算术─几何平均不等式的简单证明

算术─几何平均不等式的简单证明王申怀（北京师范大学数学系１００８７５）众所周知，给出ｎ个实数ａｉ≥０（ｉ＝１，２；…，ｎ）成立下述算术─几何不等式：等号成立，当且仅当ａ１＝ａ２…＝ａｎ．一般上述不等式均采用数学归纳法来证，但不太容易．下面提供一个较为...     

关于三角形角平分线的一个不等式

关于三角形角平分线的一个不等式杨学枝（福州二十四中３５００１５）１引言陈计先生在《专著（几何不等式新进展）的补遗（１）》（见宁波大学理工版学报，１９９１年第２期）以及《中学教研（数学）》（浙江），１９９２年第５期‘难题征解’栏中，提出了同一个问题：三...     

关于三角形的一个不等式

关于三角形的一个不等式３１５２１１宁波大学数学系陈计１９９３年，管志宏［１］提出下列不等式：在西ＡＢＣ中，有当且仅当面ＡＢＣ为正三角形时等号成立．事实上，由熟知的几何不等式（见文［２］的２．１２及２．３３）：易知不等式（１）是平凡的．本文中，我们将不...     

几何不等式的又一不同证明

几何不等式的又一不同证明吴爱军（江西广播电视学校３３００４６）［１］中称下述不等式为几何不等式：设ｐｉ＞０，ｘｉ＞０，（ｉ＝１，２，…，ｎ），ｎｉ＝１ｐｉ＝１，则有：ｎｉ＝１ｘｐｉｉ≤ｎｉ＝１ｐｉｘｉ式中的等号当且仅当ｘ１＝ｘ２＝…＝ｘｎ时成立...     

一个不等式的应用

一个不等式的应用王太武（山东省沂源县第二中学２５６１００）在《数学通报》１９９６年第７期７月号数学问题１０２３题中，曾映铁老师给出了下面一个不等式：设ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ为实数，ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ为正数，则有ｘ２１ｙ１＋ｘ２２ｙ２＋…＋ｘｎ２ｙｎ?..     

重视“数学归纳法”的回头证

在人教版普通高中数学课标教材中,数学归纳法这块内容是安排在平均值不等式和柯西不等式后面讲授的,这使数学归纳法的应用功能受到限制.实际上,用数学归纳法证明这两个著名不等式十分简洁.一、n元的算术——几何平均值不等式的简证n元的算术——几何平均值不等式,     

关于Garfunkel猜想及其证明

关于Ｇａｒｆｕｎｋｅｌ猜想及其证明孔凡哲山东济宁师专数学系１９８５年，Ｇａｒｆｕｎｋｅｌ在加拿大数学杂志（１）上建立三角形不等式并提出结论更强的猜想几何不等式最新进展［２］称其为Ｇａｒ－ｆｕｎｋｅｌ猜想，［４］将其列为“１００个未解决的问题”第５９题...     

对两个几何不等式的再探讨

对两个几何不等式的再探讨２１３１５１江苏武进县湟里中学狄继东１９９２年，杨学技先生在文［ｌ］中首先证明了下列不等式：设ｒ１、ｒ２、ｒ３分别为西ＡＢＣ内任意一点尸到三边ａ、ｂ、ｃ的距离，则９３年初，文［２」在否定（２）式的同时，提出并证明了文［３」进一...     

一类分式不等式的统一证法

不等式ａ２＋ｂ２≥２ａｂ（ａ、ｂ∈Ｒ）及其变形的应用已被人们广泛研究，笔者在教学中发现：如用ａｂ、ｂλ分别代替ａ、ｂ得一含参数的不等式ａ２ｂ≥２ａλ－ｂλ２　（ｂ＞０，λ＞０，ａ∈Ｒ）（）利用（）可得一类分式不等式的统一证法：首先对要证的不等式进行适当变形，然后通过待定系数法求出λ，即得要证的不等式．这种证明方法具有思路单一，操作方便，学生易接受的特点．现以竞赛题、征解题为例进行说明．例１　设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋，试证：ａ２ａ＋ｂ＋ｂ２ｂ＋ｃ＋ｃ２ａ＋ｃ≥ａ＋ｂ＋ｃ２．（《数学通报》１９９５年第…     

用“取等匹配”技巧证明非严格不等式

笔者在文［１］指出：“对非严格不等式的证明，每一次‘放’或‘缩’保证等号成立是一个基本思考点，是放大或缩小的一个必要性要求”．本文着眼于这一必要性要求，以算术——几何平均值不等式的取等条件为出发点，根据待证不等式（或变形后的不等式）的取等条件和结构特征施行“取等匹配”——凑项或嵌式（数），使许多经常在中数刊物上出现且貌似繁难的非严格对称不等式轻松获证．例１　在△ＡＢＣ中，证明不等式　ｔｇＡ２ｔｇＢ２＋５＋ｔｇＢ２ｔｇＣ２＋５＋　ｔｇＣ２ｔｇＡ２＋５≤４３．证明　由于△ＡＢＣ中，有ｔｇＡ２ｔｇＢ２…     

构造同向不等式的和或积证明不等式

构造同向不等式的和与同向不等式的积证明不等式，是课本中的一种常见通法，而构造怎样的同向不等式是此法的关键，在有些题中，数字特征为我们指明了思维方向，下面举例具体说明：一、构造同向不等式的和证不等式例１：证明：ａ２＋ｂ２＋５≥２（２ａ＋ｂ）分析：２（２...     

