也谈“抽签”

《数理统计与管理》1990年第四期发表了赵仪娜同志的文章《抽签》.文中利用全概率公式算出了7个人抽到好跑道的概率均为 2/ 7.得出如下结论:抽签时抽到好跑道的概率与抽签的先后次序无关,不管先抽还是后抽,抽到好跑道的可能性是相等的. 这个结论是借助全概率公式得出的,而全概率公式隐含一个前题;我们不知道前面人抽签的结果,即前面人可能抽到好跑道,也可能抽到坏跑道.事实上,在序贯抽签中还有一个有趣的问题:如果每个人抽签后立即公布结果,即我们知道前面人抽签的结果,结论将如何呢?为什么? 我们仍用《抽签》一文中的例子.7个跑道中第三、…     

6把椅子的秘密

正1.6位年轻人在一家著名的餐厅预订了位置。最后1分钟,第七个年轻人加入了他们的队伍。2.店主:太好了,你们都在这了。我已经为你们预留了6个位置。哦,天哪,来了7个人?3.店主:不过没关系,我先让第一个人坐下,然后让他的女朋友在他的膝盖上坐几分钟。4.店主:现在第三个人挨着前两个人坐下,然后第四个人挨着第三个人坐下。第五个人坐在第一个人及其女友的对面。第六个人挨着第五个人坐下。这样就安置好了6个人,还留下一个空位子。     

抽签前后的概率问题

例现有3张入场券,然而10个同学都想去看,协商之后决定抽签碰运气.(1)抽签前顺序安排与中签的概率有没有关系?(2)开始抽签后,各人中签的概率是否相同?解(1)显然,第二人中签的概率与第一个抽签人的抽签结果有关.但是在抽签之前安排抽签顺序时,第二个人中签的概率必然要综合考虑第一个中签或不中签两种情况,这就是全概率.P(A2)=P(A1)P(A2 A1) P(A1)P(A2 A1)=310·29 710·39=2790=310,结果P(A2)=P(A1).同样地分析,可知P(A10)=P(A9)=…=P(A1).(2)开始抽签之后,后抽的人中签的概率与前面人中签与否的结果有关,这是条件概率.设Ai={第i个…     

从一道概率题的错解谈起

山西、江西、天津 2 0 0 0年高考数学试题第 17题被选为潍坊市六县市高二期末统考题 ,学生答卷出现几种错误 .剖析这些错误 ,对同学们学习概率问题具有借鉴作用 .题目　甲、乙二人参加普法知识竞答 ,共有 10个不同的题目 ,其中选择题 6个 ,判断题 4个 ,甲、乙二人依次各抽一题 .1)甲抽到选择题 ,乙抽到判断题的概率是多少 ?2 )甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少 ?错解 1:1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的可能结果有Ｃ16 Ｃ14 个 ,又甲、乙依次抽到一题的可能结果有Ｃ210 个 ,所以甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率为 (Ｃ16 Ｃ14 …     

争鸣

问题问题121《全日制普通高级中学教科书·数学》第三册(选修Ⅰ)及(选修Ⅱ)中,关于《统计》抽样方法一节中“简单随机抽样”的概念,笔者通过教学,觉得编写得不够简洁明了,也不太符合学生的认知水平,在讲到具体的实施方法“抽签法”之前,有几处提到“概率相等”,学生理解起来很吃力,不容易搞清楚.第1处:假定一个小组有6个学生,要通过逐个抽取的方法从中取3个学生参加一项活动.如果第1次抽取时每个被抽到的概率都是16,第2次抽取时,余下的每个被抽到的概率都是15,第3次抽取时,余下的每个被抽到的概率都是14,这种抽样就是简单随机抽样.在接着的…     

抽样调查(Ⅶ)——第五讲 不等概率抽样(续)

§4几种严格的无放回对pps抽样方法 在无放回不等概率抽样中,若n固定,且每个单元入样概率πi与单元的大小成正比,则必有 本节介绍几种比较实用的严格无放回pps抽样方法,其中前5种仅适用于n=2,最后3种也适用于n>2情形. 两个样本单元的抽取方法是第一个单元按与　成正比的概率抽取;第二个样本单元则是在剩下的N-1个单元按与Zj成正比的概率抽取,下面我们证明按此抽样方法,有,令于是第1个样本单元抽到单元i的概率为而第1个单元为j,第2个样本单元为概率为从而根据(5.23),可以计算样本以单元i及j组成的概率,此时即是:于是根据Horvitz-Thompson…     

