关于三角形的重心

我们把不共线的三点A、B、C组成的图形叫做零维三角形,不共线的三点A、B、C、及线段AB、BC、CA组成的图形叫做一维三角形,不共线的三点A、B、C,三线段AB、BC、CA及∠BAC,∠CBA,∠ACB的内部的公共部分叫做二维三角形。零维,一维,和二维三角     

关于三角形重心的探究

<正>1.向量工具显神威向量的引入给中学数学教育送来了春风,带来了新的活力,我们首先利用向量这一先进的工具探究关于三角形重心的一个命题的新的证法.     

18 三角形重心的发现

１８　三角形重心的发现３０１８００天津市宝坻县霍各庄中学刘建国主问句（主提示）：画一个图，看一看，量一量，发现了什么没有？这样，关于××××（课题），我们可以提出怎样一个猜想？它可以化归到怎样一个问题？要证明这结论只要去证明什么？模式：观察实验─—猜...     

三角形重心的几条性质

三角形的重心除了大家所熟知的一些性质之外，还有以下几条性质．性质1以三角形重心与顶点所连线段为边可以构成三角形，且该三角形面积是原三角形面积的三分之一．证明如图1，／IABC的重心为G，延长CG至E，使GE——CG，设GE与AB交于H，ffiIJD是AB中点．儿吁对是平行四边形，BG—AE．这样rtAEG就是符合命题条件的三角形．推论以三角形重心与各边中点的连线为边可以构成三角形，且该三角形面积是原三角形面积的十二分之一．性质2过三角形重心任作一直线将三角形分成一个三角形和一个四边形，分别记＿。＿。。＿，＿、。。。＿，4…     

三角形重心向量性质的进一步推广

文[1]给出了三角形重心的一个向量性质：     

三角形重心向量性质的进一步推广

文[1]给出了三角形重心的一个向量性质:命题1已知G是△ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且AM=x AB,AN=y AC,则图2命题2图1x 1y=3.并把上述结论推广到三棱锥:命题2过三棱锥P-ABC的重心G的平面分别与三条侧棱相交于A1,B1,C1,且PA1=x PA,PB1=yPB,PC1=z PC,则1x 1y 1z=4.文[2]将上述结论推广到空间任意有限点的重心上,得到:图3定理1图定理1设P,A1,A2,…,An是空间任意n 1个点,G是这n 1个点构成的有限点集V(V={P,A1,A2,…,An})的重心,平面π过G且与直线PAi(i=1,2,…,n)相交于Bi,P不在平面π上,且有PBi=λi…     

再议三角形重心性质的空间拓广

文[1]根据三角形重心向量的一个性质给出了其在空间中的拓广，受此启发，经笔者研究发现了三角形的又一个重心向量性质及在空间中的拓广．     

两个三角形重心相同的充要条件

定理:在△ABC中,A1、B1、C1分别是直线BC、CQ、AB上的点,且有→AC1=→λC1B,→BA1=μ→A2C,→CB1=t→B1A,则△A1 B1 C1与△ABC有相同重心的充要条件是λ=μ=t,其中λ、μ、t均是不为-1的实数.……     

两个三角形重心相同的充要条件

在△ABC中，A1，B1，C1分别是直线BC，CA，AB上的点，且满足： AC1^→=λC1B^→,BA1^→=μA1C^→,CB1^→=tB1A^→,其中λ，μ，t均不为-1.     

三角形重心的向量形式及应用

定理 1　点O是三角形ABC的重心的充要条件是OA→ +OB→ +OC→ =0 .证　必要性 :若O是三角形ABC的重心 ,则OA→ =23(12 CB→ +BA→ ) =13 CB→ +23 BA→ ,OB→ =23(12 AC→ +CB→) =13 AC→ +23 CB→ ,OC→ =23(12 BA→ +AC→ ) =13 BA→ +23 AC→ ,故OA→ +OB→ +OC→ =CB→ +BA→ +AC→ =0充分性 :若OA→ +OB→ +OC→ =0 ,由向量加法原理 ,知过O且与OA→ +OB→ 平行的直线必平分线段AB ,而OA→ +OB→ 与OC→ 是共线的 ,故直线OC平分线段AB .同理 ,可以证明直线OA ,OB分别平分BC ,AC .从而知点O是三角…     

再议三角形重心性质的空间拓广

文[1]根据三角形重心向量的一个性质给出了其在空间中的拓广,受此启发,经笔者研究发现了三角形的又一个重心向量性质及在空间中的拓广.     

三角形重心向量性质的再推广

本刊文〔l]给出了三角形的以下性质.命题1已知G是沪△八BC的重心，过G作直线与月刀，AC两边分别交于M，N两点，且天府二x庙，丽二y劝，则生 生=3. Xy并把上述结论推广到三梭锥，得到图1命题l图命题2过三棱锥P- ABC的重心G的平面分别与三条侧棱相交于A，，B，，且瓦寸=x或，再可     

三角形重心的两条性质的推广

文［１］给出了三角形重心的几条性质,现将前两条性质推广到空间四面体中．性质１以四面体重心与顶点的连线段为棱可构成四面体,且该四面体的体积是原四面体体积的１４．证明如图１,设Ｇ是四面体Ｓ—ＡＢＣ的重心,Ｏ１、Ｏ２分别为△ＡＢＣ、△ＳＡＣ的重心,Ｄ为ＡＣ...     

一个三角形重心向量性质的空间拓广

利用平面向量的知识,三角形有以下性质: 命题1如图1,已知点G是△ABC的重心,过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点,且→AM=x→AB,→AN=y→AC,则1/x+1/y=3.     

一个三角形重心向量性质的空间拓广

利用平面向量的知识,三角形有以下性质:图1[1]如图1,已知点G是△ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且AM=xAB,AN=y AC,则1x 1y=3.证∵点G是△ABC的重心,∴GA GB GC=0,∴-AG (AB-AG) (AC-AG)=0,∴AG=13(AB AC).又∵M,N,G三点共线(A不在直线MN上),∴AG=λAM μAN(且     

“重心”在手中 “五心”皆成功——三角形“五心”的向量统一表示

众所周知,点P是△ABC重心的充要条件是→(PA)+→(PB)+→(PC)=0.下面本文将从三角形重心出发,推出三角形“五心”的向量的两种统一表示方法[1].1 问题提出先请看下列经常出现在高考和竞赛中的向量问题:问题1 设△ABC内一点P满足m→(PA)+n→(PB)+l→(PC)=0(m,n,l为正常数),分别用Sa、Sb、Sc表示△BPC、△CPA、△APB的面积(下同),求Sa∶Sb∶Sc.分析 所给的向量等式与三角形的重心向量等式很相似,是否可以将它转化为三角形的重心呢?     

三角形与三棱锥的重心向量性质的逆定理

文[1]讨论了三角形重心的一个向量性质，并将其推广至三棱锥中     

三角形与三棱锥的重心向量性质的逆定理

文[1]讨论了三角形重心的一个向量性质,并将其推广至三棱锥中.命题1过△A0A1A2的重心G作直线与A0A1,A0A2分别交于B1,B2两点,且A0B1=λ1A0A1,A0A2=λ2A0A2(λ1,λ2为非零实数),则有1λ1 1λ2=3.命题2过三棱锥A0-A1A2A3的重心G作平面与侧棱A0Ai交于点Bi,且A0Bi=iλA0Ai(iλ≠0,i=