随机动力系统中的概率密度演化方程及其研究进展

从概率密度演化的基本思想出发,阐述了概率密度演化方程的历史、进展与应用.文中首先剖析和澄清了概率守恒原理的物理意义,论述了概率守恒原理的随机事件描述和状态空间描述,并由此阐明了概率密度演化与系统物理演化的内在联系, 即:系统的物理状态演化构成了概率密度演化的内在机制. 在此基础上,结合概率守恒原理的两类描述以及系统状态的物理演化方程,以与历史上不同的方式,重新推导了经典概率密度演化方程,包括Liouville方程、FPK方程和Dostupov-Pugachev方程,进一步阐明了这些方程的物理意义, 以及它们不能降阶的原因.结合概率守恒原理的随机事件描述和解耦的系统物理方程,导出了广义概率密度演化方程. 分析了广义概率密度演化方程的物理意义.以非线性结构随机反应的概率密度演化分析为例,展示了概率密度演化理论的应用前景. 最后,指出了需要进一步研究的问题.      

随机结构非线性动力响应的概率密度演化分析

提出了随机结构非线性动力响应分析的概率密度演化方法．根据结构动力响应的随机状态方程，利用概率守恒原理，建立了随机结构非线性动力响应的概率密度演化方程．结合Newmark-Beta时程积分方法与Lax-Wendroff差分格式，提出了概率密度演化方程的数值分析方法．通过与Monte Carlo分析方法对比，表明所给出的概率密度演化方法具有良好的计算精度和较小的计算工作量．研究表明：随机结构非线性动力响应概率密度具有典型的演化特征，随着时间增长，概率密度曲线分布趋于复杂．     

结构非线性随机地震反应的概率密度演化方法

运用随机过程的正交展开方法,将地震动加速度过程展开为由少量独立随机变量所调制的确定性函数的线性组合形式.结合概率密度演化理论,建立了结构非线性随机地震反应分析的密度演化方法.以滞回结构非线性反应分析为例,考察了一个具有10个自由度的剪切型框架结构的随机地震反应分析问题.分析表明,结构非线性地震反应具有明显的随机涨落现象,且概率密度曲线与常见的正态等分布相差甚远.     

非均布随机参数结构非线性响应的概率密度演化

首先考察了概率密度演化理论中的点演化和群演化与概率空间剖分的关系. 继而,讨论了点集筛选的基本准则. 在此基础上推广了点集偏差的概念,对非均匀、非正态的一般多维分布,提出了广义F 偏差（GF 偏差）的概念,避免了偏差计算的NP 难解问题. 探索了GF 偏差与EF 偏差的关系. 以GF 偏差最小化为准则,建议了概率空间最优剖分与点集重整的新策略. 结果表明,上述方法能够处理包含多达数10 个随机变量的结构动力响应概率密度演化分析问题. 最后,指出了需要进一步研究的问题.      

三类随机系统广义概率密度演化方程的解析解

近年来逐步发展的概率密度演化方法理论为随机动力系统的分析与控制研究提供了新的途径.过去若干年来,已经发展了一系列数值方法如有限差分法、无网格法用于求解广义概率密度演化方程.但是,针对典型随机系统,关于这一方程解析解尚比较缺乏.本文以李群方法为工具,研究给出了Van der Pol振子、Riccati方程和Helmholtz振子3类典型随机非线性系统的广义概率密度演化方程解析解.这些结果,不仅可以作为检验求解广义概率密度演化方程的数值方法结果正确性的判别依据,也为概率密度演化理论的进一步深入研究提供了若干分析实例.      