排序问题浅谈

在今年的全国部分省市中学数学竞赛题中有这样一道有趣的题目:设有十个人各拿提桶一只同到水龙头前打水,设水龙头灌满第i(i=1,2,…,10)个人的提桶需时T_(i)分钟,假定这些T_(i)各不相同,问:(1)当只有一个水龙头可用时,应如何安排这十个人的次序,使他们的总的花费时间(包括各人自己接水所花     

北京数学会普及委员会即将举办第七届中学生数学爱好者夏令营

2004年暑假,我们将举办”第七届中学生数学爱好者夏令营”,争取以更高的教学及服务质量答谢广大支持我们的学校、老师、学生.●参加对象全国各地的重点中学均可选派有兴趣参加数学竞赛的中学生数学爱好者参加,每队必须有老师带队.超过20人的团队,每20名学生可免收一位领队老师各项费用,生活上接待标准不变.(如学生自发组织,每队必须有至少一个家长陪同,家长只收取生活费.)     

也谈“抽签有先后,对各人公平吗?“

现行高中数学新教材（试验本）第二册（下Ａ）的第１５８页,有一篇“阅读材料”——抽签有先后,对各人公平吗？课后,我组织学生进行了阅读、分析、讨论与理解．然而意想不到的事发生了：学生读后感到一头雾水,大眼瞪小眼,一脸的不理解．为此,先请看课本的处理方法： 例如在５张票中有１张奖票,５个人按照排定的顺序从中各抽１张以决定谁得到其中的奖票．那么,先抽还是后抽,对各人来说是公平的吗？也就是说,各人抽到奖票的概率相等吗？ 显然,对第１个抽票者来说,他从５张票中任抽１张,得到奖票的概率Ｐ１＝．为了求得第２个抽票…     

先抽签比后抽签划算吗?

"我猜一班会赢.""我猜二班会赢."咦?同学们都在讨论什么呢?原来,我们六年级即将举行一场拔河比赛,大家正在讨论哪个班会是最终的赢家. 比赛马上就要开始了,各班的班长都被叫去抽签.由于我们六年级有5个班,所以将会有一个班不用参加第1轮比赛,直接晋级第2轮.各班同学都希望自己的班级直接晋级,这样可以保持体力.     

ED(i)形图簇的伴随多项式的因式分解及色性分析

令Dm表示三阶完全圈K3的一个顶点与路Pm-2的一个1度点重迭后得到的图；ψD^(i)(k,m），表示把Dm的第i个顶点（第1个顶点是1度点）与星图Sk 1的k度点重迭后得到的图；Erm r-1^D(i)表示把rDm中一个分支的第i个顶点与Sr的r-1度点重迭，同时把其余r-1个分支的第i个顶点分别与Sr的r-1个1度点都依次连一条边后得到的图。我们证明了对于1≤i≤m,r≥2，科簇Erm r-1^D(i) ∪(r-1)K1与Dm∪(r-2)ψD^(i)(1,m)∪ψD^(i)(r,m)两的补图是色等价的。     

两类三角式的计算问题

在实际计算中,经常会碰到计算下面类型的式子赫i长丽十J蔽七矛+二王六蔽二++肃丽·不蔽刁了琢石币刀.面+漏+‘云石价万尹,2漏万7夜)十痴玩动万漏面动可,赢二」玉而了+ 1￡‘”50.51昨80.+ 1‘i月80’sl’”1 10.补+万‘”1 10.“”140’的值。这些三角式有共同的特点:(一)组成这些三角式的每一项都是分式,其分子都是l,分母都是两个余弦函数(或正弦函数)值的乘积,(二)这些三角式的各角组成的数列都是等差数列,并且相邻两项中前一项分母的后一个三角函数值等于后一项分母的前一个三角函数值这些三角函数式的值的计算是否有一般的公式呢,经初…     

阿凡提的问题

有则阿凡提的故事 ,说某财主招募拥工 ,愿以 7天 7个金环付给工资 .不过这 7个金环环环相套连在一条链上 ,在允许砸开一个环的情况下每天取走一环 ,7天取完 .才能生效 .阿凡提最后如愿以偿 .你知道他是如何做的吗 ?阿凡提只砸开第 3环 ,将 7环分成 2环、1环、4环三段 .他第一天取走断环 .第二天还回断环 ,取走 2环链 ,第 3天再加取断环……这样成功地排除了财主的刁难 .有一类问题是专门研究将一个正整数表示为若干正整数之和的 .即数论中的分拆问题 .这里阿凡提把 7表示为 2 +① + 4,其中①表示断开环 ,2和 4表示 2连环和 4连环 ,这样分拆…     

