竞赛中的等高三角形面积问题

我们知道,等高三角形的面积比等于它们对应底边的比,其中等底等高三角形面积相等.利用等高三角形的这一性质,进行等高三角形的面积与对应边线段之间的互相转化,有助于我们解决一些三角形中的面积问题.     

用角平分线的性质解题举例

在解决三角形的问题中,如果已知条件中涉及到角的平分线,我们则可以考虑利用角的平分线的性质解题:角平分线上的点到角的两边距离相等,及其逆定理:角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.现举例如下.一、证明线段相等例1如图1,在△ABC中,∠BAC的角平分线AD平分底边BC.求证AB=AC.     

平面几何中的面积证法(二)——共角定理及其应用

<正>文[1]介绍了共边定理及其应用,体现了该定理是证明平面几何问题的一种利器.本文笔者再介绍平面几何中面积证法的另一种工具:共角比例定理(以下简称为共角定理),它在解题过程中表现也不逊色.一、共角三角形和共角定理[2]有一组对应角相等或互补的两个三角形称为共角三角形.共角定理共角三角形的面积比,等于相等角或互补角的两夹边乘积之比.     

例析涉及三角形中线的数学竞赛题

三角形的中线是三角形中的重要线段,有着许多的性质和用法,在各级各类竞赛中时常出现涉及三角形中线的题目.本文从中分类采撷几例.一、运用三角形的中线等分三角形的面积解题我们知道三角形的每一条中线分三角形为面积相等的两个三角形.所以当面积问题中出现线段的中点时,可尝试寻找相应的三角形及中线,运用该性质解题.例年全国初中数学竞赛)点     

活添辅助线巧解几何题

在几何证明或解题中,一时想不出办法,何不加几条辅助线,让它来“辅助”你分析解题呢?使用辅助线将会使复杂问题变的简单,思路变得顺畅平坦.现举一例,与同学们共赏. 题目如图1,已知正△ABC,延长BC到D,延长BA到E,使AE=BD,连结CE、DE,求证:EC=ED. 总体分析证线段相等的方法有很多,如可以利用等角对等边、全等三角形对应边相等,利用角平分线性质定理、中垂线性质定理等. 具体分析从本题已知条件来看,试图去证     

从几何图形中提取“A”形或“X”形解题

在学习三角形相似判定方法中,用的较多的一种便是两角对应相等得相似,由此衍生了"平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长线)相交,则所构成的三角形与原三角形相似"这一性质.转化为图形即为图1通常称为"A"形,图2称为"X"形.解题时都是从较复杂的图形中提取出这两种图形,看似简单,但真正做起来并不容易.     

例析等积法的解题技巧

初中数学中的等积法是一种十分重要的解题思路与方法,其实质是一种转换思想,例如运用“两个三角形等底等高则面积相等”的性质,把一些较复杂的难以直接解决的问题,转化为较简单的能够间接解决的问题,从而使问题得到简捷的解答.本文中结合四类典型实例,探讨和总结了运用等积法解题的方法与技巧.     

关于线段相等问题的证明

平面几何中证明线段相等是我们经常遇见的问题之一 ,解决它的方法有很多 ,但归纳起来较为常见的方法主要有以下几种 :①在同一个三角形中利用等角对等边来证 .②在不同的三角形中利用全等三角形来证 .③利用角平分线的性质来证 .④利用线段的垂直平分线的性质来证 .⑤利用特殊四边形的性质来证 .⑥利用同圆或等圆中等弧 (弦心距 )对等弦来证 .⑦利用比例的性质来证 .⑧利用平行线等分线段定理及其推论来证 .⑨利用垂径定理及其推论来证 .⑩利用直角三角形斜边上的中线 ,或等腰三角形底边上的高和顶角的平分线的性质来证 .面对上述众多种方法 ,我们如何根据题目中所给的图文信息 ,选择恰当的方法来证两条线段相等呢 ?现举例给予说明 ,供读者参考 .例 1　如图 1,已知在△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,Ｄ是ＡＢ上一点 ,ＤＥ⊥ＢＣ ,Ｅ是垂足 ,ＥＤ的延长线交ＣＡ的延长线于点Ｆ .求证 :ＡＤ =ＡＦ .分析 :欲证ＡＤ =ＡＦ ,观察图形知ＡＤ ,ＡＦ是同一△ＡＤＦ的两边 ,即本题属于证同一三角形的两边相等的问题 ,故优先考虑利用“在同一三角形中 ,等角对等边”证之 ,从而把问题转化为证∠ＡＤＦ =∠Ｆ .因为从所给条件看 ...     

如何证明线段相等

在平面几何中 ,证明两条线段相等是一种最常见的题型 .常用的证明方法有 :利用三角形全等、利用等角对等边、利用特殊四边形 (如平行四边形、等腰梯形等 )的有关性质、利用平行线等分线段定理、利用比例线段等等 .本文仅谈谈如何利用三角形全等和等角对等边证明线段相等的问题 ,供参考 .(一 )利用三角形全等利用三角形全等是证明两条线段相等最常用的手段 .当要证明两条线段相等时 ,可以证明它们所在的三角形全等 .证明三角形全等最主要的方法有SAS、ASA、SSS以及HL .例 1　如图 ,已知AC⊥BD于C ,AC =BC ,BE⊥AD于E ,BE交AC于F …     

用“等积法”解题

<正>用不同的方法表示同一个平面图形的面积,计算结果始终相等.利用这一结论证明或计算某些数学问题的数学方法称之为"等积法"."等积法"是初中数学中是很常见的一种非常重要的解题方法,利用这一方法在解决某些问题时具有化难为易、化繁为简、事半功倍的功效.下面列举"等积法"在解决中考试题中的应用几例,供读者参考.一、求三角形的高例1(2014年贺州)如图1,网格中的每个小正方形的边长都是1,△ABC每个顶点都在网格的交点处,则sinA=.     

