f~(-1)(x 1)是f(x 1)的反函数吗

本“说课”的课题是高三第一轮复习集合与函数这部分内容中的一节课 .问题来自学生对一道习题的错解 .1　教学内容和意图习题课该怎样组织习题 ?如何看待和纠正学生的错解 ?这是老师在复习课教学中关心的问题 .这节课从分析学生在解题中出现的有代表性的错误入手 ,加深对映射、函数、复合函数、反函数等重要概念的理解 ,肯定在错解过程中运用的合情推理———类比 :由ｙ =ｆ(ｘ)的反函数是ｙ =ｆ- 1 (ｘ) (如果反函数存在 ) ,类比得到函数ｆ- 1 (ｘ 1 )是ｆ(ｘ 1 )的反函数 ,引导学生对类比出来的结论给予严格的证明和说理 ,以及对该问题的…     

f(1/x)的反函数是f~(-1)(1/x)吗

众多的书刊上有这样一道选择题: 若f(x)=(x+1)/(x-1)那么f~(-1)(1/x)等于 (A)(1+x)/(1-x) (B)(x+1)/(x-1); (C)(1-x)/(1+x) (D)(x-1)/(x+1)。有的同学选A,有的同学选D,由于正确答案只有一个,因此A、D中必有一错。选(A)的理由是: f(x)=(x+1)/(x-1)f~(-1)(x)=(x+1)/(x-1) f~(-1)(1/x)=(1+x)/(1-x)。选(D)的理由是:     

冷眼看“f[f~(-1)(x)]=x”

数学作为一种工具,强调应用性,新教材教学极其关注这一点,尤其是知识的综合应用和问题的交叉运用,近年来各省的高考试题有不同程度的体现.“问渠哪得清如许,为有源头活水来”,从基础出发,重定义,才能至千里.本文主要通过实例,探讨反函数及f[f-1(x)]=x的实质和应用,加强同学们对抽象函数的理解,希望能给大家一点启示.1求抽象函数的反函数——重在理解反函数的定义例1已知函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),求函数y=f(2x-1) 1的反函数.解析由y=f(2x-1) 1得,f(2x-1)=y-1,∴f-1[f(2x-1)]=f-1(y-1),即2x-1=f-1(y-1),x=21f-1(y-1) 21.∴y=f(2x-1) 1的…     

一定要解出f~(-1)(X)吗?

近年来,出现了有关根据原函数判断反函数的图像与求反函数值的高考题。若先求出反函数的解析式,然后再来判断和求值,则相当麻烦且容易出现错误。当我们充分理解了反函数的定义,弄清了原函数与反函数之间的联系,不必求出反函数的解析式,就能够轻而易举地解决这些问题。根据反函数的定义可知,原函数与反函数之间具有下面的两个性质(证明略)。     

y=f(x+1)与y=f~(-1)(x+1)互为反函数吗?

从图象上看　ｙ =ｆ(ｘ + 1)与 ｙ =ｆ- 1(ｘ + 1)的图象是分别将 ｙ =ｆ(ｘ)与 ｙ =ｆ- 1(ｘ)的图象向左平移一个单位所得 ,因 ｙ =ｆ(ｘ)与 ｙ =ｆ- 1(ｘ)图象关于 ｙ =ｘ对称 ,将 ｙ =ｘ向左平移一个单位得 ｙ =ｘ + 1,所以函数 ｙ =ｆ(ｘ + 1)与 ｙ =ｆ- 1(ｘ + 1)的图象关于 ｙ =ｘ + 1对称 ,因而 ｙ =ｆ(ｘ + 1)与 ｙ =ｆ- 1(ｘ + 1)不一定互为反函数 .从求反函数过程看　由 ｙ =ｆ(ｘ + 1)有ｘ + 1=ｆ- 1(ｙ)即ｘ =ｆ- 1(ｙ) - 1,互换ｘ ,ｙ ,有 ｙ =ｆ- 1(ｘ)- 1,所以 ｙ =ｆ(ｘ + 1)的反函数为 ｙ =ｆ- 1(ｘ) - 1.记号 ｙ =ｆ- 1(…     

不确定的 f~(-1)[f(x)]

题:若f(x)=3x-2,求f~(-1)[f(x)]。解法一∵f(x)=3x-2, ∴f[f(x)]=3f(x)-2=9x-8。 x=f[f(x)] 8/9; 故 f~(-1)[f(x)」=x 8/9。解法二∵f(x)=3x-2, ∴x=f(x) 2/3,f~(-1)(x)=x 2/3 故 f~(-1)[f(x)]=f(x) 2/3 =3x-2 2/3=x 解法三∵f(x)=3x-2, ∴确定函数f(x)的映射是从定义域集R到值域集R的一一映射,即f:x→3x→2=y。     

关于亚纯函数涉及其亏函数的∑δ~(1/3)(a(z),f)<+∞

1972年,A.Weitsman证明对于下级有限的亚纯函数f(z),有∑δ~(1/3)(a,f<+∞,这里a为复数。本文将证明对于下级有限的亚纯函数上述结论在用f(z)的亏亚纯函数代替复数时依然成立。并得到下述结果: 设f(z)于开平面亚纯,下级μ<+∞,则有∑δ~(11/3)(a(z),f)<+∞,其中a(z)为f(z)的亏函数。     

f与f~(k)具有一个CM公共值的亚纯函数

得到如下结果：设f（z）为非常数亚纯函数，f与f(k)以1为CM公共值，如果（r，f） （r）＜λT（r，f），k=1，0＜λ＜;或3（r，f） （r，） 3（r，）＜λT（r，f），k≥2，0＜λ＜；或（r,） 3（r,）＜λT（r,f），k≥3，0＜则-C，其中C为某一非零常数．     