风景往往在路上熏陶常常于过程——师生探讨一道乘车座位的概率问题的过程实录

1引子原为我校的一名高中生到英国留学,不久前,他从英国回国度假时带回一道题目如下:某汽车旅游团出发前,不巧有一个人丢了他自己的乘车座位号小票,他第一个上车,所以他只好随便坐,之后上来的游客都有乘车座位号小票,如果自己的位置被人坐了,那就随便坐;否则坐到自己的位置.问最后一个上车的游客坐到自己座位的机会有多大,并请论证你的结论.当学生拿着题目来找笔者时,笔者就和他进行探讨,当研究完毕后,笔者认为此题的探索过程对加强数学知识、方法、数学解题探索的过程教学有一定的参考意义.现笔录师生的探讨过程如下,抛砖引玉供大家探讨.2…     

一道高考题的统计学背景

20 0 1年全国高考理科第 ( 2 0 )题 :“已知 i,m,n是正整数 ,且 1 相似文献   

构造复数巧解一道三角题

题目已知α,β,θ,γ均为锐角,tgα=1/2, ,求α β γ θ的值. 王德发老师在2001年7月(上)期的《中学生数学》中给出了一个几何法的巧解,下面构造复数的解法也很简捷: 解由α,β,γ,θ是锐角,知它们分别是2 i,7 i,8 i,18 i的幅角主值,进而知(α β γ θ)是(2 i)(7 i)(8 i)(18 i)=1625(1 i)的幅角主值.故α β γ θ=π/4.     

E~(G(i))类图簇的伴随多项式的因式分解及色性分析

设Sn+1是n+1个顶点的星图,G是任意的p阶连通图.ΨG(i)(n,p)表示把Sn+1的n度点与G的第i(1 i p)个顶点重迭后得到的图;ErG(p+i)(r-1)表示把rG的r-1个分支的第i个顶点依次与Sr的r-1个1度点邻接,同时把剩下的一个图G的第i个顶点与Sr的r-1度点重迭后得到的图.我们通过讨论图簇ErG(p+i)(r-1)∪(r-1)K1的伴随多项式的因式分解,证明了它的补图的色等价图的结构性质.     

王太太握了多少次手?

张、王、李、赵、陈五对夫妇聚会 ,见面时互相握手问候 .王先生好奇地私下向每个人 (包括他太太 )打听刚才握手的次数 .得到的回答使他惊奇 ,九个人中竟然没有两个人握手的次数相同 .你能告诉我王太太握手的次数吗 ?这是当代著名的数学科普大师马丁·加德纳出的一道逻辑推理趣题 .我国数学科普作家谈祥柏先生在他著的《数学广角境》(江苏教育出版社 1998年出版 )中介绍了这道趣题 .显然 ,每个人不会和自己握手 ,也不会和自己的配偶握手 .当然某两人之间也不会握两次手 .此外 ,由于各种原因造成可握手的人并不一定都握手 .因此在他们这 10个…     

多讲?少讲?不讲?

近日读到著名经济学家张五常回忆其大学老师的一篇文章 ,引起我的一些思考 .文章说 ,老师让学生花了四个星期的时间自己去研究问题解决的办法 ,但学生们都找不到办法 .第五个星期 ,老师进入课室 ,“在五十分钟内 ,他如长江大河 ,滔滔不绝 ,使我听得呆了 .……”作者说 ,“假若没有经过那四个星期去想 ,我不会在五十分钟之内被老师说服的吧” .虽然故事讲的是大学教学 ,但是 ,我想我们的中学教学中 ,不也存在一个“讲”与“不讲” ,“多讲”与“少讲”的问题吗 ?在“满堂灌”的授课方式受到批评后 ,不少老师又都在培养学生能力的口号下祭起了…     

三人行,必有我师

“三人行,必有我师”这句话出自《论语》,说的是古代一位大学问家孔子,虽然他的学问很高,但仍很谦虚,自称与任意两人(加上自己共三人)同行,则他们中间一定有一个可以做自己的老师.这是孔子一句自谦的话,实际情况怎样?俗话说“三百六十行,行行出状元.”我们不妨把一个人的才能分成36 0个方面.因为孔子是大学问家,我们假设他在每一行的排名都处在前的可能性为99,即任意一个人在任一方面的才能低于他的可能性为99.则在任一行中,另外两个的才能均不超过孔子的可能性是99×99=98.0 1,而在36 0行中,另外两人的才能均不超过孔子的可能性…