巴普定理的推广及其它

文［１］介绍了巴普定理：圆内接凸四边形所在圆周上任一点到一双对边的距离之积等于该点到另一双对边的距离之积． 本文将此定理推广到圆内接凸２ｎ边形,并自然得到西姆松定理在凸ｎ边形的推广． 为了表述方便,我们不妨作如下定义： 隔边２ｎ条线段首尾相连,任取定一条线段,标号为１,将其余线段按逆时针方向依次标号为２、３、…、２ｎ,则由标号为奇数（或偶数）的线段组成的一组线段叫这２ｎ条线段的一组隔边,且标号为奇数的一组隔边与标号为偶数的另一组隔边互称互补隔边组． 定理１ 圆内接凸２ｎ边形所在圆周上任一点到一组隔边…     

1993年第3期问题

１９９３年第３期问题７６．已知凸ｎ边形Ａ１Ａ２．．．Ａｎ内接于圆Ｏ，Ｒ为圆Ｏ的半径，Ｏ到各边的距离分别为为ｎ边形的半周长，求证：７７．整点三角形ＡＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ上除端点外分别有奇数个整点．（１）求证：边ＢＣ上除端点外还有奇数个整点；（２）△ＡＢＣ...     

正2n边形的一个有趣性质

正２ｎ边形的一个有趣性质４１９６０５湖南沅陵六中周永国本文给出正２ｎ边形的一个性质，并由此得到了球的内接正Ｚｎ边形、棱锥以及等分圆周的有趣性质．引理设Ａ１Ａ２…Ａ２是正２ｎ边形，Ｐ为空间任一点，则证明作一正２ｎ边形Ｂ１Ｂ２…Ｂｎ，取边ＢｉＢｉ＋１的中...     

一道命题的修正

一道命题的修正黄俊明（贵州省黔东南州民族林校５５６０００）师五喜［１］老师提供并“证明”了如下命题设Ａ１Ａ２…Ａｎ为正ｎ边形，Ｒ为其外接圆半径，Ａ为外接圆上任一点，记∑＝∑ｎｋ＝１ＡＡｋ２ｍ（ｍ∈Ｎ），则∑＝ｎＲ２ｍＣｍ２ｍ．笔者指出：上述命题，当ｍ...     

抛物线的最大内接n边形

抛物线的最大内接ｎ边形李宗奇（甘肃省徽县一中７４２３００）已知Ａ，Ｂ是抛物线问题１已知Ａ，Ｂ是抛物线（ｐ＞０）上两定点，对应的参数分别为ｔ１；ｔ２；（ｔ１＜ｔ２）试在ＢＡ上求ｎ－２个点Ｃ１；Ｃ２，…，Ｃｎ－２使ｎ边形ＡＢＣ１Ｃ２…Ｃｎ－２的面积最大．...     

1999年全国初中数学竞赛试题及解答

选择题１．一个凸ｎ边形的内角和小于１９９９°,那么ｎ的最大值是（）．（Ａ）１１（Ｂ）１２（Ｃ）１３（Ｄ）１４解因为凸ｎ边形的内角和为（ｎ－２）１８０°,所以（ｎ－２）１８０°＜１９９９°,ｎ－２＜１２,ｎ＜１４．又凸１３边形的内角和为（１３－２）×１...     

正星形自交点构成的子星形序列

正星形自交点构成的子星形序列王方汉（武汉市二十三中４３００５０）１问题连结圆上ｎ个等分点中每隔ｒ（ｒ为常数，ｒ为非负整数且个点的两点成为边，就得到ｎ边正星形，记之为Ｐｒ（ｎ）．其中ｒ叫生成数，图１正星形Ｐ４（１２）由独支组成［１］，称为素星形，图２正...     

正n边形的渐开线方程

正ｎ边形的渐开线方程２０２１６３上海市崇明县大公中学顾健家本文研究正ｎ边形的渐开线及其方程．以正ｎ这形的中心Ｏ为原点，过中心且平行于一条水平边的直线为ｘ轴，建立直角坐标系ｘｏｙ（如图）．因为正ｎ边形的渐开线是分别以Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ为图心，ＡｋＭ（...     

广义回形折线中的一个三角不等式

本文给出广义回形折线中的一个三角不等式，并略述其应用．关于广义回形折线及其内角、环数等概念，请参看拙文［１］，这里沿用而不复述．定理设ｎ边广义回形折线Ａ１Ａ２Ａ３…ＡｎＡ１的各内角∠Ａｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）都是劣角，Ｐ是它的任一同侧点，记θｉ＝∠Ｐ...     

费马数是复合数的一个充要条件

费马数是复合数的一个充要条件梅义元（武汉市张家湾中学４３００６５）众所周知，形如的数叫做费马敖．当Ｆｎ是素数时，高斯曾证明了正Ｆｎ边形可以仅用圆规与直尺来作图．因此研究费马数是非常有意义的．我们已经知道，若Ｆｎ有质因子Ｐ，则Ｐ的形状为Ｐ＝２ｎ＋１ｋ＋...     

