β-变换中一致丢番图逼近问题的维数理论

令T_β(其中β> 1)为定义在区间[0,1)上的β-变换.该文研究了T_β中轨道具有一致丢番图逼近性质的点组成的集合的分形维数,具体而言,对两个给定的正函数ψ₁、ψ₂:N→R⁺,定义L(ψ₁):={x∈[0,1]:T_βⁿ x <ψ₁(n),对无穷多个n∈N},u(ψ₂):={x∈[0,1]:?N>>1,?n∈[0,N],s.t.T_βⁿ x <ψ₂(N)},其中>>表示足够大.该文计算了集合L(ψ₁)∩u(ψ₂)的豪斯道夫维数.作为推论,该文还得到了集合u(ψ₂)的豪斯道夫维数.该文将文献[4]中的结果进行了一般化,文献[4]中的函数ψ₁,ψ₂仅仅是指数函数.     

On the polynomiality and asymptotics of moments of sizes for random(n,dn ± 1)-core partitions with distinct parts

Amdeberhan’s conjectures on the enumeration,the average size,and the largest size of(n,n+1)-core partitions with distinct parts have motivated many research on this topic.Recently,Straub(2016)and Nath and Sellers(2017)obtained formulas for the numbers of(n,dn-1)-and(n,dn+1)-core partitions with distinct parts,respectively.Let X_s,t be the size of a uniform random(s,t)-core partition with distinct parts when s and t are coprime to each other.Some explicit formulas for the k-th moments E[X_n,n+1^k]and E[X_(2 n+1,2 n+3)^k]were given by Zaleski and Zeilberger(2017)when k is small.Zaleski(2017)also studied the expectation and higher moments of X_n,dn-1 and conjectured some polynomiality properties concerning them in ar Xiv:1702.05634.Motivated by the above works,we derive several polynomiality results and asymptotic formulas for the k-th moments of X_n,dn+1 and X_n,dn-1 in this paper,by studying theβ-sets of core partitions.In particular,we show that these k-th moments are asymptotically some polynomials of n with degrees at most 2 k,when d is given and n tends to infinity.Moreover,when d=1,we derive that the k-th moment E[X_n,n+1^k]of X_n,n+1 is asymptotically equal to(n²/10)^kwhen n tends to infinity.The explicit formulas for the expectations E[X_n,dn+1]and E[X_n,dn-1]are also given.The(n,dn-1)-core case in our results proves several conjectures of Zaleski(2017)on the polynomiality of the expectation and higher moments of X_n,dn-1.     

一类二阶微分方程同宿解的存在性

讨论下列二阶微分方程(y|¨)+ay+U_y(t,y)=0.的同宿解的存在性,其中t∈R,y∈Rⁿ,n∈N,a>0是一个常数,U(t,y)∈Cn,n∈N,a>0是一个常数,U(t,y)∈C¹(R×R1(R×Rⁿ,R),U_y(t,y)表示U(t,y)关于y的梯度.引入快同宿解的概念并给出方程存在快同宿解的判定准则.     

带部分调和势的非齐次非线性Schr?dinger方程的爆破解

该文致力于研究带部分调和势的非齐次非线性Schr?dinger方程的Cauchy问题.该方程是玻色-爱因斯坦凝聚中的一个重要模型.结合非线性椭圆方程基态解的变分特征及质量和能量守恒,首先得到了该问题整体解的存在性,并利用尺度变换技巧证明了该方程在一些特殊初值情形下存在爆破解.其次讨论了爆破解的L²集中现象.最后利用与上述基态解相关的变分结论研究了L²最小质量爆破解的动力学性质,即具有最小质量的爆破解的极限profile、精细质量集中和爆破速率.该文将Zhang^[35]的全局存在性和爆破结果推广到带非齐次非线性项的情形,并将Pan和Zhang^[24]的部分结果改进到空间维数N≥2且非线性项为非齐次的情形.     

质量临界非齐次薛定谔方程在门槛值处的极限行为

该文研究如下与时间无关的具有吸引相互作用的临界非齐次薛定谔方程-△u+|x|²u-am(x)|u|^4/Nu=μu,in R^N,N≥1,其中a> 0且0 0及适合的0≤g(x)<1,令m(x)=1-λg(x),证明该方程在阈值a=a^*处基态解的存在性,并给出λ→0⁺时基态解的极限行为.这些结论推广了Deng,Guo和Lu^[10,11]的结果.特别地,该文使用了一种直接而更简单的方法得到能量的下界.     