几类非线性系统平稳随机响应的概率密度

本文考虑非保守力依赖于系统能量的非线性系统,构造了四类这种系统对白噪声外激与/或参激的平稳响应的精确概率密度,讨论了存在平稳响应的条件。同时指出,迄今为止已有的非线性系统平稳随机响应的精确解皆属本文给出一般结果的特殊情形。最后还给出几个例子说明一般结果。     

基于概率密度演化方法的随机结构可靠度分析

随机结构反应的概率密度演化方法能够给出随机荷载作用下随机结构反应的概率密度函数。在此基础上,根据给定的正常使用位移限值要求,直接进行积分给出了随机结构的正常使用可靠度及其失效概率。在实例分析中,与一类情况下的精确解答及基于反应正态分布假定的二阶矩方法分析结果进行了比较。研究表明：基于密度演化方法的随机结构可靠度分析具有很高的精度,而二阶矩方法的可靠度分析结果则往往具有一定的偏差,在失效概率较低时可能给出虚假的失效概率。     

随机荷载作用下随机结构线性反应的概率密度演化分析

提出了随机荷载作用下随机结构线性静力反应的概率密度演化方法.基于力学平衡方程,导出了随机荷载作用下随机结构反应的状态方程,进而引入扩展状态向量,建立了随机荷载作用下的随机结构静力反应的概率密度演化方程,讨论了其差分数值求解技术.进行了八层框架结构在随机荷载作用下的反应的算例分析.在单一随机参数结构的情况下,与随机结构反应的精确解答进行了对比;对于多个随机参数结构随机反应,则与MonteCarlo分析结果进行了比较.研究表明,本文提出的方法具有很高的精度及良好的实用性.     

结构随机反应概率密度演化分析的数论选点法

密度演化方法可以直接获取结构的线性和非线性响应概率密度函数解答及其演化过程。当结构参数与激励中含有多个随机变量时，在多维随机变量空间中的离散代表点选点规则对密度演化分析的精度和效率至关重要。基于高维数值积分的数论方法，建议了多维随机变量空间的数论选点方法。利用多维随机变量空间的联合概率密度函数的球对称性或近似辐射衰减性质，对数论方法给出的单位超立方体中的分布点集进行筛选，可大幅度减少选点数目，从而将具有多个随机变量的结构随机响应分析问题计算工作量降低到与单一随机变量结构随机响应分析问题相当的水平。     

Adaptive explicit Magnus numerical method for nonlinear dynamical systems

Based on the new explicit Magnus expansion developed for nonlinear equations defined on a matrix Lie group, an efficient numerical method is proposed for nonlinear dynamical systems. To improve computational efficiency, the integration step size can be adaptively controlled. Validity and effectiveness of the method are shown by application to several nonlinear dynamical systems including the Duffing system, the van der Pol system with strong stiffness, and the nonlinear Hamiltonian pendulum system.     

非线性随机结构动力可靠度的密度演化方法

建议了一类新的非线性随机结构动力可靠度分析方法。基于非线性随机结构反应分析的概率密度演化方法,根据首次超越破坏准则对概率密度演化方程施加相应的边界条件,求解带有初、边值条件的概率密度演化方程,可以给出非线性随机结构的动力可靠度。研究了数值计算技术,建议了具有自适应功能的TVD差分格式。以具有双线型恢复力性质的8层框架结构为例进行了地震作用下的动力可靠度分析,与随机模拟结果的比较表明,所建议的方法具有较高的精度和效率。     

结构动力非线性随机反应的联合概率分布

在密度演化理论基本思想的框架下,对广义密度 演化方程进行推广,导出了结构不同反应量的联合概率密度函数演化方程. 结合确定性结构 非线性动力反应分析与二维偏微分方程求解的有限差分方法,可以获取结构不同反应量的联 合概率密度函数的数值解答. 分析实例表明：结构反应的联合概率密度函数呈丘陵状不规则 分布,而不同反应量之间的相关系数是时变的.     

