微积分严格化之后

牛顿 ( Isaac Netwon 1 64 2— 1 72 7)于 1 665— 1 667年间 ,莱布尼兹 ( Gottfried Wilhelm L eibniz1 64 6— 1 71 6)于 1 673— 1 676年间建立了微积分之后 ,很多数学家将它应用于天文、力学、物理等各种自然科学 ,获得了很大的成功 ,对整个自然科学的发展起了很大的推动作用。由于微积分的建立 ,数学本身也起了很大的变化 ,进入一个崭新的时代 ,很多新的数学分支产生了 ,如 :常微分方程、偏微分方程、积分方程、变分法、微分几何等等 ,数学成为由分析、几何、代数三大部门所组成的学科 ,这三大部门既相对独立又互相联系。但是由于当…     

数学大师的风采——记陈省身先生讲授《微积分及其应用》(续一)

( )外微分上面讲了这么样一种关系 ,甚至这关系还更要好 ,我们讲高等微积分的时候 ,一个重要的定理是格林定理 ( Green' s Theorem)。就是说 ,假使你有个区域 ,在边界上的微分是可以变为区域上的微分 ,是一个一重积分和二重积分的关系 ,这是个非常重要的关系。比方龚 升曰 教授有一本小书 ,讲到这个关系 ,他认为这是整个微积分的基本定理 ,我是同意的。这样的关系现在通常写格林定理的时候 ,往往是写成有积分 ,∫γAdx +Bdy =( Bx-Ay) dxdy. ( 1 .9)如果有一个问题 ,有时候你可以只管 Integral,不要管其它 ,那么 Integral就是把…     

对微积分中主要矛盾的粗浅认识（续一）

从历史唯物主义的观点来看微积分的产生,就会感到是十分自然的事．自从15－16世纪文艺复兴以来,大批优秀的数学家为微积分的诞生作出了杰出的贡献．牛顿与莱布尼茨正处在微积分诞生前的水到渠成的时代．牛顿说他是站在巨人的肩膀上,这时巨人已经形成．这位巨人当然包括了这些伟大的微积分的先驱们．我不在这里—一列举他们名字与他们的贡献,在这里只想提一下巴罗（IsaacBarrow1630－1677）其人．他是牛顿的老师,他已经知道“求切线”和“求面积”是两个互逆的问题,他写了并译了很多书,其中1669年出版的《几何讲义》一书对微积分的创…     

微积分严格化之后(续二)

一、复数域上的微积分Frobenius定理说 :实数域上所有有限维结合可除代数 ( Division Algebra)只有三个 ,即 :实数域 ,复数域 ,四元数 ( Quaternion)代数 ,如果去掉结合性要求 ,则实数域上还有另一个可除代数 Cay-ley-Dickson代数 ,即 Octonion代数。在实数域上的维数为 8。由于四元数代数不可交换 ,Cayley-Dickson代数既不可交换又不结合。而复数域既可交换又可结合 ,且复数早已为人们所熟悉 ,于是人们在考虑原有微积分 ,即实数域上的微积分之后 ,理所当然地考虑复数域上的微积分 ,这就形成了复分析。复分析既然是复数域上的微积分 ,那…     

从微积分的发展看微积分的教学(续一)

积分学的历史比较微分学早得多,古希腊时代的穷竭法(还有中国的割圆术和祖（日桓）原理)都是早期的积分学。关于积分的理解,同样也因什么是无穷小,什么是不可分量而遇到困扰。即令我们把这些问题暂时放在一边,古代的穷竭法也只能用于一些最简单的曲线所成图形的面积。例如卡瓦列里用数列求和方法实际上得到了不定积分     

严格单调函数与Riemann积分有关的一些性质

下面的讨论都是对严格递增函数进行的(严格递减函数可同样讨论,以后遇到的函数f(x)均指严格递增函数)。首先给出一定理,它在一定程度上可看作是微分中值定理之逆。     

对微积分中主要矛盾的粗浅认识（续三）

4　数学中高与低、难与易的辩证关系在上一节中阐述:要说清楚高维欧氏空间中微分与积分是一对矛盾,以及它们是如何体现的,要用而且必须要用外微分形式才能说清楚.这就使我想起大数学家希尔伯特(DavidHilbert,1863-1943)于1990年在巴黎国际数学家代表会上那篇著名的演讲(参见TheBulletinofAmericanMathematicalSociety,Vol.8,P.437-445,478-479,1902,或Go¨ttingerNachrichten,P.253-297,1900)中一段十分精辟的话.他说:“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着,这些工具和方法同时会有助于理解已有的理…     

指数与对数函数--陈省身先生《微积分及其应用》之第二讲(2001.10.19)

