一道立几习题的应用

高中课本《立体几何》(甲种本)第51面复习参考题A组第10题“三个平面两两相交,有三条交线求证这三条交于一点交互相平行。”(以下简称习题)该题84年被选作高考理科试题之一。其实与该题异曲同工的有这样一道提,“平面四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的四条边上,那么(1)如果EH//FG,则EH//BD,FG//BD;(2)如果EH与FG所在的两条直线相交,则交点在直线BD上。如图1和2”。此题与习题相比,叙述更加具体,学生容易入手,教师应向学生指出两题的一致性,使两题相互映证,     

应加强立几中公理二的教学

这是八四年高考理科数学第四题:已知三个平面两两相交,育三条交线。求证这三条交线交予一点或互相平行。考试结果表明,对这道教材上的原题,多数学生没有掌握,值,值得深究。先看解答(相交部分):设三平面为     

探究正方体中的截面问题

用一平面去截一立体图形所得平面图形,实质上是对空间想象能力和平面基本定理的考查.对作截面的方法有如下两种:(1)利用平面的基本定理:一条直线上有两点在一平面内,则这条直线上所在的点都在这个平面内.两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线.(2)利用线面平行及面面平行的性质定理,去寻找线面平行及面面平行关系,然后根据性质作出交线.笔者将从以下     

空间上“点在线上”的证明

空间中证明“点在线上”主要根据立几的公理二。其证法步骤如下: (1)分析出要证的直线是哪两个平面的交线; (2)再证明要证的点是这两个平面的公共点; (3)由立几公理二,点必在线上。例1 三个平面两两相交,有三条交线,若这三条交线两两相交,则三条交线交于一点。分析:证三线共点可转化为证其中两线的     

借助第三平面作无棱二面角的棱

同学们对二面角历来都感到困难 ,尤其是无棱的二面角 ,更感到无章可循 .本文将从同时与二平面相交的第三平面入手考虑 .因为二平面与第三平面分别有一条相交直线 ,又这两条直线同时在第三平面内 ,其位置关系只有两种情况 :相交与平行 .若两条直线相交 ,由公理2知 ,交点必在二平面的交线上 ,由此可作出棱 ;若两条交线平行 ,由线面平行的判定和性质知 ,两条直线必与二平面的交线平行 ,由此图 1可作出棱 .例 1　底面是直角梯形的四棱锥Ｓ ＡＢＣＤ ,∠ＡＢＣ =90° ,ＳＡ⊥底面ＡＢＣＤ ,ＳＡ =ＡＢ =ＢＣ =1,ＡＤ =12 ,求面ＳＣＤ与面ＳＡＢ所…     

防止平面几何对立体几何学习的负迁移

防止平面几何对立体几何学习的负迁移冯常金（安徽省明光市第三中学２３９４００）１问题在高中立体几何的教学中，我遇到过这样的问题：在讲了直线与平面平行的性质定理（如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行）后，...     

正方体截面的作法

我们知道：过不共线的三点作一多面体的截面,只需作出不共线的三点确定的平面与多面体的各可能相交平面的交线即可;又因为两点确定一直线,故只需作出两相交平面的两公共点即可．正方体截面的作法问题是立体几何中的常见问题,也是同学们学习的难点,本文给出正方体截面的作法两例,供同学们参考．     

多面体的截面作图与计算

多面体的截面作图主要依据平面基本性质(两个公理)与确定平面的基本条件(一个公理及三个推论)。多面体的计算要抓好定位、定形、定量三个主要环节,首先由上述思想方法确定关键点,由关键点确定截面与多面体有关的交线,其次根据题目已知条件与空间点、线、面的关系确定截面(一般为多边形)的基本特征,然后熟练运用平面几何图形的有关性质     

选择题卡

选择题卡笑文三个不同平面α，β，γ两两相交，所得三条交线ａ，ｂ，ｃ的位置关系是（Ａ）三线共点或两两平行（Ｂ）两两平行或两两相交（Ｃ）三线共点或两两异面（Ｄ）两线平行且都与第三线相交分析要确定三直线的位置关系，先确定两直线的位置关系主解设β∩γ＝ａ，ａ...     

