两个不等式的统一推广与应用

2004年第16届亚太地区数学奥林匹克试题第5题[1]的内容为证明:对任意正实数a,b,c,均有(a2 2)(b2 2)(c2 2)≥9(ab bc ca)(1)而2004年美国第33届数学奥林匹克试题第5题[2]的证明包含下列不等式(a3 2)(b3 2)(c3 2)≥(a b c)3(2)其中a,b,c∈R .本文对此类不等式进行了统一推广,构造了一个含有三个参数的不等式,并且给出了一些重要应用(推论).定理对于a,b,c∈R ,λ,μ,γ∈R ,n∈R ,则有(1λa3 2n)(1μb3 2n)(1γc3 2n)≥3n2(a b c)3λ μ γ(3)为证明定理需要引用两个引理.引理1对于a,b,c∈R ,n∈R ,有(a3 2n)(b3 2n)(c3 2n)≥3n2(a3/2 b3/2 …     

一道世界数学团体锦标赛试题的解法与推广

<正>1试题呈现(第1届世界数学团体锦标赛(WMTC)青年组团体赛)设a,b,c皆为正实数,a+b+c=1,则M=(3a+1)(1/2)+(3b+1)(1/2)+(3c+1)(1/2)的整数部分是___.     

两个不等式的统一推广与应用

2004年第16届亚太地区数学奥林匹克试题第5题[1]的内容为 证明:对任意正实数a,b,c,均有 (a2 2)(b2 2)(c2 2)≥9(ab bc ca)     

一个四元不等式猜想的构造证明

2004年第16届亚太地区数学奥林匹克试题第5题[1-2]的内容为:证明:对于任意正实数a,b,c,均有(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥9(ab+bc+ca).     

一道2000年IMO试题的背景

第41届(2000年)国际数学奥林匹克试题第2题为[1]:设a、b、c是正实数,且满足abc=1,证明:(a-1 1b)(b-1 1c)(c-1 1a)≤1.(1)我们认为,该题是以1983年瑞士数学奥林匹克试题第2题为背景编制的:设x、y、z是正实数,证明:xyz≥(y z-x)(z x-y)(x y-z).(2)事实上,(2)式可变形为(yx-1 zx)(     

2004年美国数学奥林匹克第5题的推广

题设 a，b，c是正实数，证明：(a^5-a^2 3)(b^5-b^2 3)(c^5-c^2 3)≥(a b c)^3(2004年美国第33届数学奥林匹克第5题).     

世界各地数学奥林匹克试题摘编

本文中|A|表示集合A的元素个数.1设P(x)=x~3-3x 1.求一个多项式Q(x),使得Q(x)的根是P(x)的根的5次幂.解设a,b,c是P(x)的根.由根与系数的关系,有依题意知,Q(x)=(x-a5)(x-b5)(x-c5)=x3-(a5 b5 c5)x2 (a5b5 a5c5 b5c5)x-a5b5c5=x3-S5x2 T5x 1.这里S5=a5 b5 c5,T5=a5b5 b5c5 c5a5.对于正整数n,令Sn=an bn cn,则有T5=21(S52-S10),所以要求Q(x),只需求出S5与S10.∵S1=a b c=0,S2=(a b c)2-2(ab bc ca)=6.又a,b,c是方程x3=3x-1的根,所以a3=3a-1,b3=3b-1,c3=3c-1,由此易得Sn 3=3Sn 1-Sn(n≥1),∴S3=3(a b c)-3=-3,S4=3×S2-S1=3×6-0=18…     

一道不等式试题的再推广

题目　给定正数a ,b ,c ,d ,证明 :a3 b3 c3a b c b3 c3 d3b c d c3 d3 a3c d a d3 a3 b3d a b　≥a2 b2 c2 d2 ( 1 )(美国大学生竞赛试题 )文 [1 ]探讨了这道不等式试题的背景 ,并将其推广为 :设xi∈R (i =1 ,2 ,… ,n) ,记Sn= ni=1xin 1,Gn= ni=1xi,Tn= ni=1xin,则　 Sn-x1n 1Gn-x1 Sn-x2 n 1Gn-x2 … Sn-xnn 1Gn-xn ≥Tn ( 2本文将把 ( 2 )式进一步推广为 :命题　设α ,β∈R ,且 β(α - β) >0 ,xi∈R (i=1 ,2 ,… ,n) ,则x2 α x3 α … xnαx2 β x3 β … xnβ x1α x3 α … xnαx…     

不等式中的一对姐妹花

若a,b,c是正数,且a b c=1,则有(1/(b c)-a)(1/(c a)-b)(1/(a b)-c)≥(7/6)~3 (1)当且仅当a=b=c=1/3时取等号.(1/(b c) a)(1/(c a) b)(1/(a b) c)≥(11/6)~3 (2)当且仅当a=b=c=1/3时取等号.这两个不等式堪称一对姊妹花,漂亮而有趣.     