证明相似三角形的若干途径

一般相似三角形的判定方法有 :1.定义判定法 .此方法因证明过程中所需的条件太严格 ,即三个角相等 ,三边对应成比例 ,故一般不用它来判定 .又由于三角形具有稳定性 ,所以在实际解题中常使用削弱条件的几个判定定理 :2 .两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似 ;3.两角对应相等的两三角形相似 ;4 .三边对应成比例的两三角形相似 ;5.平行于三角形的一边的直线截其他两边 ,截得的三角形与原三角形相似 ;对特殊的三角形———直角三角形 ,除满足以上五种判定方法外 ,还有其自身的判定方法 ,即 :6 .斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形…     

等腰三角形的综合研究(上)

<正>(一)基础知识提要有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.其中相等的两条边叫做腰,第三边叫做底边.底边对的角叫做顶角,其余两个角叫做底角.一、等腰三角形的基本定理定理1等腰三角形的两个底角相等,两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称为,三角形中等边对等角,等角对等边).定理2等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线、高线和垂直平分线.即等腰三角形的内心、重心、垂心和外心在一条直线上,     

一道竞赛题的巧解、变式与推广

由三角形的面积公式容易得到如下推论:同高的两个三角形的面积之比等于其底边之比.用此结论解决有关问题可以精简解题程序,提高解题效率!     

学好相似三角形性质的四条建议

相似三角形具有下列性质:相似三角形的对应线段(对应边、对应中线、对应高、对应角平分线)的比等于相似比,相似三角形周长的比等于相似比,相似三角形面积的比等于相似比的平方.怎样才能学好用好相似三角形的性质呢?在这里笔者给同学们提"四条建议",希望会对你的学习有所帮助.一、能从已知图形中找出两个三角形相似,从而再利用性质有些问题的解决需要利用相似三角形的性质,这时要能从图形中找出相似三角形,才     

同高三角形面积之比

<正>性质等高不等底的三角形面积之比等于底边之比.性质应用举例:例1如图1,在平行四边形ABCD中,M是BC边上一点,AM与对角线BD交于点N,若S△ABN=3,S△BMN=2,则S△DMN=,S△AND=.分析由S△ABN=3,S△BMN=2,利用等高不等底的三角形面积之比等于底边之比,可求出AN:MN的值,根据△AND∽△MNB,继     

两个三角形有相等外接圆的定理及其应用

众所周知,好些在同圆中具有的性质在等圆中也具有,由此使我们想到寻找两个三角形有相等外接圆定理。对此有: 定理:两个三角形如果有一条边对应相等,并且对应相等的边所对的角也相等(或互补),则这两个三角形的外接圆相等。其证明,显然由正弦定理立即可以得出。适然也可分两种情况(相等、互补)依平几知识证得(证明略)。应用这个定理,我们可以解决平几中某些较费解的问题。例1.已知:在ABC中AD、BE、CF是高,H是三条高的交点。求证:△ABC、△ABH、△BCH、△CAH的外接圆相等。证明:△ABC、△ABH     

例谈初中几何中“手拉手”问题的解题策略

<正>在初中几何中经常见到两个特殊三角形有一个重合的顶点,利用特殊三角形的性质构造出全等或相似三角形来解决角相等或线段之间的关系问题.我们形象的称这类问题为"手拉手"问题.学生往往对于这类问题感觉到无从下手,下面通过一道例题介绍一下这类问题的解题策略.     

由等积变换引发的作图问题

在平面几何的面积问题中 ,经常使用下面两个结论 :定理 1　同底等高 (或同高等底 )的三角形面积相等 .定理 2　梯形对角线分梯形的四个三角形中 ,两腰所在的三角形面积相等 .由这两个简单结论可得到下面一系列作图问题 .问题 1　已知一个凸四边形 ,求作一个三角形 ,使其与已知四边形的面积相等 .图 1作法如下 :如图 1 ,在四边形 ABCD中 ,任取一顶点 ,如 A,联结对角线AC,过 D点作 AC的平行线交 BC的延长线于 E,则由定理 1知 ,S△ ABE =S△ ABC S△ ACE=S△ ABC S△ ACD=SABCD其中 S*表示图形 *的面积 .图 2联想到我们非常熟…     

例谈“平行线等积变换”解二次函数面积问题

<正>在平面几何的面积问题中,经常会使用:同底等高(或同高等底)的三角形面积相等．平行线的等积变换,在函数和平面几何的面积问题中应用比较广泛,解题效果事半功倍．下面我们利用典型例子来说明如何利用平行线等积变换解二次函数问题．1基础知识:平行线的等积变换     

神奇的等积变换

<正>将一个几何图形变成与它面积相等的一个几何图形或几个几何图形的面积和叫作等积变换,等积变换是一种重要的数学手段,如我们经常利用同底(或等底)等高的两个三角形的面积相等就是一种等积变换.虽然等积变换这个概念我们并不陌生,但巧妙地运用等积变换,却可以化腐朽为神奇,收到意想不到之解题效果.下面我们以北京市的两道以等积变换作为主线的中考题为例说明.