考点24 双曲线

1.(全国卷,6)已知双曲线x62-y32=1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF1⊥x轴,则F1到直线F2M的距离为().(A)356(B)566(C)56(D)652.(全国卷,9)已知双曲线x2-y22=1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF1·MF2=0,则点M到x轴的距离为().(A)34(B)35(C)233(D)33.(福建卷,10)已知F1、F2是双曲线x2a2-yb22=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是().(A)4+23(B)3-1(C)32+1(D)3+14.(上海卷,5)若双曲线的渐近线方程为y=±3x,它的一个焦点是(10,0),则双曲线的方程是.5.(山东卷,14)设双…     

建议学生勤进行解题回顾

文[1]叶万海同学利用双曲线的第一定义较为巧妙地解决了下题： 如图1,已知F1,F2是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0）的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点P在双曲线上,则双曲线的离心率是（ ）     

双曲线定义的变式

本刊文 [1]介绍了椭圆定义的几个变式 ,它为同学们学习椭圆拓宽了知识空间 .那么 ,双曲线定义的变式又如何呢 ?本文来研究这个问题 .为了讨论方便 ,先将课本对双曲线方程的推导过程摘录如下 :以两定点F1,F2 所在直线为x轴 ,线段F1F2中点为坐标原点 ,建立直角坐标系 ,设M (x ,y)是双曲线上任一点 ,F1(-c ,0 ) ,F2 (c,0 ) (c>a) ,则由双曲线定义得|MF1| - |MF2 | =± 2a (1)而 |MF1| =(x +c) 2 + y2 (2 )|MF2 | =(x -c) 2 + y2 (3)故得(x +c) 2 + y2 - (x -c) 2 + y2 =± 2a (4)移项平方得cx -a2 =±a (x -c) 2 + y2 (5 )再平方整理得(c…     

判断直线与双曲线位置关系的两种方法

文 [1]给出了判断直线与双曲线位置关系的两种方法 ,笔者读后深受启发 ,经过类比研究 ,笔者得到了判断直线与双曲线位置关系的两种方法 ,作为直线与圆锥曲线位置关系问题的一个补充 .　　判断方法 1　设双曲线E :x2a2 - y2b2 =1,E的两个焦点为F1,F2 ,直线L :Ax +By +C =0 (A2 +B2≠ 0 ) ,且L不是E的渐近线 ,则有 :1)若A =0 ,L与E相交 ;2 )若A≠ 0 ,点M是直线L上使得‖MF1| -|MF2 ‖最大的点 .当‖MF1| - |MF2 ‖ <2a时 ,L与E相离 ;当‖MF1| - |MF2 ‖ =2a时 ,L与E相切 ;当‖MF1| - |MF2 ‖ >2a时 ,L与E相交 .为证明判断方法…     

由一道期末试题说开去

例1 (2014鄞州区期末-16)已知双曲线x2/a2-y2/b2=1(a＞0,b＞0)的右焦点为F,过F的直线l交双曲线的渐近线于A、B两点,且和其中一条渐近线垂直,若(→AF)=4(→FB),则该双曲线的渐近线方程为____.     

新题征展(124)

A 题组新编 1.(张乃贵)(1)已知F1,F2是双曲线x2/a2-y2/b2=1的左、右焦点,点P是双曲线右支上的一点,且PF1=5PF2,则双曲线的离心率取值范围是____;     

双曲线的几个有趣性质

笔者对双曲线作了研究,得到了几个有趣的结论,现论述如下,与同行共享. 性质1 设E,F是双曲线x2/a2-y2b2=1(a＞0.b)>0)的左右焦点,双曲线的半焦距为c,P是直线x=＞±c2/a上的动点,∠EPF=θ,双曲线离心率是e,则θ为锐角且cscθ≥e(当且仅当点P到双曲线实轴的距离为eb时取等号).     

