寻几何阅读之道,建高效课堂——从一道几何习题说起

笔者在教学七年级“几何的初步认识”这一章时,作业上出现了这样一道题:“如图1,已知O在直线AB上,OE⊥OC,OD是∠COE内一条射线,则图中互余的角共有_______对.”笔者所教授两个班答题情况统计如下表所示这道题出错普遍,笔者课后做了调查,答案为6的学生的主要错误在于他们认为∠AOE、∠DOE、∠COD、∠BOC都是45°;答案为4的学生的主要错误在于他们认为这样的图再熟悉不过了,认为OE、OC分别是∠AOD、     

从一道预考试题谈起

如图,△AOB的∠AOB=π/3,AB在直线:x=3上移动。求△AOB的外心的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形。这是湖南省1986年高考预选题中的一道题。这道题既有对基础知识的要求,又有对思维能力的考查,有一定的综合性与灵活性,对解题教学是很有启发的。下面结合学生解这道题中的一些情况,谈一些认识与体会。解法一:设△AOB的外心为P(x,y),因A,B在直线x=3上移动,可设A、B的坐标分别为(3,t_1),(3,t_2)。易知,OA、AB的垂直平分线方程分别为     

统一证明正、余弦定理又一方法

文 [1 ]中用向量平移的方法同时证明了正、余弦定理 ,本文再给出另一种利用向量统一证明正、余弦定理的方法 .图 1如图 1 ,在△ABC中 ,a,b,c分别是三个内角A ,B ,C所对的边 ,以三角形外接圆的圆心O为原点 ,半径OA所在的直线为x轴建立直角坐标系 ,设外接圆的半径长为R,于是A点坐标为(R,0 ) .由三角函数的定义得B点坐标是(Rcos∠AOB ,Rsin∠AOB) ,而∠AOB =2∠C ,故B点坐标为 (Rcos2C ,Rsin2C) .同理C点坐标为(Rcos∠AOC ,Rsin∠AOC)而∠AOC =-2B .故C点坐标为 (Rcos2B ,-Rsin2B) .1 )正弦定理∵AB =(Rcos2C -R ,Rsin2C…     

对一道练习题的延伸与探索

<正>新课标人教B版必修四教材第三章第144页有如下一道练习题:如图1,圆心角为60°的扇形AOB的半径为1,C是AB弧上一点,作矩形CDEF,当点C在什么位置时,这个矩形的面积最大?这时的∠AOC等于多少度?解令∠AOC=θ,则CF=rsinθ,OF=rcosθ,因为∠BOA=60°,     

由教材例、习题命制中考题:源于共同的题“根”

人教版教材九年级上册第88页第11题为: 如图1,A、B是☉O上两点,∠AOB=120°,C是(AB)的中点,求证:四边形OABC是菱形. 此题以圆为背景,考查圆周角和圆心角的关系、等边三角形的判定、菱形的判定等知识.以此题为素材,对问题进行变式,可以发现其是一些中考题的"题源". 证明:因为C是(AB)的中点,∠AOB=120°,所以∠AOC=∠BOC=60°. 因为OA =OC,OB=OC,所以△AOC、△BOC均为等边三角形. 所以OA =OB=AC=BC.所以四边形OABC是菱形. 此题的逆命题也成立,我们把原题和逆命题分别作为: 命题1:如图1,A、B是☉O上两点,∠AOB=120°,C是(AB)的中点,则四边形OABC是菱形.     

由一道“操作题”引起的数学实验

1 数学实验 笔者在高二开设了数学选修课《数学实验》,其中特意选取《普通高中课程标准试验教科书》《必修二》(苏教版)上的一道操作题做实验. 用硬纸剪一个三边均不相等的锐角三角形AOB,然后以AB边上的高OO'为折痕,折得两个直角三角形,使之直立于桌面α上(如图1),那么∠AO'B就是∠AOB在桌面上的射影,转动其中一个直角三角形,观察∠AOB与∠AO'B的大小关系,是否存在某个位置,使得∠AOB=∠AO'B?     