Construction of the stationary probability density for a family of SDOF strongly non-linear stochastic second-order dynamical systems

In this paper, a new procedure is proposed to construct the stationary probability density for a family of the single-degree-of-freedom (SDOF) strongly non-linear stochastic second-order dynamical systems subjected to parametric and/or external Gaussian white noises. First of all, the Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) equation associated with the original Itô stochastic differential equation is replaced by the equivalent FPK equation by adding arbitrary anti-symmetric diffusion coefficient. Then, a family of invariant measures depending on the arbitrary anti-symmetric diffusion coefficient and another arbitrary function is constructed by vanishing the probability flows in two directions. Finally, the drift vector associated with a family of Itô stochastic differential equations is deduced by giving, a priori, these two arbitrary functions. It is shown that the known invariant measures dependent on energy are only the special cases of invariant measures presented in this paper, while some other classes of invariant measures are independent of energy. Thus, the invariant measures constructed in this paper are those belonging to the most general class of the SDOF strongly non-linear stochastic second-order dynamical systems so far.     

Stochastic averaging using elliptic functions to study nonlinear stochastic systems

In this paper, a new scheme of stochastic averaging using elliptic functions is presented that approximates nonlinear dynamical systems with strong cubic nonlinearities in the presence of noise by a set of Itô differential equations. This is an extension of some recent results presented in deterministic dynamical systems. The second order nonlinear differential equation that is examined in this work can be expressed as % MathType!MTEF!2!1!+-% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWexLMBb50ujb% qeguuDJXwAKbacfiGaf8hEaGNbamaacqGHRaWkcaWGJbadcaaIXaGc% cqWF4baEcqGHRaWkcaWGJbadcaaIZaGccqWF4baEdaahaaWcbeqaai% aaiodaaaGccqGHRaWkcqaH1oqzcaWGMbGaaiikaiab-Hha4jaacYca% cqWFGaaicuWF4baEgaGaaiaacMcacqGHRaWkcqaH1oqzdaahaaWcbe% qaaiaaigdacaGGVaGaaGOmaaaaruWrL9MCNLwyaGGbcOGaa43zaiaa% cIcacqWF4baEcaGGSaGae8hiaaIaf8hEaGNbaiaacaGGSaGae8hiaa% IaeqOVdGNaaeikaiaadshacaqGPaGaaiykaiabg2da9iaaicdaaaa!645D!\[\ddot x + c1x + c3x^3 + \varepsilon f(x, \dot x) + \varepsilon ^{1/2} g(x, \dot x, \xi {\text{(}}t{\text{)}}) = 0\] where c ₁ and c ₃ are given constants, (t) is stationary stochastic process with zero mean and 1 is a small parameter. This method involves the laborious manipulation of Jacobian elliptic functions such as cn, dn and sn rather than the usual trigonometric functions. The use of a symbolic language such as Mathematica reduces the computational effort and allows us to express the results in a convenient form. The resulting equations are Markov approximations of amplitude and phase involving integrals of elliptic functions. Finally, this method was applied to study some standard second order systems.     

基于state-space-split法的滞回非线性系统随机动力响应分析

采用SSS(state-space-split)法,建立了引入Bouc-Wen滞回模型的杜芬非线性系统在高斯白噪声激励下的概率密度函数(PDF)的近似求解方法,分析了其随机动力响应变化规律.首先,将Bouc-Wen滞回模型引入杜芬非线性系统,分别考虑非线性系统中的几何非线性和材料非线性对动力响应的影响.随后,对该模型进...     

基于概率密度演化的输电塔-线体系抗风可靠性分析

以三线两塔直线段输电塔-线体系为工程对象,应用有限元数值模拟,建立了基于概率密度演化的输电塔-线体系抗风可靠性分析方法。首先,应用谱表示-降维方法模拟结构脉动风场,生成风荷载的代表性样本集合。然后,结合概率密度演化理论,分析了输电塔-线体系考虑气弹效应的随机动力反应。最后,应用等价极值思想构建了风荷载作用下输电塔-线体系失效准则,进而对输电塔-线体系的抗风可靠性进行精细化分析。本文结合谱表示-降维方法与概率密度演化理论,实现了仅用较少数量的代表性样本来精细地分析结构的抗风可靠性,为工程实践提供参考。