Laplace算子特征值和的精细下界

该文研究了Rⁿ中Laplace算子在有界域Ω上的Dirichlet特征值和的下界.众所周知:第k个Dirichlet特征值λ_k(Ω)服从Weyl渐近公式,即λ_k(Ω)～4π²/[w_nV(Ω)]^2/nk^2/n当k→∞时,其中w_n和V(Ω)分别为是Rⁿ中n维单位球的体积和Ω的体积.根据上述公式,Pólya猜测λ_k(Ω)≥4π²/[w_nV(Ω)]^2/nk^2/n,?k∈N.这就是著名的Pólya猜想.对这一问题的研究由来已久,已有很多的工作.特别是,近几十年来最显著的成就之一是由Berezin^[4],以及李伟光和丘成桐^[3]分别独立取得的.他们部分解决了Pólya猜想,只是多了一个因子n/(n+2).后来,Melas^[7]改进...     

具有非局部效应的时滞SEIR系统的周期行波解

该文研究了一类具有非局部效应和非线性发生率的时滞SEIR系统的周期行波解.首先,定义基本再生数R₀并构造适当的上下解,将周期行波解的存在性转化为闭凸集上非单调算子的不动点问题,利用Schauder不动点定理结合极限理论建立该系统周期行波解的存在性.其次,利用反证法结合比较原理,建立当基本再生数R₀<1时该系统周期行波解的不存在性.     

空间非齐次白噪声驱动的分数阶随机热方程的矩估计

该文主要研究如下伴有Cauchy初值条件的分数阶随机热方程■其中a∈(1,2]为算子D_δ^α的阶数,δ(|δ|≤2-α)称为偏度参数,扩散系数g(·):R→R是非随机的可测函数:?²/?_t?_xw_ρ(t,x)表示空间非齐次白噪声,在关于非齐次布朗单w_ρ(t,x)催化测度ρ的适当假设下,证明了该方程解的存在性、唯一性和H?lder连续性.同时,也证明了方程解的矩估计.     

一类带临界指标的非自治Kirchhoff型方程非平凡解的存在性

该文研究下列非自治Kirchhoff型方程M (∫_R^N|▽u(x)|²+∫_R^N V(x)|u(x)|²)(-Δu+V(x)u)=λK(x)f(u)+u⁵,x∈R³非平凡解的存在性.其中,位势V(x)和K(x)在无穷远处消失,λ是一个大于零的参数.该文证明:存在λ^*> 0,当λ≥λ^*时,上述方程至少有一个非平凡解u_λ.     

一类四阶常微分方程周期边值问题的正解

本文研究了四阶周期边值问题{u⁴(t)-βu″(t)+αu(t)=f(t,u(t),u′(t),u″(t),u′′′(t)),t∈[0,1],uⁱ(0)=uⁱ(1),i=0,1,2,3正解的存在性,其中f:[0,1]×[0,+∞)×R³→[0,+∞)连续.利用锥上的不动点指数理论,获得了该问题正解的存在性结果,推广了已有文献的相关结果.     

关于半线性热方程的防爆与防熄问题

本文研究初值问题
u_t=Δu+g(t)f(u)(t>0),u|_t=0=u₀(x)
和初边值问题
u_t=Δu+g(t,x)f(u)(t>0,x∈Ω),u|_t=0=u|_?Ω=0
之解的整体存在性。如文献[6]中所作的那样,在非线性项中引进因子g(t)或g(t,x),是为了防止解的爆破或熄灭现象发生。本文的结果表明,文献[6]的两个定理中对f,g和u₀的大部分限制可以取消或者减弱;对g可以只要求它在f大时充分小;在一定条件下,控制初始状态即可避免爆破。     

由四个解析几何命题引发的猜想及其证明

笔者在文[1]和文[2]中得到了4个命题:命题1如图1,点F₁,F₂分别是椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左、右焦点,线段AB是过F₁的椭圆的一条弦.     

