运算的技能技巧．本文笔者结合实例说明简化复数运算的若干途径．１选择恰当的表示形式复数有代数、三角、几何（点、向量）等多种表...     

例说用复数解三角问题的教学

例说用复数解三角问题的教学高向斌（山西省教育学院数学系０３００３１）众所周知，复数的三角形式表示法使一些复数运算变得相当简便．如课本中用来解决三倍角公式的推导过程，就显得自然、简捷．在教学中，借助这一特点，引导、启发学生应用复数解三角问题，并在已解决...     

抓住特征灵活转换--复数知识的巧妙应用

复数具有许多奇妙的性质 ,由于其表达形式的多样性 ,可以根据需要把一些数与形之间的关系进行相互转化 ,也可以在代数式、根式、三角式、向量之间建立联系 .因此若能切实掌握好复数基础知识 ,在解题中抓住特征 ,灵活应用 ,将会收到许多意想不到的效果 .这里仅举几例看似非复数却能转换为用复数解决的问题进行探讨 .1　在三角问题中 ,抓住角的特点复数的三角式z=r(cosθ+isinθ)中 ,实部虚部均含有三角函数 ,且由棣莫佛定理zn =rn(cosnθ +isinnθ) ,复数乘方中的指数奇妙地转化成了辐角的倍数 ,使原来复杂的运算因此而可能降低了级别 ,利用…     

复数的运算

复数是多种知识的汇合点,集代数、三角、几何于一身,从中可生出诸般变化,在数学竞赛中占有独特的地位。复数的表现形式有代数形式、三角形式、点、向量等等,复数的运算既包含实数运算,又有别于它而有自身的特色,要处理好有关复数的运算首先要注意选用合适的形式、全面考虑问题。先看一个较为简单的例子。例1 设两复数a、β满足a~2 β~2=aβ,|a-β|=2,试求 (1)β/a的辐角主值;(2)|a|, (3)在复平面上以复数O,a,β所对应的点。O,A,B为顶点的三角形的面积。     

解复数求值问题的几种途径

复数求值问题是复数运算中的一个难点，处理不好，就会陷入繁冗的计算中去，针对这点，本文试图通过数例来说明解决这类问题的几个途径．1选择恰岂的表示形式复数有代数、三角、几何（点，向量）三种表示形式，要处理好有关复数求值问题，首先要注意选择恰当的复数表示形式．又∵z1、z2对应向量OZ1和OZ2的夹角，在△Z1OZ2中，则由复数的三角式知：2转化为一元二次方程求根问题有些复数求值问题，可利用复数的有关性质，转化为以所求值为本知数的一元二次方程，再求这个方程的根．例2已知a、B为实系数二次方程ax2＋bx＋c=0的两根，a为虚…     

复数应用（高三复习课）

教学目的1　通过本节的学习要使学生对复数与几何、方程、三角等知识之间的联系有一个明确的认识 ,并能用复数这一工具解决一些简单问题 .2　通过解题教学使学生进一步掌握化归、数形结合等数学思想 ,提高学生抽象概括能力和数学素质 .教学重点　复数的几何意义及其在解题中的应用教学方法　启发———联想———归纳教学过程1　引题同学们 ,我们已经系统地学习了复数的概念、代数形式、三角形式及其运算 .我们知道 ,复数由社会的需要而产生 ,随着社会的不断发展 ,它在数学、力学、电学中不断得到应用 ,使得复数已成为科学技术中普遍使用的…     

一道比利时数学竞赛题的求解与思考

<正>三角函数求值,在竞赛题中屡次出现,其基本解法更偏重于运用三角公式进行化简变形而得到要求证的结果,而复数中棣莫佛定理,将复数与三角联系在一起,如果三角函数有关运算与复数巧妙结合,则更加令人心旌激荡.我们通过一道比利时数学竞赛题的分析加以说明.1真题再现     

复数运算的金钥匙——“模”

2017年版普通高中数学课程标准对复数版块做了局部调整,增加了复数三角表示.2021年全国新高考统一考试适应性训练和2020届高考数学全国卷(Ⅱ)(理科)对复数深度考查了与“模”有关的运算,本案例举几例复数求模问题,感受“模”在复数运算中的重要地位.     

复数题的平几直观解法

应用复数的向量表示及其运算的几何意义,可以十分简捷地解决平面几何、平面解析几何以及三角中的许多问题,对此己有好多文章作了详尽的论述.本文考察其另一面,试就如何根据复数及其运算的几何意义,应用平几知识来直观地求解一些复数问题,作一粗浅的探讨,供大家参考.     

两种新教材中复数内容的比较与教学建议

通过比较两种新教材中的复数必修内容,突出复数的几何意义与三角式的应用,引导教师重视复数教学的类比性、系统性等,发挥其对学生数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象等数学核心素养发展的促进作用.     

解复数高考题的整体思维策略

在解复数高考题时 ,学生往往不加思索地用复数的代数形式或三角形式求解 ,导致繁琐运算或解题思路受阻。其实 ,处理复数问题在策略上 ,若能从宏观上分析问题的结构特征和内在联系 ,整体思维 ,则可避繁就简 ,优化解法 .本文例举几种常用策略供参考 .1　整体换算策略在复数运算中 ,充分利用“ｉ”、“ｗ”的性质 ,如 ( 1±ｉ) 2 =± 2ｉ,( - 12 ± 32 ｉ) 3 =1等 ,将题中式子重新组合 ,视作一个整体 ,灵活地进行等量代换 ,可优思省算 .例 1　 ( 1 997年全国高考题 )已知复数ｚ=32 - 12 ｉ,ｗ =22 22 ｉ,复数ｚｗ ,ｚ2 ｗ3 在复数平面上所对…     

复数三角形式的“五官”

复数的表示形式主要有三种：代数形式、三角形式、几何形式,而在解复数问题时三角形式是最常用的一种．初学复数三角形式的同学往往顾此失彼,不能整体把握．为此下面将介绍一种简捷判断方法．一个复数的表示形式是否是三角形式,就看其“五官”是否端正,即在z=r(cosθ isinθ)中要求：“模非负、余正弦、 相连、角统一、i跟sin”,具体地说.     

复数在解题中的应用

应用复数解题也是一种较好的综合训练,结合复数的教学和中学数学复习注意这种训练,对于加深学生对复数基础知识的理解,培养学生灵活地运用所学知识解数学题的技能技巧,沟通代数、几何、三角等之间的相互联系都是很有益的。下面举出一些不超过中学复数知识所能解答的例子,说明复数在解代数、三角、几何题中的应用,供教学参考。     

巧借复数三角形式，妙解数学综合问题

复数三角形式是复数模块知识中的一个课外补充与阅读知识,对学有余力的学生加以知识空间与应用场景的拓展.结合复数三角形式在一些数学综合问题中的应用,剖析复数三角形式的知识内涵、几何意义与应用场景,归纳总结规律,拓展数学解题研究与竞赛辅导.