一类分式不等式的新证法

应用柯西不等式，容易得到如下不等式：设ａｉ，ｂｉ，ｃｉ＞０（ｉ＝１，２，…，ｎ）则：∑ｎｉ＝１ｂｉｃｉ∑ｎｉ＝１ａｉｂｉ≥∑ｎｉ＝１ａｉｃｉ２（＊）利用（＊）证明数学竞赛中型如：∑ｎｉ＝１ａｉｂｉ≥Ｐ（＊＊）这类难度较大的分式不等式，只要恰当地选取ｃ...     

纠正一个证明的失误

纠正一个证明的失误刘爱农（湖南冷水江师范）本刊１９９４年第３期《也谈代数──几何均值不等式的证明》一文中，用逐次调整法证明均值不等式有误，现将该“证明”抄录如下：ａｌ，…，ａｎ中必存在最值数，不妨设易见，于是，用（ａ１＋ａ２）／２，（ａ１＋ａ２）／２...     

数学问题解答

数学问题解答１９９４年１１月号问题解答（解答由问题提供人给出）９２１若ｘ，ｙ，ｚ∈Ｒ＋，且ｘ＋ｙ＋＝１．求证：证明依柯西不等式得（１２＋１２＋１２）（Ｘ２＋ｙ２＋ｚ２）≥当ｘ＝ｙ＝ｚ＝时取等号）。再由柯西不等式得时取等号）．原不等式成立．９２２在△Ａ...     

也谈一个不等式的推广

也谈一个不等式的推广邹明尹桂勋（山东省安丘市第一中学２６２１００）黄桂君先生在《数学通报》１９９７年第３期，给出了不等式（ａ＋１ａ）２＋（ｂ＋１ｂ）２≥２５２（ａ＞０，ｂ＞０，ａ＋ｂ＝１）的几个推广及证明，读后深受启发．现笔者应用幂平均不等式：α＞β...     

关于一个不等式的隔离

关于一个不等式的隔离姜卫东华云（黑龙江省农业经济学校１５７０４１）《数学通报》１９９７年第１期文［１］给出如下一个不等式：设△ＡＢＣ的边长为ａ，ｂ，ｃ，傍切圆半径为ｒａ，ｒｂ，ｒｃ，则有ｂｃｒ２ａ＋ｃａｒ２ｂ＋ａｂｒ２ｃａ２ｒｂｒｃ＋ｂ２ｒｃｒａ＋...     

关于《一个不等式的推广》

关于《一个不等式的推广》杨正义（四川省资中师范６４１２００）数学通报１９９３年第９期胡道煊老师著文给出了不等式的推广：若ａｉ，ｂｉ∈Ｒ＋，ｉ＝１，２，…，ｎ，则事实上，这个推广不成立．如取ａ１＝１，２＝２，ａ３＝３，ｂ１＝２，ｂ２＝３，ｂ３＝４，ｍ＝...     

一个三角形几何不等式的推广

首先从第3届国际数学奥林匹克IMO竞赛命题中一个三角形几何不等式出发,将问题推广到对更一般的三角几何不等式及多边形几何不等式的研究.然后利用凸函数的Jensen不等式,得到更一般的三角形几何不等式及圆外切多边形几何不等式,推广了原命题.     

费──哈不等式的加细

众所周知。资哈不等式是Weitzenbock不等式的加强．下面，我们给出费哈不等式的一个加细．①的右半部分是不言而喻的，它等价于Euler定理：R≥2r．下面，关键证明①的左半部分．在△ABC中，我们作代换：又由恒等式：及△＝rp，知又由Kooi不等式[2]②式左边故②式成立．从而①式得证．费──哈不等式的加细@李磊$武钢三中高三理科实验班!4300801数学解题辞典编辑委员会编.数学解题辞典(三角卷).上海:上海辞书出版社 2O.Botlerna.几何不等式(单译).北京:北京大学出版社     

1996年全国高考数学（理科）试题另解摘编

１９９６年全国高考数学（理科）试题另解摘编（２０）解不等式：由①，得或；由②，当ｘ＞０，无解；当ｘｗｔｏ，ｘ—１＜ａｘ，ｘ（互一ａ）ＭＩ，．’．当ａ＞１时，所求不等式的解集ｊ．’．当ＯＭａＭＩ时，所求不等式的解集为：解法２由对数函数定一ａ．在同一直角...