曲线系方程及其应用

曲线系是指具有某种共同性质的曲线的集 .曲线系方程的形式通常表现为含有一个或几个独立参数的二元方程 .利用曲线系方程解题体现了参数变换的数学思想、整体处理的解题策略、以及待定系数法等重要的解题方法 .这种思想、策略、方法的三位一体 ,常能使解题的水平更高 ,思维更活 .下面介绍几种常用的曲线系方程 .1　直线系1)经过两条直线li∶Aix +Biy +Ci=0 (i=1,2 )交点的直线系方程为λ1l1+λ2 l2 =0 (λi∈R ,i=1,2 ) .2 )过定点 (x0 ,y0 )的直线系方程为λ1(x -x0 )+λ2 (y - y0 ) =0 (λi∈R ,i=1,2 ) .3)与直线Ax +By +C =0平行的…     

二次曲线系的应用

利用曲线系来解题,是解析几何中主要的解题技巧。它充分地体现了运动变化的辩证思想。六年制重点中学数学课本中,虽然没有正面提出曲线系的概念的但在习题和复习题中均有所涉及。为了更好地理解课本上这些问题的背景,提高学生的解题能力,特在课本的基础上,对几种常见的二次曲线系作点简单介绍。一、共焦点圆锥曲线系     

利用曲线系 巧解竞赛题

曲线系思想是把符合某种条件的一系列曲线用带有参数的方程统一表示出来,再根据题目中的另外条件确定其中的参数或方程的特征,以此为基础,进一步解决问题.本文中利曲线系思想解答两道竞赛题,以说明曲线系思想在解题中的妙用.     

"曲线系方程"及其应用

在高中解析几何中我们常常会涉及到两圆锥曲线相交的相关问题,往往在处理这类问题时如按常规思路去解则运算量相对较大且不易算出来,相反如果利用好"曲线系"相关知识则可以大大简化解题过程中的运算量.……     

用曲线系方程解题应注意的两个问题

大家都知道,过两曲线 f_1(x,y)=0,f_2 (X,y)=0的交点的曲线系方程为:f_1(x,y)+λf_2(x,y)=0(λ∈R)。利用它来处理解几中过两曲线交点求一新曲线方程的问题显得特别方便,但是用曲线系方程时应注意以下两个问题。一、首先应判定解的存在性所谓首先应判定解的存在性,是指解题之前首先应判定曲线f_1(x,y)=0与f_2(x,y)=0是否有交点,如果有交点,则可用曲线系方程解之;如果无交点,则说明本题无解,不能用曲线系方程解,不然就可能将无解题求出解     

例谈曲线系方程的应用

<正>在高中解析几何中常会涉及到两曲线相交的有关问题,对于其中的某些问题若能用曲线系的相关知识,并在相关问题中加以灵活运用,那么解题过程一定会更加流畅,解题效率也必将会大大地提高.下面列举几例,阐述曲线系方程的巧妙应用,供读者参考.例1求经过A(2,2),B(5,3),C(3,-1)三点的圆的方程.解设过点A(2,2)的圆系方程为(x-2)²+(y-2)2+(y-2)²+λ(x-2)+μ(y-2)=0,又圆过     

利用曲线系(x~2/a~2)-(y~2/b~2)=λ求曲线方程

中学教材介绍的曲线方程的求法有两种。一是轨迹法,二是标准式法。利用曲线系求曲线方程又是标准式法一种特殊形式。这里以双曲线系方程为例,说明这种方法的应用。方程x~2/a~2-y~2/b~2=λ(Ⅰ)表示中心在原点,对称轴合于坐标轴的双曲线系。λ>0时,焦点在x轴上,λ<0 时,焦点在y轴上,不管λ为何值,这些双曲线都以x~2/a~2-y~2/b~2=0为渐近线(特别地,λ=0时,曲线就是渐近线)。因此,双曲线系(Ⅰ)又称共渐双曲线系。当研究的双曲线与渐近线有关时,运用双曲线系(Ⅰ)解题很方便。     

善于变换 妙于作答

<正>在数学解题中碰到困难时,若能改编策略,变换不同视角来进行解题处理,则可把"山穷水尽"问题变得"柳暗花明".现举例加以说明,供参考.1.变换位置例1(2012年课标全国卷12题改编)设点p在曲线y=1/2e^x上,点Q在曲线y=ln(2x)上,试求|PQ|的最小值.解答因为函数根据曲线y=1/2ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,试求|PQ|的最小值.解答因为函数根据曲线y=1/2e^x与曲     

