关于序数的一个定义

1.引言在本文中我們提出序数的一种定义。这一定义有两个优点,即比較簡单同时又是把自然数作为具有下述两性貭的最小集合A的元素定义的明显推广: (ⅰ) 空集0∈A且 (ⅱ) 若x∈A,則x+1∈A(此处x+1=xU{x})。通过添加一个第三条件,首先定义了序数集合Q,然后定义序数为Q的元素或Q自身。正如上述自然数定义結合着通常的归納原則一样,我們的定义結合着超穷归納原則。对于序数性貭的証明,这是仅有的最为有力而且直观的工具,其合用性之由定义得出大大地簡化了理論的发展。不过,看来我們的定义只在某些类型的集論中方是可能的,即只在許可存在非常大的集合的集論中方为可能。根据这个理由,我們先对我們在其中工作的公理系統作一个簡短的描述。以后在第6中再比較充分地討論这一系統及其与旁的系統的关系。     

綫段的长度

一、引言在这篇文章里,准备比較严謹地談談綫段的长度問題。从几何基础的观点来看,必須有了結合公理,順序公理和合同公理的基础,才能引进連續公理,也就是阿基米德(Archimeder)公理和康脫尔(Cautor)公理或等价的戴德金(Dedikind)公理,有了連續公理才能說清楚綫段长度的概念。在这里,我們假定讀者已經熟悉前三組公理。不过,即使不熟悉前三組公理看这篇文章,也不致发生什么困难。为了叙述上的簡单,我們采用了二进小数,并在第二节中簡要地介紹了一下二进小数。采用了二进小数对于平分一个綫段来說,不用平行公理就能作到。如     

代数方程根的几何表示

本文目的在于較系統地介紹代数方程的几何解法。所谓几何解法乃是指借助于結构簡单的几何图形来表示代数方程的根。 1.复系数代数方程首先我們考虑如下n次复系数代数方程     

命題演算的公理系統

<正> §1. 問題的提出 對於傳統的二值邏輯系統(以後叫做系統M)所作的公理系統,優點最多的可說是Hilbert-Bernays[1]Ⅰ册66頁上所载的(一名Munster派公理,以後即用此名).這個公理系統共有兩個模式(又名原則)及五组公理,模式即代入原則     

“抽屜原则”及它的一些应用

在这篇短文里,我們向讀者介紹一个在数論中用到的原則,即所謂“抽屜原則”;应用这个原則,我們先証明某些用有理数去迫近实数的定理;再进一步証明一种不定方程——貝尔方程——的解的存在,並介紹一下与貝尔方程     

伊凡諾夫师范学院附屬青年数学学校

§1.历史概述我们的青年数学学校(簡称青数学校)是从1959年9月1日創办的。开办青数学校以前經过了1958和1959年的长期筹备。起初,我們的想法是学生人数不多,課程大綱可以相当地灵活、甚至曾把它称为“数学訓练班”。那时曾确定尽量讲授数学和生活的广泛联系,特别是讲授現代数学的各个新的分支,没有打算复习中学大綱的內容,而是尽量給学生介紹現代数学。最初,我們的几个不大的小組就是按这种計划进行工作的。后来发現“训练班”的組織原則需要作些修正补充,使它的工作性质更接近于普通中学,需要有严格的科目,要有几个教师参与学生的作业,在整个工     

最佳控制的数学問題(Ⅱ)

本文第一部分已經引用动态規划方法討論离散和連續最佳控制的数学問題。这一部分的目的在于,闡明解决連續最佳控制数学問題的另一重要方法,即包特約金等人建立的最佳过渡过程理論,現时称为“最大原則”。这个原則給出广泛的一类最佳控制应該滿足的必要条件,此条件是以若干微分方程和一函数取极值的形式表示的。已經証明,对于綫性系统它是这类最佳控制的充分条件。最大原則在討論离散的最佳控制方面,至今只获得初步結果,在此不作說明。 (五)一类最佳控制問題的变換 我們考虑一个二阶系統,其运动方程是其中x_0,x_1是系統的状态参量;(?)_0≡dx_0/dt,(?)_1≡dx_1/dt(不同于以前的定义x_1≡dx/dt);v是控制参量,其限制条件是φ(v)≤0。系統的控制准則是     

