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题173已知△ABC的三边长是a,b,c,非负实数m,p满足等式:aa m bb m=cc p,试比较m,p的大小,并求m,p中较大者的最小值.解[方法1]由条件:aa m bb m=cc p求解p,c pc=m2 (a b)m ab(a b)m 2ab p=c(m2-ab)(a b)m 2ab(1)作差比较:m-p=m-c(m2-ab)(a b)m 2ab=(a b-c)m2 2abm abc(a b)m 2ab.因为a,b,c是△ABC的三边长,∴a b>c,∴a b-c>0.又m≥0故有上式大于零,即m-p>0,所以m>p.又由于p≥0,由(1)得:m2-ab≥0,m≥ab,∴max{m,p}=m的最小值为ab,此时p=0.[方法2]∵aa m bb m>aa b m ba b m=a ba b m=11 ma b>11 mc=cc m,∴cc p>cc m m>p.求m的最小值同上.[… 相似文献
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题 1 1 4 已知f(x) =ax3+bx2 +cx+d是定义在R上的函数 ,其图象交x轴于A ,B ,C三点 .若点B坐标为 ( 2 ,0 ) ,且f(x)在 [- 1 ,0 ]和 [4,5 ]上有相同的单调性 ,在 [0 ,2 ]和 [4,5 ]上有相反的单调性 .1 )求c的值 ;2 )在函数f(x)的图象上是否存在一点M(x0 ,y0 ) ,使得f(x)在点M的切线斜率为 3b ?若存在 ,求出点M的坐标 ;若不存在 ,说明理由 ;3)求 |AC|的取值范围 .解 1 )因为f(x)在 [- 1 ,0 ]和 [0 ,2 ]上有相反单调性 ,所以x =0是f(x)的一个极值点 ,故f′(x) =0 ,即 3ax2 + 2bx +c=0有一个解为x=0 ,c=0 .2 )因为f(x)交x轴于点B( 2 ,0 … 相似文献
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题 2 6 已知 f(x) =sinxcosx - 3cos2 x + 32 ,x∈ [0 ,π],当方程 f(x) =m有两个不相等的实根时 ,1)求m的取值范围 ;2 )求方程的两实根之和 .解 1) f(x) =12 sin2x - 3·1+cos2x2 + 32=sin(2x - π3) .又∵x∈ [0 ,π], ∴ - π3≤ 2x - π3≤5π3.图 1 题 2 6图在同一坐标系中 ,作出函数 y =sinu(- π3≤u≤5π3)的图象和直线 y =m的图象 .易见 ,两图象有两个公共点时 ,m的取值范围为(- 32 ,1)∪ (- 1,- 32 ) ,又由于u =2x - π3是x与u的一一对应 ,故上述范围即为所求 .2 ) [方法 1… 相似文献
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题 4 3 已知 f(x) =-x3+ax在 (0 ,1)上是增函数 ,1)求实数a的取值范围A ;2 )当a取A中最小值时 ,定义数列 {an}满足a1=b∈ (0 ,1) ,且 2an +1=f(an) ,试比较an 与an +1的大小 .3)在 2 )的条件下 ,问是否存在正实数c ,使得 0<an+can-c<2对于一切n∈N恒成立 ?若存在 ,求出c的取值范围 ,否则说明理由 .解 1)设 0 <x1<x2 <1,则 f(x1) - f(x2 ) =-x31+ax1+x32 -ax2=(x2 -x1) (x21+x1·x2 +x22 -a) .由题意知 f(x1) - f(x2 ) <0且x2 -x1>0 ,∴x21+x1·x2 +x22 -a <0而x21+x1… 相似文献
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题 39 已知椭圆C的方程为x2a2 + y2b2 =1(a>b >0 ) ,双曲线 x2a2 - y2b2 =1的两条渐近线为l1,l2 ,过椭圆C的右焦点F作直线l,使l⊥l1,又l与l2交于P点 ,设l与椭圆C的两交点从左到右依次为B ,A(如图 1) .图 1 题 39图求|PB||PA| 的最大值及取得最大值时椭圆C的离心率e的值 .解 设C的半焦距为c,由对称性 ,不妨有l1:y =- bax ,l2 :y =bax .由y =bax ,y =ab(x -c) ,得P a2c ,abc .知点P在椭圆的右准线x =a2c上 .设点A内分有向线段FP的比为λ ,由定比分点坐标公式求出点A的… 相似文献
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《数学通讯》2002,(9)
题 3 5 三角形ABC中 ,三内角为A ,B ,C ,复数z =52 sinA +B2 +icos A -B2 ,|z| =324 .1)求tanA·tanB的值 ;2 )当C取最大值时 ,存在动点M使 |MA| ,|AB| ,|MB|成等差数列 .试通过建立适当的坐标系 ,求|MC||AB| 的最大值 .解 1) |z| 2 =52 sin A +B22 +cos2 A -B2 =98,即 10sin2 A +B2 + 8cos2 A -B2 =9,10·1-cos(A +B)2 + 8·1+cos(A -B)2 =9,∴ 4cos(A -B) - 5cos(A +B) =0 ,4cosAcosB + 4sinAsinB -5cosAcosB + 5sinA… 相似文献
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题 6 9 已知函数 f(x) =4x -ax2 + 1在区间 [α ,β]上为增函数 ,且 f(α)·f(β) =- 4.1)求 f(β) - f(α)的最小值及取到最小值时a的值 ;2 )求α ,β的值 (用a表示 ) .解 1) f(x)在 [α ,β]上为增函数 ,且f(α)·f(β) =- 4<0 .∴ f(β) >0 >f(α) .则f(β) - f(α) =f(β) + [- f(α) ]≥ 2 - f(α)·f(β) =4 .“ =”成立时有 f(β) =- f(α) =2 .由 f(β) =2 ,得4 β -aβ2 + 1=2 ,∴ -a =2 (β - 1) 2 ≥ 0知a≤ 0 ;由 f(α) =- 2 ,得4α -aα2 + 1=- 2 ,∴a =2 (α + 1) 2 ≥ 0知a≥ 0 .则 f(β) - f(α)取最小值时a =0 .2 )首… 相似文献
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题 37 数列 {an}是正项等差数列 ,对任意k∈N ,试证明 :(Ⅰ )log0 .2 ak+1≤ 12 (log0 .2 ak+log0 .2 ak +2 ) ,(Ⅱ ) ak+12ak1≥ (k + 1)a2 -ka1.证 (Ⅰ )所证不等式等价于a2 k +1≥ak +2 ak.设数列 {an}的公差为d ,则a2 k +1-ak+2 ak=(a1+kd) 2 - [a1+ (k + 1)d][a1+ (k - 1)d]=d2 ≥ 0 .当且仅当d =0 ,即ak=ak+1时等号成立 ,∴log0 .2 ak+1≤ 12 (log0 .2 ak+log0 .2 ak+2 ) .(Ⅱ )由 (Ⅰ )得 ak+2ak+1≤ ak+1ak,∴ ak+2ak+1≤ a2a1,ak+1… 相似文献