本刊上两期 (总第 94,95期 )刊出了白承铭同志“数学大师的风采——记陈省身先生讲授《微积分及其应用》”一文的最初部分 :对这次系列演讲的简介 ,以及陈先生演讲的“第一讲”。应读者要求 ,本期继续刊出“第二讲”,讲稿由白承铭、宋敏、云保奇、赵志根等同志记录整理 ,未经陈先生寓目。刊出时只个别作了文字性处理     

基于微分中值定理证明微积分基本公式和积分中值定理

我们都知道证明微积分基本公式 (牛顿—莱布尼兹公式 )和证明积分中值定理的通常的方法 ,也就是先利用积分中值定理推出积分上限的函数的导数公式 ,然后由此再借助原函数的概念证明微积分基本公式 ,以及利用定积分的性质 (即估值定理 )和闭区间上连续函数的介值定理证明积分中值定理 ,其中积分中值定理的中间点 ξ的范围是 a≤ ξ≤ b[1] .本文将根据微分中值定理和定积分定义直接证明微积分基本公式 ,并直接揭示微分学和积分学的密切联系 ;进一步 ,根据微分中值定理和原函数存在定理简洁地证明积分中值定理 ,并阐明它的中间点 ξ的范围是 a…     

关于Rosenblatt过程Wiener积分的随机Fubini定理(英文)

本文得到了一个关于Rosenblatt过程Wiener积分的随机Fubini定理,它可以视为经典Fubini定理的推广.     

实变函数反例研究(Ⅱ)

列举了实变函数中的多个反例.这些反例说明,在条件改变之后一些重要结论不再成立.这可增强人们对实变函数内容的深刻认识.文中的测度与积分都不是Lebesgue测度与积分.     

Lebesgue积分的产生及其影响(迎接ICM2002特约文章)

这是一篇由法国科学院院士 Ｋａｈａｎｅ为纪念Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分 １００周年而写的文章,原文发表在《巴黎科学院通报》上,文章讲述了Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分创立的历史背景及其影响,经作者同意,由武汉大学范爱华教授翻译成中文在本刊发表．     

广义F积分的表示(Ⅰ)

与Ｓｕｇｅｎｏ的Ｆ积分表示理论相比较,本文探讨了广义Ｆ积份的表示问题,给出了几个表示定理,如中值定理,重排转化定理等。     

广义F积分的表示(I)

与Ｓｕｇｅｎｏ的Ｆ积分表示理论相比较,本文探讨了广义Ｆ积分的表示问题,给出了几个表示定理,如中值定理、重排转化定理等     

曲面论(一)--陈省身先生《微积分及其应用》之第四讲(2001.11.02)

1．曲面的标架 今天我们讲一点曲面论。微积分在曲面上应用的研究在整个数学里头是很要紧的。这是因为在曲面论中,曲面的这些性质往往扩充到其他更广的情形,而这些更广的情形变化到曲面的时候也有很多性质,在曲面的情形已经发生了。那么,曲面有个优点,就是我们假定它是在3维空间里头,所     

基于分解测度的模糊积分及收敛定理(英文)

为了解决一些收敛定理 ,我们给出基于半环 ( [0 ,1 ], , )的伪可加分解测度的积分这种模糊积分被深入研究 .在给出这种积分的性质的基础上 ,我们得到一些收敛定理 ,它们是经典收敛定理的扩张 ,同时我们得到关于这种模糊测度的 Egorof定理     

Fuzzy-Val模糊值Choquet积分(Ⅱ)——函数关于模糊值模糊测度的Choquet积分(英文)

研究一种取值于模糊数集的 Choquet积分 ,该积分的被积函数是单值函数 ,所用的测度是模糊值模糊测度。给出其定义、性质和收敛定理     

曲线论--陈省身先生《微积分及其应用》之第三讲(2001.10.26)

本刊总第94,95期刊出了白承铭同志“数学大师的风采——记陈省身先生讲授《微积分及其应用》”一文的最初部分：对这次系列演讲的简介,以及陈先生演讲的第一讲。应读者要求,总第96期刊出了第二讲。本期继续刊出第三讲。讲稿由白承铭、宋敏、云保奇、赵志根等同志记录整理,未经陈先生寓目。刊出时只作了个别文字性处理。     

模糊值Choquet积分(Ⅱ)--函数关于模糊值模糊测度的Choquet积分

研究一种取值于模糊数集的Choquet积分，该积分的被积函数是单值函数，所用的测度是模糊值模糊测度。给出其定义、性质和收敛定理。     

模糊值函数分析学的结构元方法简介(Ⅱ)——模糊值函数及微积分的结构元表述

介绍了利用模糊结构元的模糊值函数的解析表达形式及隶属函数确定,以及基于结构元表示的模糊值函数的微分与黎曼积分的定义、计算与部分性质.同时介绍了模糊值函数拟合的基本思想.