一类具有时滞的反应扩散登革热传染病模型的行波解

该文研究了一类时滞反应扩散登革热传染病模型行波解的存在性与不存在性.首先,利用辅助系统并结合Schauder不动点定理,证明了当基本再生数R₀> 1,c>c_*时,系统存在单调有界正行波解.其次,当R₀> 1,0 *时,借助双边Laplace变换,得到行波的不存在性;运用比较原理和反证法,证明了当R₀≤1,c> 0时行波的不存在性.最后,从理论和数值方面探讨了潜伏期和扩散率对阈值速度c_*的影响.结论表明:适当延长潜伏期或减少个体扩散可降低疾病传播速度.     

一类非局部扩散的SIR模型的行波解

该文考虑了一类非局部扩散的SIR模型.首先,当R₀> 1,c=c^*时,研究模型的临界行波解的存在性.最后,当R₀<1时,讨论模型的行波解的不存在性.完善了已有文献的一些结果.     

带非局部扩散项的一般性霍乱模型的行波解

该文研究一类具有一般性的带非局部扩散项的霍乱模型,用不同的函数表示人与人之间以及人与环境之间的发生率,以及霍乱病菌的增长函数.当R₀>1,c>c^*时,通过构造上下解函数,结合Schauder不动点定理讨论该模型行波解的存在性,再构造Lyapunov函数讨论行波解的渐近性.当c*时,通过双边拉普拉斯变换和Fatou引理证明该模型行波解的不存在性.     

稳健可达双曲排斥集

该文通过对一个分段线性满射实施Denjoy-like手术,构造了一簇C¹映射f_α (1 <α <3),使其具有以下性质1)f_α具有一个有正Lebesgue测度的双曲排斥Cantor集A_α,且A_α也是f_α的非正则吸引子;2)吸引子A_α是可达的:吸引盆B(A_α)与A_α的差集B(A_α)A_α具有正Lebesgue测度;3)该簇映射结构稳定:对不同的α与α’,f_α与f_α’拓扑共轭.该手术需要将不连续点爆破,并将不连续点的原像集的所有点替换成开区间.f_α的C¹光滑性由这些区间长度的精确控制以及区间上映射的细致定义保证.     

独立同分布随机变量加权和的概率估计

设{ξ_i}_i=1ⁿ为独立同分布的随机变量,且P(ξ_i=1)=P(ξ_i=-1)=1/2.设a=(a₁,…,a_n)为与{ξⁱ}_i=1ⁿ独立的服从超球面S^n-1={(a₁,…,a_n)∈Rⁿ|∑_i-1ⁿ a_i²=1}上均匀分布的随机变量,该文用极坐标变换得到了P(|∑_i=1ⁿ a_iξ_i|≤1)的表达式.当n<7时,该文通过直接计算得到此概率值大于等于1/2;当n≥8时,该文通过R软件也得到了此概率值大于等于1/2.特别地,n=3,4时,借助于贝塔函数,该文直接证明了该概率值大于等于1/2.     

非自治离散系统的分布混沌性

该文在非自治离散系统中定义了分布混沌,研究了映射序列f_n,∞=(f_n,f_n+t,…),_n∈N（N为自然数集）的混沌行为,讨论了f_n,∞的分布混沌性是否意味着乘积系统f_n,∞^[m]（m为正整数）的分布混沌性,或者后者的分布混沌性是否意味着前者的分布混沌性.     

次临界Choquard方程的多解

该文考虑次临界Choquard方程■(0.1)多解的存在性,其中N> 3,λ是正实参数,p_ε=2_μ^*-ε,ε> 0,0 <μμ^*=(2N-μ)/(N-2)是Hardy-Littlewood-Sobolev不等式意义下的临界指数.假定Ω:=int V^-1(0)是R^N中非空带光滑边界的有界区域,利用Lusternik-Schnirelman定理,该文证明了当λ足够大及ε充分小时,方程(0.1)至少有cat_Ω(Ω)个正解.     

二维Navier-Stokes-Cahn-Hilliard系统光滑解的全局存在性和L2衰减估计

本文研究二维不可压缩Navier-Stokes-Cahn-Hilliard系统.假设初值(u₀,φ₀)∈H^s(R²)×H^s(R²)并且divu₀=0,其中s∈N且s> 1,通过利用能量估计的方法证明该系统存在唯一的全局光滑解.此外,采用Fourier分离方法,研究该系统光滑解及其高阶空间导数的L²-衰减估计.