一个三角形不等式的再推广

在三角形中,有一个熟知的不等式命题为命题1 若△ABC的三边的长分别为a、b、c,外接圆半径为R,则 1986年,文[1]在圆内接四边形中,推出了一个类似的命题: 命题2 若圆内接四边形ABCD的四边长长分别为a、b、c、d,圆的半径为R,则 1987年,文[2]将上述命题一般化,进一步证明了命题3 若圆内接n边形A_1A_2…A_n的n边的长分别为a_1、a_2 …、a_n,圆的半径为R,则等号当且仅当A_1A_2……A_n为正n边形时成立。     

正n边形中四边形计数问题

文[1]探究了正n边形中三角形计数问题，受其启发笔者探究了正n边形中四边形计数问题． 引理1圆内接四边形为平行四边形（矩形），当且仅当该四边形的两条对角线为该外接圆的两条直径．     

请不要轻信你的眼睛

我们来研究一个简单而有趣的极限问题 :有一个半径为 1的圆Ｃ(见图1 ) ,在圆Ｃ内作一个内接正三角形及这个三角形的内切圆Ｃ3 ,再在圆Ｃ3 内作一个内接正四边形及这个内接正四边形的内切圆Ｃ4,又在圆Ｃ4内作一个内接正五边形及这个内接正五边形的内接圆Ｃ5 ,……一直进行下去 ,所有内切圆的半径是否趋向于 0 ?如果只凭直觉及简单的推理 ,会认为“半径趋向于 0” ,因为圆的半径在不断地减小 .下面我们将证明 ,半径不会趋于 0 !图 2　半径ｒｎ 与ｒｎ -1的关系由图 2可以看出 ,圆Ｃｎ 的半径ｒｎ 是圆心到圆Ｃｎ -1的内接正ｎ边形的边心距 ,所…     

圆素几何和射影配极

总可以在∧ｎＲ２ｎ上定义两个对称的双线性型（Ωαβ）和（Ｊαβ），它们分别由Ｒ２ｎ的体积元和Ｒ２ｎ上的辛形式确定．特别，当ｎ＝２时，视（Ωαβ）和（Ｊαβ）为Ｐ５中的两个配极，我们证明了：存在这两个配极的绝对形的交集和Ｌｉｅ’ｓ圆的集合之间的一一对应，并且，两个Ｌｉｅ′ｓ圆同向相切当且仅当它们在Ｐ５中的像点关于（Ｊαβ）彼此共轭，此外，Ｐ５中的射影变换Ｇ保持（Ωαβ）不变当且仅当Ｇ＝∧，∈ＰＧＬ（４，Ｒ），又如果Ｇ还保持（Ｊαβ）不变，则必∈ＰＧｓｐ（４）．于是，我们得到圆素几何的射影模式，这个几何空间的运动群是ＰＧｓｐ（４）．     

托勒密定理、三弦定理和四角定理

众所周知,在三角形中,边、角之间存在着许多重要的关系．不难想到,在圆内接四边形中,边、角之间也应该存在着类似的重要关系．如托勒密定理,它表述的是圆内接四边形中边之间存在的重要关系的一种,那么在圆内接四边形中,是否在边、角之间或角之间也存在某种重要的关系呢？答案是肯定的,如文［１］三弦定理．我们探讨了它的来源和证明． 定理 如果Ｐ是一圆上的任意一点,ＰＡ、ＰＢ／Ｃ是该圆上的三条弦,那么： ＰＢｓｉｎ（ＡＰＢ＋ＢＰＣ） ＝ ＰＣｓｉｎ ＡＰＢ＋ＰＡｓｉｎ ＢＰＣ 文［２］指出,这种新的边角之间的积和关系,…     

一类锥体体积的最值问题

一类锥体体积的最值问题湖南洞口一中李迪淼一、定球的内接锥体体积的最大值定理１设Ｐ－Ａ１Ａ２．．．Ａｎ是内接于半径为Ｒ的球面的正ｎ棱锥，记其体积为Ｖ，则其中等号当且仅当正ｎ棱锥侧面与底面夹６的余弦等于因。证不妨设外接球的球心Ｏ在高线ＰＯ１上（参见图１）...     

帕斯卡与数学归纳法

帕斯卡与数学归纳法孙宏安（大连教育学院１１６０２１）数学归纳法是证明关于自然数ｎ的命题Ｐ（ｎ）的一种方法，是人们最早掌握的递归方法．其具体操作是：１°证明Ｐ（１）为真；２°假设Ｐ（ｋ）真，证明Ｐ（ｋ＋１）为真．若１°，２°都得证，则Ｐ（ｎ）对所有自然...     

探求椭圆内接n边形面积的最大值

众所周知：圆内接n边形中以正n边形的面积为最大，那么，椭圆内接n边形面积的最大值是什么呢？是否也有一般规律呢？以下我们从简单情形着手探求．     

具有对称中心的多边形的优美性质

具有对称中心的多边形的优美性质熊曾润（江西赣南师范学院３４１０００）具有对称中心的多边形，不但形状比较优美，并且有不少优美的性质．引理若２ｎ边形Ａ１Ａ２Ａ３．．．Ａ２ｎ具有对称中心Ｏ，则对于空间的任意一点Ｐ，有证明依题设条件可知，顶点Ａｉ与Ａｎ＋ｉ关...     

正多边形的又一个充要条件

正多边形的又一个充要条件李宗奇（甘肃省徽县一中７４２３００）《数学通报》９４年第５期刊登的《正多边形的一个充要条件》一文中指出：如果凸ｎ边形Ａ１Ａ２…Ａｎ，满足：１°Ａ１Ａ２＝Ａ２Ａ３＝…＝ＡｎＡ１那么Ａ１Ａ２…Ａｎ是正ｎ边形．本文给出另一充要条件定...