截面作图中的推理训练

一个平面和多面体(或旋转体)的各面相交,交线所围成的图形叫作截面。作截面就是作截面的边缘线,边缘线的确定,必须有依据,因此在截面作图中加强推理训练,是一次理论与实践相结合的时机,现     

三圆两两相交的一条性质

性质圆心不共线的三个圆两两相交,所得三条公共弦所在直线交且仅交于一点。证明设AB、CD、EF分别为圆心不共线的三个圆⊙O_1、⊙O_2、⊙O_3的公共弦,设AB、CD(或延长线)相交于P,联结EP(或并延长)交⊙O_1于F_1,交⊙O_2于F_2。由相交弦定理(或割线定理)有PA·PB=PC·PD=PE·PF_1,PA·PB=PE·PF_2,于是得PE·PF_1=PE·PF_2,即有PF_1=PF_2。而F_1、F_2都在EP(或其延长线上),且F_1在⊙O_1,上F_2在⊙O_2上,从而F_1与F_2重合于     

探究正方体中的截面问题

用一平面去截一立体图形所得平面图形，实质上是对空间想象能力和平面基本定理的考查．对作截面的方法有如下两种：（1）利用平面的基本定理：一条直线上有两点在一平面内，则这条直线上所在的点都在这个平面内．两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线．（2）利用线面平行及面面平行的性质定理，去寻找线面平行及面面平行关系，然后根据性质作出交线．笔者将从以下几个方面进行探讨．     

立体几何学习口诀

学好立几并不难 ,空间观念最关键1.点线面体是一家2 ,共筑立几百花园 .点在线面用属于3 ,线在面内用包含4.四个公理是基础5,推证演算巧周旋 .空间之中两直线 ,平行相交和异面6.线线平行同方向 ,等角定理进空间7.判定线和面平行 ,面中找条平行线8.已知线与面平行 ,过线作面找交线9.要证面和面平行 ,面中找出两交线 ,线面平行若成立 ,面面平行不用看10 .已知面与面平行 ,线面平行是必然11;若与三面都相交 ,则得两条平行线12 .判定线和面垂直 ,线垂面中两交线13 .两线垂直同一面 ,相互平行共伸展14 .两面垂直同一线 ,一面平行另一面15.要让面和…     

平面分割空间问题

我们先来看三个平面的情况： 这样,我们有结论：如果三个平面两两相交于三条直线,那么这三条直线或者互相平行或者相交于一点,且三个平面最多能分割空间成8个区域．     

圆幂定理及其应用

圆幂定理,实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理,共包含如正三个定理(1)相交弦定理;(2)割线定理;(3)切割线定理.如果把以上三定理按交点在圆内和圆外进行讨论,则交点在圆内:相交弦定理;交点在圆外;割线定理、切割线定理、切线长定理.     

谈平行概念——中学数学笔谈之一

谈平行概念——中学数学笔谈之一路见可（武汉大学数学系４３００７２）在初中平面几何教材中就已明确定义：“在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线”，那还有什么可谈的呢？且慢，我们来看下面这个定理：“如果两直线都和第三条直线平行，那么这两直线也互相平行...     

逆推法巧证空间垂直关系

空间垂直问题通常涉及的线面较多,关系复杂,直接证明有一定难度.但是,如果反其道而行之,巧用逆推法,却能有效地找出解题思路.1.主要定理立体几何中与垂直相关的定理很多,但最关键最核心的定理有四个.(1)直线与平而垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面(线线垂直(→)线而垂直)     

立体几何中“有关公理问题”的商榷

1　问题的提出无论是老教材还是新教材 ,普通高级中学的立体几何课程里总有以下四条公理 :直线在平面内公理 (公理 1) ;两个平面相交时的交线公理 (公理 2 ) ;不共线三点共面公理 (公理 3) ;三线平行公理 (公理4 ) .其中公理 3的推论 3是 :经过两条平行直线 ,有且只有一个平面 ,对于该推论的证明 ,我们已经知道的有三种 .图 1　平行直线如图 1所示 ,已知 :空间两条直线a和b .且a∥b .求证 :经过直线a和b有且只有一个平面 .证法 1　存在性　根据平面几何的知识 ,平面内不重合的两条直线 ,不相交就平行 ,所以经过互相平行的两条直线a和b ,必定…     

圆幂定理图形中的优美性质

<正>相交弦定理、割线定理、切割线定理统称为圆幂定理;它反映两条相交直线与圆的位置关系,其本质是与比例线段有关.本文给出圆幂定理图形中的其他性质,与读者共同分享.1相交弦定理图形中的性质性质1如图1,⊙O的两条弦AB、CD相交圆内一点P,PE、PF、PG、PH分别是⊙PAC、⊙PBD、⊙PAD、⊙PBC的直径,则PE⊥BD、     

“几何学上的哥白尼”——罗巴切夫斯基

<正>一、试证第五公设与罗氏几何的创立欧几里得的《几何原本》问世以后,人们发现,欧氏第5公设叙述冗长,不像其他公设那么简明,很像是一个定理.于是数学家们想证明第5公设,希望从欧氏的其他公设和公理出发,推导出第5公设来.《几何原本》的第5公设Ⅴ:(在一平面上)若一直线与二直线相交,且若同侧所交两内角之和小于两直角,则两直线无限延长后必相交于该侧的一点(如图1).