关于九年一貫制数学教学改革方案中的两个问题

我們制訂的九年一貫制数学教学改革方案初稿,在中国数学会第二次代表大会上提出以后,引起了广泛的討論。关于数学教学体系问题,不少同志对“以函数为綱”,“数形結合”这两个原則展开了討論。我們愿意进一步阐明对这两个原則的看法,提出商榷,参加讨论。一、关于“以函数为網”新体系以函数为綱,把旧的算术、代数、几何、三角、解析几何的材料結合在一个系統之中。从小学算术开始就培养学生的函数及运动变化的观点。过去初中代数部分,現在也用函数的观点加以研究。原高中代数中的初等函数、三角和解析几何的一些知識按数形結合的原則合为一門初等函数課。在初等函数中系     

談談“哥德巴赫”問題

§1.前言在这簡短文里,我們向讀者介绍一个著名的数論問題,郎所謂“哥德巴赫”問題,为了避免引用較高深的数学工具,我們除了談談这一問題的发展历史及其成果外,只是十分簡单地談一下各种处理方法。其实本文所写的东西在有关的数論书籍中都有記載,作者只是加以整理与归納,以便于讀者更容易地了解这一問題。至于欲詳細了解这方面工作的讀者,請参看华罗庚     

关于通过典型范例复习基础知識及解題方法

复习課的教学是根据复习的目的来决定的。一般來說,复习的目的是使学生系統而牢固的掌握已学过的知識;同吋适当的加深对知識的理解提高解題能力,也就是說一方面要学生巩固已經学过的概念如定义公理、定理、公式;另一方面要加强学生的应用能力。但是采取怎样的复习方式,才能在有限的时間內发揮复习课最大的效果,这是一个值得研究的問題。过去我們会采用了首先对基础知識作系統的归納、概括,然后再安排一些有关的范例。当然,这种方法在形式上是无可非議的。因为沒有概括就难以使学生把所学过的知識系統化;沒有范例的讲解,就难以巩固已学过的知識及提高学生的解題能力。但是这种方法的前半部往往不受学生欢迎,有时甚至觉得枯燥乏味,以致学生的思想不易集中从而印象不深。根据我在教学实践中的摸索,我认为通过典型的范例来概括基础知識,不仅是可能,而且是行之有效的。如果我們有意義地通过典型范例来复习基本概     

关于数理邏輯的一些研究

<正> 在本文中我們对算法論及递归函数論中若干項目作了一些研究,共分五节.第一节是算法簡化,我們指出的正規算法不够簡单原始,建議用“首尾算法”来代替它,后者是使用不可兼的首尾規則表且采用自然結束的約定的. 第二节引入一种換中演算,它是結合演算的推广,我們指出关于結合演算所得的結論几乎全可以推广到換中演算来,并对一些未曾解决的問題給以解决.     

線代数学的基本概念

对於所謂“初等”数学来說,还保存着来自希腊科学的,一方面是代数方法而另一方面又是直观的几何概念的这种彼此分裂的特征。誠然,在解几何問題时常常要用到某些代数方法,但是在初等数学中,沒有把几何問題归結为代数問題的一般方法,同样也沒有对代数公式和代数关系式作几何解釋的一般方法。这样的一般方法中最簡單的是在空間中引入坐标系。这就使我們有可能在空間中的每一个点与三个实数x,y,z的数組之間建立起对应,与量x,y,z有关的每一个方程可以解釋为空間中的某一个面等等。这样一来,坐标法首先使我們能按照完全确定的法則,系統地利用代数以解决几何問題,分类和討論各种不同的几何形象(曲線,曲面等),其次使我們有可能按照非常一般的法則,对各种不同的代数关系式作几何解釋,例如,任何一个線性方程     

改革立体几何教学的一点体会

在教学改革运动中,我們对立体几何的教学进行了改革。現在把我們的初步体会写在下面,请同志們指正。 1.大胆改革教材是提高效率提高質量的先决条件原教材是用公理法,以直接度量的方法推出长方体的体积计算公式,然后在这个基础上逐一地推出棱柱、棱錐和棱台的体积計算公式来。按照这个系統,讲授既費时間,学生又不易接受。因此我們用增加公理数目的办法来簡化証明。这样既节約了时間,又保証了学生的学习貭量。公理法是数学基础中的重要內容之一,高等数学中它也有重要的应用,在中学給予适当地訓练是必要     