关于与坐标轴交点个数的多解题

<正>平面直角坐标系架起数形结合的桥梁,使得我们可以用代数的方法研究几何问题,也可以用几何的方法研究代数问题.因此许多以直角坐标系为背景的试题成为考试的热点,其中有一类涉及"抛物线或圆与坐标轴交点(公共点)个数"产生的多解题成为考试命题的亮点,值得关注.一、圆与坐标轴恰有三个公共点产生的多解题     

构造辅助圆解题举隅

有些解析几何问题,或因题中给出的曲线"形单影只"而难以找到下笔的突破口,或因其求解过程繁杂冗长而使解题陷入困境,若能根据题意构造辅助圆,使其与已知曲线联系起来,便可使问题轻而易举获得解决.现举例说明.     

系要建得好 题就解得巧

<正>解析几何就是通过所建立的直角坐标系,这样点和有序实数对(坐标)之间就建立了一一对应的关系,因此就能将纯几何问题转化为纯代数问题来处理.关键的第一步(建立适当的直角坐标系)就成为我们解题难易的关键.什么样的系才恰当呢?恰当的系能给我们解题带来多大的方便呢?我说"系要建得好,题就解得巧",否则会事倍功半.举一例加以说明.     

减少解析几何中的计算量的策略

学生求解解析几何问题时,往往思路正确,但常因运算过程的繁杂半途而废.因此,如何采用合理的手段尽量减少运算量成为能否顺利解题的关键.事实上,如果我们能够充分利用图形的几何性质、韦达定理、曲线系方程,合理转化,以及运用     

一道高考题的变迁

笔者系"文革"后恢复高考的第一届大学毕业生,现虽已时过境迁,可仍对当年高考中的一道立体几何计算题记忆犹新,原因是其解题过程中呈现出来的数学关系式给人以美的享受.     

参数的作用

参数的作用４３００８０武汉钢铁公司第五子弟中学虞天明曲线参数方程中的参数在解题中起着非常重要的作用．它既是沟通曲线上动点坐标ｘ、ｙ的桥梁，又是简化解题手续的工具，更是一种非常重要的“活化剂”，它可以起到分解题设条件，溶化问题难点，活化解题思路，捷化解...     

减少解析几何中的计算量的策略

学生求解解析几何问题时,往往思路正确,但常因运算过程的繁杂半途而废．因此,如何采用合理的手段尽量减少运算量成为能否顺利解题的关键．事实上,如果我们能够充分利用图形的几何性质、韦达定理、曲线系方程,合理转化,以及运用“设而不求”等策略,往往能够减少计算量．     

把握核心找思路 通巧结合谋题解——以圆锥曲线定点定值问题为例

圆锥曲线的定点、定值问题既是高考中的常见题型,也综合考查了学生自身的逻辑推理以及数学运算等各项能力.若采取常规的解法会显得极其繁琐,而巧妙地运用曲线系方程进行求解,则能使定点、定值的问题得到有效简化,并促进学生的解题效率与速率的提高.     

建立空间向量基底解题

在立体几何里,建立直角坐标系运用向量 知识解题,是常见的一种方法,但一旦不具备 建立直角坐标系的条件或建立直角坐标系写 坐标很复杂时,可以考虑建立空间向量的基 底．若空间向量的基底比较好建立,有时比用 直角坐标系解题还简单．以下面常见的锥体、 柱体为例,和大家一起探讨．     

寻求"必要条件"解题

数学解题大多追求题设成立的"充要条件",但如果能抓住"必要条件"解题,往往比利用"充要条件"解题更迅速、更方便,思路更清晰.而使用"必要条件"解题,终归不如利用充要条件的思路来得顺畅,因此很多参考书忽略了利用必要条件及利用必要条件时必要的解题步骤.     

浅谈数学解题后的反思

数学解题教学过程,一般包括"审题"、"分析探求"、"解题行动"、"解题回顾"(即"反思")四个步骤.     

浅析数学中考命题的新走势

本文试图对近年来进行义务教育中的数学中考题作些粗浅分析，谈谈九年义务数学教育改革对考题的影响、改造和导向性．1注重概括性、探索性问题的考查《义教大纲》要求：“应当注意数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成发展过程，解题思路的探索过程，解题方法和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的能力．”例1已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和工轴、y轴分别交于点A和点B，且OA一OB—l，这条曲线是函数y一六的图象在第一家——“”一””——————“缸——””—””一限内的一…