线性过程的广义强逼近及其应用

设{X_t;t≥1}是由X_t=∑_i=0^∞a_iε_t-i所定义的线性过程,其中{a_i;i≥0}是一实系数序列,{ε_i;-∞0²可能为无穷的情形下,证明了{X_t;t≥1}的一个广义强逼近定理.作为应用,得到了线性过程部分和与部分和乘积的广义重对数律,以及具有相依重尾扰动项的AR（1）模型的渐近性质.     

Asymptotics for the joint tail probability of bidimensional randomly weighted sums with applications to insurance

This paper studies the joint tail behavior of two randomly weighted sums ∑_i=1^m Θ_i X_i and ∑_j=1ⁿ θ_jY_j for some m, n∈N∪{∞}, in which the primary random variables {X_i; i∈N} and {Y_i; i∈N}, respectively,are real-valued, dependent and heavy-tailed, while the random weights {Θi, θi; i ∈ N} are nonnegative and arbitrarily dependent, but the three sequences {X_i; i∈N}, {Y_i; i∈...     

妙解三例

<正>等差数列{a_n},其通项可以统设为a_n=An +B,（其中A=d,B=a₁-d）,前n项和可以统设为S_n=An²+Bn,（其中A=（d/2）,B=a₁-（d/2））,灵活运用这个公式,可使解题变得简单,快捷.例1若数列{a_n}为等差数列,a_p=q,a_q=     

利用柯西不等式巧解竞赛试题

<正>柯西不等式不仅结构整齐,形式优美,而且有重要的应用价值,特别是在高中数学竞赛中应用十分广泛,它的应用可以开阔学生的视野,拓展学生的思维,能激发学生对数学的学习兴趣.柯西不等式设a₁,a₂,…,a_n,b₁,b₂,…,b_n是实数,有(a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n)²≤(a₁²+a₂²+…+a_n²)(b₁²+b₂²+…+b_n²),当且仅当b_i=0(i=1,2,…,n)或存在一个实数k使得a_i     

用整数函数求一类递推数列前n项和

<正>问题设数列{a_n}的前m项为a₁,a₂,…,a_m,且a₍n+m₌a_n+d（n=1,2,…）,d为非零常数,求数列{a_n}的前n项之和S_n.这类递推数列的求和问题,是求递推数列前n项和中难度最大的问题.为此,本文以实例来说明它的求     

2023年天津高考数学数列题的解法及拓展

<正>今年高考结束后和一个天津考生交流,他说今年的第19题数列题“有点儿怪”．下面我们就来看看这道题．1原题及解法分析题目已知{a_n}是等差数列,a₂+a₅=16,a₅-a₃=4.(1)求{a_n}的通项公式和■     

柯西不等式中取等条件的妙用

设a₁,a₂,a₃,…,a_n,b₁,b₂,b₃,…,b_n是实数,则（a₁²+a₂²+…+a_n²）（b₁²+b₂²+…+b_n²）≥（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²,当且仅当b_i=0（i=1,2,…,n）或存在一个数k,使得a_i=kb_i（i=1,2,…,n）时,等号成立.以上不等式就是选修4-5《不等式选讲》中所介绍的柯西不等式（简记为"方和积不小于积和方"）,其应用十分广泛和灵活,善于挖掘等号成立的条件具有的潜在功能,可用于求代数式的值、解方程（组）、证明等式、判断三角形的形状、确定点的位置等.笔者分类例析,旨在探索题型规律,揭示解题方法.     

函数与等差数列

<正>一、利用一次函数的图像例1已知等差数列{a_n},a_m=n,a_n=m,（m,n∈N^*,m≠n）,则a_m+n=_<sub><sub>.解对于等差数列{a_n),其通项a_n=a₁+     

D族END的随机变量和的精确大偏差

研究了非随机和的S_n=∑_i=1ⁿ X_i,n≥1的精确大偏差的问题,这里{X_i,i≥1}是服从控制变化尾分布族（D族）的非负的、END的随机变量,但不必是同分布的.在给定的一些假设条件下,得到了非随机和的渐近关系,推广了相应的独立同分布情形下的结论.     

递推数列的通项求法例析

在必修5《数列》P69T6:已知数列{a_n}中,a₁=5,a₂=2,a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式?这是一道已知数列的递推式,求数列的通项公式,而且涉及到三个量的关系,它是本章内容的一个提升.本文试从这道题的类型展开加以研究.     

蛛网图的深化及应用

<正>对一阶递推关系式a_n+1=f(a_n)而言,函数y=f(x)称为数列{a_n}的递推(迭代)函数,a₁为递推初值.利用递推函数:y=f(x)与直线y=x的图像可以方便、直观地研究数列{a_n}的相关性质.这种形象、便捷的方法称之为蛛网图.     