共焦点的圆锥曲线的切线性质

共焦点的圆锥曲线有如下几个重要性质. 　　定理1 设椭圆x2/a12+y2/b12=1(a1>b1>0)和双曲线x2/a22-y2/b22=2(a2>0,b2>0)共焦点E(-c,0),F(c,0)(c>0),P是两曲线的一个交点,经过P点的椭圆和双曲线的切线的斜率分别为k1,k2,则k1k2=-1.……     

巧用双曲线的定义解题两例

例1设双曲线与椭圆x2/27 y2/36=1有共同的焦点,且与椭圆相交,一个交点A的纵坐标为4,求双曲线的方程。简解设所求方程为x2/a2-y2/b2=1(a>0, b>0)．由已知得两焦点分别为F1(0,-3),F2(0, 3)、点A(±15~(1/2),4)．     

一道2007年高考题的推广及应用

问题1(2007年高考湖南卷,理20)已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的动直线与双曲线相交于A,B两点.1)若动点M满足F1M=F1A F1B F1O(其中O为坐标原点),求M的轨迹方程;2)在x轴上是否存在定点C,使CA·CB为常数?若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由.问题1的2)正确结论为“在x轴上存在定点C(1,0),使CA·CB为常数”.对此,本文作如下推广.定理1已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0,c>0,c2=a2 b2),过定点T(t,0)(t≠0且t≠±a)的动直线与双曲线相交于A,B两点,则在x轴上存在唯一定点C((a2-b2)t2 a2c22a2t,0),使CA·CB为常…     

圆锥曲线的一个性质

笔者在圆锥曲线性质的探索过程中发现一个性质,现呈现如下结论1 如图1,过双曲线C:x2/a2-y2/b2=1(a＞0,b＞0)的右准线x=a2/c与x轴的交点P作双曲线C的割线交于A,B两点,如双曲线离心率为e,焦准距为p,右焦点为F,∠AFB =θ,直线AB的斜率为k(k＞0),则k=ecosθ/2.     

“黄金”双曲线

若双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1(a＞0,b＞0)的离心率为黄金率(比)(5~(1/2)-1)/2的倒数即(5~(1/2) 1))/2,我们称该双曲线为黄金双曲线．性质1双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1(a＞0,b＞0)是黄金双曲线的一个充要条件是：a,b,c成等比数列,其中c为半焦距．证明充分性：∵a,b,c成等比数列,     

一道解析几何题的变式探究

高三复习圆锥曲线时遇到这样一道习题:题目点P是双曲线C1:ax22-yb22=1(a>0,b>0)和圆C2:x2 y2=a2 b2的一个交点,且2∠PF1F2=∠PF2F1,其中F1,F2是双曲线C1的两个焦点,则双曲线C1的离心率为.本题主要考查双曲线和圆的有关基础知识,由题中条件可知,圆是以双曲线的焦距为直径的,则∠     

两个性质的完善与启示

文[2]在文[1]的基础上推出了如下两个性质:性质1过双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的顶点A的弦AQ交于y轴于点R,过双曲线中心O的半弦OP∥AQ,则|OP|2=1/2|AR|·|AQ|.性质2 MN是过双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的焦点F的弦,过双曲线中心O的半弦OP∥MN,则|OP|2=a2|MN|.这两个性质只有当A和Q(或M和N)分别在双曲线的左、右分支上才成立,我们来看一个特例:过双曲线x2-y2=1的左顶点A且倾斜角为60°的弦AQ交y轴于点R,过双曲线中心O的半弦OP∥AQ,则由文[2]性质1和性质2的证明过程知|OP|2=a2b2b2cos2α-a2sin2α=1·11·cos260°-1·sin…     

伴随圆锥曲线的一个统一性质

按照文[1]的定义,我们把双曲线x2/a2-y2/b2=1(a＞0,b＞0)称为椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的伴随双曲线,同样地,把x2/a2+y2/b2=1(α＞b＞0)称为双曲线x2/a2+y2/b2=1(a＞0,b＞0)的伴随椭圆.通过研究笔者发现了它们一个有趣的统一性质.     