“直角”三证

<正>贵刊2017年3月下课外练习栏目初三年级的第3题:已知:如图1,PO平分∠AOB,PA⊥PB,PA=PB,∠A≠∠B,求证:∠AOB=90°.参考答案证明设OA=a,OB=b,PA=PB=x,OP=m,S△POA=S_1,S△POB=S_2,且∠POA=∠POB=α,则S_1=1/2OA·OP·sinα=1/2am sinα,S_2=1/2OB·OP·sinα=1/2bm sinα.同时S_1=1/2OA·AP·sin∠A=1/2ax sin∠A,     

一次研究性学习的体验和感悟

在一节习题讲评课上,我讲评了一道习题:"已知动点P到定点F(4,0)的距离比它到定直线L:x 6=0的距离小2,求动点P的轨迹方程".这道题大部分学生在作业中是直接根据题     

一道武汉市调研题的多角度切入

武汉市2009届高中毕业生二月调研测试数学试卷（理）中有这样的一道圆锥曲线题： 已知椭圆Г的中心在原点,焦点在x轴上,直线l：x＋√3y-√3=0与Г交于A,B两点.｜AB｜=2,且∠AOB=π/2.     

三类等角关系模型的应用

<正>初中数学中的等角关系问题,无论是基础题还是综合性试题中都是高频出现的,如何提升等角关系问题的推理能力?笔者在学习实践中,从关注等角关系的转化入手,总结了三类等角关系模型,以期对大家数学学习能力的提升有所帮助.一、共顶点两等角基本图形:如图1,已知∠AOC=∠BOD,则有∠AOB=∠COD.     

数学问题解答

20 0 3年 7月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 44 1　O为锐角△ABC的外心 ,AP⊥BC于P ,O到BC的距离为d ,且CO=2d ,∠ACO =∠ABC ,求证 :∠COP <30°.(四川荞窝农场宣教科　王承宣　 61 5 30 2 )证明　如图 ,设K、Q为点A、P关于BC垂直平分线的对称点 ,则OA =OB =OC =OK ,OP=OQ .因为四边形KQPA为矩形 ,所以PQ=KA .因为OC =2d ,所以∠OCQ=30° .又因为∠AOK=∠AOB -∠KOB =∠AOB -∠AOC =2 (∠ACO + 30°) - 2∠ABC =60° ,所以KA =QP=OK=OC ,因为OP+OC=OQ +OC>QC=PQ +PC ,所以OP>PC ,所以∠PO…     

研发“一题一课”,促进“学深悟透”——以一道“双等腰三角形”综合题教学为例

较难题的讲评是平时教学教师需要经常面对的,不少教师通过研发“一题一课”“一图一课”来做好较难题的教学.这类课型研究,往往从一个基本图形或基础问题出发,带领学生做好解题热身,然后拾级而上,变式拓展,最后促进学生自主解决较难题,这一过程既帮助学生实现了学会解一道题,也让学生收获学会解题的方法,同时这也能避免较难题讲评时的“一带而过”教学现象.     

一组角度公式及其应用

定理　若OB与OC确定的平面为α ,OA为平面α的一条斜线 ,且AB⊥α ,若记∠AOB =θ1,∠BOC =θ2 ,∠AOC =θ ,二面角C -OA -B的大小为β ,则图 1　定理证明用图cosθ =cosθ1·cosθ2 (1)cosβ =tanθ1tanθ (2 )sinβ =sinθ2sinθ (3)简析 :要证明 (1) ,只需过B作BD⊥OC于D即可 (如图 1) ;要证明 (2 ) ,(3) ,则过B作BE⊥OB于B ,且使BE∩OC =E ,然后过B作BF⊥OA于F ,再连结EF .可以证明图 2　定理证明用图∠BFE =β(如图 2 ) ,具体证明从略 .例 1　如图 3,球O的截面BCD把球面面积分成1∶3两部分 ,BC是截面圆的直径 ,…     