排隊论簡介

1.在我們日常經济生活中,經常会出現这样的事情:有一个“服务站”,有許多“顾客”到来須要受到服务,被服务完毕之后即行离去。假若“顾客”到达时,“服务站”是空閑的,則该“顾客”立刻受到接待;但若到达时服务站正在为别的“顾客”服务,則該“顾客”或者离去,或者停下来等待。比如对車站售票来說,“服务站”是售票窗口,而“顾客”是买票者;对工厂机器維护来說,“服务站”是检修队,“顾客”是发生障碍的机器;对电話通訊来說,“服务站”是电話綫路,而“顾客”則是由打电話的人所发生的呼喚。前面两个例子就是“顾客”可以等待的情况(或称“等待系統”);后一个例子就是“顾客”需要离去的情况(或称“消失系統”)。在所說的这些事件中,常会发生这样情形:或者是服务站机构     

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极限概念是整个数学中最重要的概念之一,它也是学生难以接受的概念之一。不但如此,困难还表現在下面的問題上:“在学生的現有知識水平上按什么样的严格程度来給出极限的概念”?簡单地說来,这是好的教师不必把該說的都全部說出来也能把它讲好的概念之一。在《委員会报告》中极限概念是在《中学九年級的数学》中第一次遇到的,因此让我們从研究級数     

应用矩陣运算推导球面三角基本公式

在常見的讲述球面三角学的书籍里,一般都用投影法或平面三角方法导出余弦定理、正弦定理等球面三角基本公式。华罗庚先生在他所著“高等数学引論”第一卷第一分册中,則应用了矢量分析方法。这里,給出另一种較为簡洁的方法,即应用矩陣运算来推导球面三角基本公式。在未导出这些公式之前,先簡单介紹一下“旋轉矩陣”的概念和基水性貭。考虑空間直角坐标系的旋轉变換。設原坐标系(O;x,y,z)繞x軸沿正方向(逆时針)旋轉角α后变換为新坐标系(ο;ξ,η,ζ)(如图1),則由解析几何学便知,新旧坐标系之間有如下关系:     

小子样統計推断理論簡述

数理統計学的中心任务之一可以用下面这句話來描述:“根据一个或几个子样中的观察值,对母体的統計性貭进行概率性的判断”、概率性的判断也可說是推测性的判断,这种判断的可靠性沒有百分之百。推測性的判断簡称推断。本文的目的就是要簡单介紹工业技术中常用的三     

中学中解线性規划問題的图解方法

綫性規划是数学中最近10-15年来新的方向之一,在綫性規划中所应用的方法可以解决許多在国民經济(工业、农业、运輸业和其他行业)中有重大意义的問題。綫性規划的方法是那样的簡单,以致使每个中学生都能理解。我們觉得,线性規划的某些方法应該向七年級和高年級的学生們介紹。我們这篇文章的目的是交流一下中学中讲授线性規划在教学方法方面的一些經驗。     

多边形的面积

一、引言本文是前一篇文章:綫段的长度(发表于数学通报九月号)的續篇,我們假定讀者已读过那一篇文章。在本文中我們将事先选定一个长度,換言之,对于每一个綫段,我們总假定它的长度已經测量好了。此外,为了叙述上的簡便,我們不严格区分“綫段”和“綫段的长度”这两概念。例如:对于“三角形的高”这概念,有时表示一綫段,有时則代表这綫段的长度。平面上的一个多边形,如果它的边所組成的封閉折綫正好构成一个約当曲綫,則称为簡单多边形。本文中所討論的多边形,假定都是簡单多边形,以后不另作声明。多边形的面积是多边形的正实值函数,它具有合同不变性和可加性,即这函数应滿足下列两条件:ⅰ)合同的多边形具有相同的面积;ⅱ)如果一个多边形是由两个(或若干个)多边形組成的,則它的面积等于組成它的各边形的面积之和。在一般中学教科书中,总是把下面这条件添加到多边形面积的定义中去:ⅲ)以单位綫段为一边的正方     

数学競賽委員会举行了第三次數学通俗講演会

1956年3月11日下午,數学競賽委員会举行了第三次數学通俗講演会,請中國科学院学部委員苏步青講“非歐幾何学。”苏步青先生首先講了非歐幾何的產生。他說:二千多年前,希腊數学家歐幾里得總結了在他之前的一些數学研究成果,用当時認为最科学的方法編寫了“幾何原本”,这本書的內容和現在中学的幾何課本大致相同,在这本書里,歐幾里得引入了第五公設,在他之後的很多數学家都想証明它,但是都沒有成功,後來罗巴切夫斯基提出了新的理論,否定了第五公設,於是,罗氏就在他的定理的基礎上建立了非歐几何学,接着,他講了非欧幾何学和歐氏幾何学的關係,最後,他簡單的介紹了幾何学基礎,並詳尽地說明了公理系統。