利用三角形中线定理证一道解几题

中线定理:在△ABC中,AD为BC边上的中线,则 AB~2 AC~2=2(AD~2 CD~2) (1) 题目:从等轴双曲线的中心到其上任一点M的距离是两焦点到M点的距离的比例中项。分析:设等轴双曲线方程为x~2-y~2=a~2,其图象如左图,假设M点在图象的右支上,焦点坐标为F(c,0)F＇(-c,0),一般传统的解法是:设M点坐标为(x,y),根据两点间距离公式求出|MO|、|MF|、|MF＇|,然后利用已知条件进行变换,最后求出结果,其过程较为繁杂。但是利用中线定理,则可以避免繁冗的计算,其中最突出的优点是不需设M点坐标;     

极坐标系下的焦半径和焦点弦

(一)焦半径及焦点弦的长 1.园锥曲线p=ep/1-ecosO(＊),过焦点F(极点)的焦半径为FA,则|FA|=|p|=ep/1-ecsoO|(e>0)不失一般性仅讨论O∈[O,2π]。 1°当e≤1时,(＊)表示椭园或抛物线时|FA|=ep/1-ecosO(当e=1时,O≠0和2π) 2°当e>1时,(＊)表示双曲线,令双曲线两渐近线的倾角为a=arccos1/e和π-a=π-arccos1/e。若θ=a或O=π-a时,1-ecosO=0.无焦半径(这时FA为平行两渐近线中的一条的射线)。若O∈[O,a)∪(2π-a,2π]时,1-ecos0<0,这时A在双曲线的左支上。     

关于函数y=kx+m/x(k≠0,m≠0)的图象为双曲线的探究

1 问题提出。在学习完圆锥曲线后，我们认识了双曲线的概念和性质：平面上到两个定点F1，F2距离之差的绝对值等于常数2a(2a≤|F1F2|)的动点的轨迹是双曲线，它有对称中心，有对称轴，有两条渐近线．联系高一学过的函数y=kx m/x(k≠0，m≠0)，其图像也有对称中心，通过计算器测算出     

综合题新编选登

题 73　 双曲线 x2a2- y2b2 =1(a >0 ,b >0 )的左、右焦点分别为F1,F2 ,点P(x0 ,y0 )是双曲线右支上一点 ,且x0 >2a .I为△PF1F2 的内心 ,直线PI交x轴于Q点 ,若 |F1Q| =|PF2 | ,当a ,b变化时 ,求I分PQ的比λ的取值范围 (见图 1) .解　设双曲线半焦距为c ,则c =a2 +b2 .∵I为PQ的内分点 ,则λ =PIIQ=|PI||IQ| .由内角平分线定理知|PI||IQ| =|PF1||F1Q| =|PF2 ||F2 Q| .又∵ |F1Q| =|PF2 | .∴|PI||IQ| =|PF1||PF2 | ,可得|PI| - |IQ||IQ| =|PF1| - |PF2 ||PF2 | =2a|PF2 | ,|PI||IQ| =|F1Q||F2 Q| ,可得|PI| …     

共轭双曲线"渐准点"的若干性质

文[1]介绍了有关双曲线“渐准点”的若干性质,受此启发,笔者继续研究了共轭双曲线“渐准点”的一些性质.为行文方便,如图,我们记横向双曲线x2a2-2yb2=1(a>0,b>0)的左准线x=-a2c与渐近线的交点为P,纵向双曲线y22b-x2a2=1(b>0,a>0)的下准线y=-b2c与渐近线的交点Q,那么渐准点P,Q有下列几个性质:性质1 PF1=baQF1;性质2 tan∠F1PF2·tan∠F1QF2=4;性质3|PQ|=a b;性质4 PF1·PF2 QF1·QF2=-c2;性质5 S梯形PQF1F1′=(a b)22;性质6 SΔPOF2=SΔQOF′2.下面一一证明之.性质1的证明:不难得到P(-a2c,abc),Q(abc,-2bc),F1(-c,0),F2(c,0…