综合题新编选登

题 76　已知O为坐标原点 ,A ,B为抛物线y2 =2 px (p >0 )上的点 ,设S△AOB =t·tan∠AOB ,求t的最小值 .图 1　题 76图解　设AB与x轴相交于点P(a ,0 ) ,A ,B的坐标分别为 (x1,y1) ,(x2 ,y2 ) ,当AB与x轴斜交时 ,设AB的方程为 :y =k (x -a) (k≠ 0 ) ,联立 y =k(x -a) ,y2 =2 px ,得x1x2 =a2 ,y1y2 =- 2ap .当AB与x轴垂直时 ,上述结论仍然成立 .由S△AOB =12 |OA |· |OB |sin∠AOB =12|OA|·|OB|cos∠AOB·tan∠AOB ,可知t =12 ·|OA|·|OB|cos∠AOB .由向量数量积的定义 ,得|OA|·|OB|cos∠AOB =OA ·OB =x1x2 + y…     

2016年宁波中考压轴题解法探究

<正>现以2016年宁波中考数学试题第26题压轴题为例,从不同的角度给出多种解法,一同体验数学解题的乐趣.试题呈现例(2016宁波)如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(5,0),菱形OABC的顶点B,C都在第一象限,tan∠AOC=4/3,将菱形绕点A按顺时针方向旋转α(0°<∠α<     

利用凹多边形巧求角的度数和

<正>现行苏教版七年级下册第12章"证明"第166页第9题:如图1,在五角星ABCDE中,∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和等于多少度?请加以证明.张亚军老师在文[1]中,给出三种求法并给予证明.本文利用对凹     

例谈客观题型中“把关题”的呈现方式——从一份七年级考卷的两道试题说起

不可否认,受到地区中考或其他形式期末调研等统考的评价"引导",很多学校热衷于所谓的"n校联考"形式,命题时又考虑到所谓的保密原则从而缺少命题打磨和审题环节,导致这类试题的质量堪忧.本文先摘引七年级上学期一份"n校联考"的月考试卷,从其中选择题、填空题的"把关题"说起,思考客观题型中"把关题"的呈现方式,与同行研讨.一、七年级考卷中的两道试题题1(该卷选择题的最后一题)有下列说法:1a为     

一题多证——一道简单题目的思路拓展

初三复习刚刚开始,老师给我们出了一道很简单的证明题,并说明会证明这道题不是目的目的是要我们开动脑筋,多考虑几种方法,并能进行知识疏理,进而分类、归纳,提高复习效果.题目呈现已知:(如图)在△ABC中,AD是∠BAC的平分线.     

面积比问题的探究

<正>近日,笔者看到2016年1月北京市朝阳区高三第一学期期末试题第14题:已知点O在△ABC的内部,且有x((OA)|→)+y((OB)|→)+z((OC)|→)=(0|→),记△AOB,△BOC,△AOC的面积分别为S_(△AOB),S_(△BOC),S_(△AOC).若x=y=z=1,则S_(△AOB):S_(△BOC):S_(△AOC)=______;若x=2,y=3,z=4,则S_(△AOB):S_(△BOC):S_(△AOC)=______.分析第一问中点O为△ABC的重心,所以S_(△AOB):S_(△BOC):S_(△AOC)=1:1:1.第二问中由于系     

一道七年级压轴题的命制过程

为调研中学起始年级的教师教学和学生学习情况,本区教研室组织了七年级数学统一测试.由于七年级学生学习的知识相对单薄,各种模拟资料中综合性考查学生的压轴试题几乎都是考查内容单一的老题,为确保调研的公平性和真实性,笔者为七年级命制了一道新颖的压轴题,得到了教师们的较高评价.