对一个数列问题的探究

在数列学习过程中,有这样一个问题:已知各项均为正数的数列{a_n},其前n项和S_n满足4S_n=（1+a_n）²,求其首项和通项公式.这个问题的解决并不难,将n=1代入,可得首项a₁=1,用4S_n=（1+a_n）²减去4S_n-1=(1+a_n-1)²（n>1）,得a_n=a_n-1+2或a_n=-a_n-1（n>1）,因为该数列各项均为正数,所以a_n=-a_n-1不成立,得a_n=a_n-1+2（n>1）,为等差数列,所以a_n     

The maximum and minimum degrees of random bipartite multigraphs

In this paper the authors generalize the classic random bipartite graph model, and define a model of the random bipartite multigraphs as follows:let m = m（n） be a positive integer-valued function on n and ζ（n,m;{pk}） the probability space consisting of all the labeled bipartite multigraphs with two vertex sets A ={a₁,a₂,...,a_n} and B = {b₁,b₂,...,b_m}, in which the numbers t_ai,b_j of the edges between any two vertices a_i∈A and b_j∈ B are identically distributed independent random variables with distribution P{t_ai,b_j=k}=pk,k=0,1,2,...,where pk ≥0 and ∞Σk=0 pk=1. They obtain that X_c,d,A, the number of vertices in A with degree between c and d of G_n,m∈ζ（n, m;{pk}） has asymptotically Poisson distribution, and answer the following two questions about the space ζ（n,m;{pk}） with {pk} having geometric distribution, binomial distribution and Poisson distribution, respectively. Under which condition for {pk} can there be a function D（n） such that almost every random multigraph G_n,m∈ζ（n,m;{pk}） has maximum degree D（n）in A? under which condition for {pk} has almost every multigraph G（n,m）∈ζ（n,m;{pk}） a unique vertex of maximum degree in A?     

一类数列不等式的巧证

数列不等式是高考中久考不冷的热点,此类题目技巧性强,思维量大,一般不容易突破.例如,有一类数列不等式a₁+a₂+…+a_nn进行放缩的方法为a_nn,而b_n是一个等比数列,即b_n=b₁q^n-1,接下去任务就是寻找公比q,a₁+a₂+a₃+…+a_n1+b₁q+b₁q²+…+b₁q^n-1=（b₁（1-qⁿ））/（1-q）1/（1-q）（这里01>0）,则有     

探究一道数列竞赛题

<正>题目（1979年加拿大竞赛题）设01=1+a,a_n+1=a+1/a_n（n∈N^*）,证明:对一切n∈N^*有a_n>1.此类数列常见诸竞赛题及高考题中,如:2005年普高招生全国统考福建卷压轴题     

由一道课本习题想到的

<正>由人民教育出版社出版的A版必修五第61页有这样一道题目:已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和,S₃,S₉,S₆,成等差数列.求证:a₂,a₈,a₅成等差数列.     

两例对数即时定义赏析

<正>一、基于对数性质的新定义运算【例1】已知a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*）,观察下列运算a₁×a₂=log₂ 3×log₃4=lg3/lg2×lg4/lg3=2,a₁·a₂·a₃·a₄·a₅·a₆=log₂3·log₃4……log₆7·log₇8=lg3/lg2·lg4/lg3……lg7/lg6·lg8/lg7=3,……     

线性表示在解题中的应用举例

<正>首先我们来看线性表示的概念:定义若a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n=b(其中x₁,x₂,…,x_n是未知量,a₁,a₂,…,a_n,b是不全为零的常数,n∈N*)则b称为数组x₁,x₂,…,x_n的一个线性组合.当b=0时,x₁,x₂,…,x_n称为线性相关,此时令a_n=-1,则有x_n=a₁x₁+a₂x₂+…+x_n-1a_n-1,称变量x_n是变量x_i(i=1,2,…n-1)...     

构造分布列 巧解竞赛题

<正>Eξ,Dξ分别为随机变量ξ的数学期望与方差,由关系式Dξ=Eξ²-(Eξ)2-(Eξ)²及Dξ≥0,知Eξ2及Dξ≥0,知Eξ²≥(Eξ)2≥(Eξ)².构造离散型随机变量ξ的分布列P(ξ=x_i)=p_i(i=1,2,…,n),利用Eξ2.构造离散型随机变量ξ的分布列P(ξ=x_i)=p_i(i=1,2,…,n),利用Eξ²≥(Eξ)2≥(Eξ)²(当且仅当x_1=x_2=…=x_n=Eξ时取等号),可以别具一格地求解一类形式优美、内涵丰富的分式竞赛题.     

处理导数题应体现的几种数学意识

<正>自导数引入高中数学教材,就以其丰富的内涵倍受命题专家的青睐,且多以压轴题的身份出现在高考、竞赛以及其它各类考试的试卷中,本文就处理导数题应体现的几种数学意识加以盘点,以期能对大家的学习有所启发和帮助.1回归意识例1已知在正项等比数列{a_n}中,a₁=2,a₉=8,f(x)=x(x-a₁)···(x-a₉),f′(x)为函数f(x)的导函数,试求f′(0)的值.