关于f(f~(k)~n-a(z)的零点

本文讨论了杨重骏和杨乐等提出的一个猜想：设ｆ是一超越整函数，ｎ，ｋ是两个正整数，则当ｎ２时，ｆ（ｆ（ｋ）ｎ取任何非零有限值无穷多次，并证明了这个猜测，而且证明了，当ｆ是亚纯函数时的情形也成立，即有，设ｆ是超越亚纯函数，ｎ，ｋ是两个正整数，则当ｎ２时，ｆ（ｆ（ｋ）ｎ－ａ（ｚ）有无穷多个零点，其中ａ（ｚ）是ｆ的一个小函数     

关于函数f(x)的倒数函数1/f(x)周期性的讨论

“数学通报”1980年第10期所刊“谈谈函数周期性问题”一文中的第二部分的定理1给出了倒数函数1/f(x)的周期性的结论。我们认为结论有错。现作如下讨论,愿与原作者商确。     

f[g(x)]的反函数与f~(-1)[g(x)]是两回事

求函数f[g(x)]的反函数与求f-1[g(x)]，许多人把它们看成一回事，因而在或题时会发生这样或那样的错误．求f[g(x)]的反函数是求复合函数的反函数，其反围数的复合过程恰好与原函数相反，即y而求f-1[g(x)]是在求出x=f(x)的反函数广f-1(x)之后，再求出反函数的复合函数．二者过程不同，不能混淆．1求f-1[g(x)]的反函娄例1已知f（X）一3X＋I，求人又十1）的反函数‘有人这样拉：f（X）一3X＋1的反函数是这种解法的错误是显而易见的，由上图进行核验知广’（“＋’）一百（“’‘人正确解法是：函数人X）一3X＋1的反函数是广‘（x）一百（X…     

f(k)(1≤k≤n-1)与原函数f和最高阶导数f(n)之间的一个不等式

证明了f(k)(1≤k≤n-1)与原函数f和最高阶导数f(n)之间的一个不等式关系.     

关于亏函数的∑δ~(1/3)(a(Z),f)<+∞

<正> 1972年A.Weitsman[1]证明对于下级有限的亚纯函数f(Z),有∑δ~(1/3)(a,f)<+∞,其中a是复数.本文在f(Z)是整函数的情况下,把这一结果推广到亏函数. 定理 设f(Z)是下级μ有限的整函数,则∑δ~(1/3)(a(Z),f)<+∞,其中a(Z)是满足T(r,a(Z))=o{T(r,f)}的亚纯函数.     

谈函数f(x)与│f(x)│性质的异同

<正> 在《高等数学》教材和学生习题中,涉及函数f(x)与|f(x)|性质异同问题的地方颇多。写作木文,是想通过对函数f(x)与|f(x)|则性质的异同进行比较和分析研究,帮助我们弄清有关重要概念,加深和透彻理解教材,以利于教学中启发学生思维方法,引导解决一些似是而非的     

构造函数f(t)=(t-x)(t-y)(t-z)解题

三元不等式问题是国内外各层次数学竞赛的难点与热点之一 ,而其处理更以“入口宽 ,方法巧”见长 .为寻求解题规律 ,探索解题途径 ,笔者搜集了部分国内外有关三元不等式问题的试题 ,深入研究 ,发现许多问题均可以采用构造函数 :f(t) =(t -x) (t-y) ·(t-z) ,加以巧妙地解决 .下面举例加以说明 .例 1　设a ,b ,c为非负实数 ,且满足a ≥b≥c,a +b+c=3 ,求证 :ab2 +bc2 +ca2 ≤ 2 78.(《中等数学》1998年第 1期数学奥林匹克问题初 61题 )证明　由题意可知　a≥ 1,c≤ 1,从而　 1-a≤ 0 ,　 1-c≥ 0 .令　f(1) =(1-a) (1-b) (1-c) .一方面 :当b≤…     

再探函数f(a+x)与f(a-x)的图像性质

文[1]研究了两种不同情况:一种是函数f(a+x)与函数f(a-x)的图像关于直线对称的问题;另一种是函数f(x)对一切x∈R满足f(a+x)=f(a-x)都成立,函数f(x)图像关于直线对称的问题.那么它们是不是也存在着关于某点坐标对称呢?经过一番的思考与探究,得到如下的性质.     

关于Goormaghtigh方程(x~3-1)/(x-1)=(y~n-1)/(y-1)

本文证明了：Ｇｏｏｒｍａｇｈｔｉｇｈ方程适合的例外解（ｘ，ｙ，ｎ），满足以及     

关于函数y=f(x)与y=|f(x)|

本文对函数 y=f ( x)与 y=|f ( x) |的部分性质进行了比较和分析 ,指出了它们性质上的区别与联系 .     

当(x-)已知时"|μ-(x-)|＜0.5"有概率吗

讨论了当已知时"|μ-(x-)|＜0.5"的概率的存在性问题.     

关于函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)

定义在实数域上适合方程f(x+y)=f(x)+f(y)(1)的函数,如果再加上连续的条件,就可以证明它是唯一的,即f(x)=ax。本文的目的是从理论上求出定义在任意数域上满足方程(1)的解,而不加任何条件。后面将看到,这里除了个别例子之外,并不能指出所求出的更普遍的函数。原因在于,证明中应用的有策墨罗定理。 1.基本引理引理1.对任意一个数域R必有数集存在,使得R中的任一非0