一个轮换对称不等式的证明

文[1]中,证明了一个优美的三角形轮换对称不等式　　∑a2≥4△b2a2+c2b2+a2c2.(1)不等式(1)经变换等价于∑m2ah2a≥12(b2a2+c2b2+a2c2)+32.(2)其中a、b、c,ma、mb、mc,ha、hb、hc,△分别表示△ABC的三边长,中线,高及面积.本文将给出类似不等式(2)的一个结论.定理　在△ABC中有　　∑m2aa2≥34(b2a2+c2b2+a2c2).(3)证明　先将(3)式右边进行恒等变换可得　2(b2a2+c2b2+a2c2)=b2a2+c2b2+a2c2-a2b2-b2c2-c2a2+∑(c2b2+b2c2)=(a2-b2)(b2-c2)(a2-c2)a2b2c2+∑b2+c2a2.而　　∑4m2aa2=∑2b2+2c2-a2a2=2∑b2+c2a2-3,所以(3)式等价于　14(2∑b2+c2a2-3)≥38[(a2-b2)(b2-c2)(a2-c2)a2b2c2+∑b2+c2a2]上式化简整理∑b2+c2a2-6≥3(a2-b2)(b2-c2)(a2-c2)a2b2c2　∑a2(b-c)2　≥3(a2-b2)(b2-c2)(a2-c2).(4)(4)式左...     

一道美国数学奥赛题的再思考

第33届美国数学奥林匹克第5题为:设a,b,c均为正实数,证明:(a5-a2 3)(b5-b2 3)(c5-c2 3)≥(a b c)3.文[1]推广了上述不等式,得到如下结果:设ai>0,i=1,2,…,3k,k为自然数,则∏3ki=1(ai5k-ai2k 3k)≥(∑3ki=1ai)3k.文[2]将[1]的结论再推广为:设ai>0,i=1,2,…,n,α,β为正实数,则∏     

一个四元十四次不等式

<中等数学>1997年第4期的数学奥林匹克问题第56是: 设a,b,c,d∈R,且a b c d=0, 求证:(I)3(a3 b3 c3 d3)2 ≤(a2 b2 c2 d2)3; (1) (ii)108(a5 b5 c5 d5)2 ≤25(a2 b2 c2 d2)5 (2) 受此题启发,笔者发现了如下     

一个不等式的证明及引伸推广

贵刊 2 0 0 2年第 2期数学问题第 3题是 :设a、b、c ∈R ,且abc =1,求证 :a3(c b) (a c) b3(b c) (b a) c3(c a) (a b) ≥ 34( 1)一、关于不等式 ( 1)的证明原证明是在假定a≥b≥c的前提下运用排序不等式给出的 ,但由于不等式 ( 1)的左端不是关于a、b、c的对称式 ,故原证明有不妥之处 ,下面我们给出不等式 ( 1)的一个证明 .证明 :记不等式 ( 1)的左端为M ,由平均值不等式得a3(c b) (a c) c b8 a c8≥ 33 a364 =3a4,即 a3(c b) (a c) ≥ 5a -b-2c8.同理 ,b3(b c) (b a) ≥ 5b -c-2a8,c3(c a) (a b) ≥ 5c-2a -b8,以上三个不等式…     

一道2013年全国初中数学联赛题的另解

2013年全国初中数学联赛试题中有如下一道条件求值问题:若正数a、b、c满足b2+c2-a22()bc2+c2+a2-b22()ca2+a2+b2-c22()ab2=3,求代数式b2+c2-b22bc+c2+a2-b22ca+a2+b2-c22ab的值.本刊2013年5月下第28页给出了组委会提供的反证法,但是一般学生不易想到,现在提供一种大多数学生想得到,易操作的因式分解法.供参考与欣赏.解易知条件(b2+c2-a22bc)2+(c2+a2-b22ca)2+(a2+b2-c22ab)2-3=0.[(b2+c2-a22bc)2-1]+[(c2+a2-b22ca)2-1]+[(a2+b2-c22ab)2-1]=0.(b2+c2-a22bc+1)(b2+c2-a22bc-1)+(c2+a2-b22ca+1)(c2+a2-b22ca-1)+(a2+b2-c22ab+1)(a2+b2-c22ab-1)=0.     

一道不等式试题的再推广

题目(美国大学生竞赛试题)给定正数a,b,c,d,证明:a3 b3 c3a b c b3 c3 d3b c d c3 d3 a3c d a d3 a3 b3d a b≥a2 b2 c2 d2(1)文[1]探讨了这道试题的背景并将其进行推广,文[2]又将(1)式再推广为:设α,β∈R,且β(α-β)>0,xi∈R (i=1,2,…,n).则x2α x3α … xnαx2β x3β …     

对一道IMO试题的发散性研究

1赛题与启示 第24届IMO试题: 设a,b,c是三角形的边长,试证a2b(a-b) b2c(b-c) c2a(c-a)≥0(1)     

一个加强不等式的简证

2004年亚太地区数学奥林匹克试题5为: 　　证明:对任意正实数a,b,c,均有(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥9(bc+ca+ab).……     

一个加强不等式的推广

文[1]将法国Mohammed Aassila教授提出的不等式1a(1 b) 1b(1 c) 1c(1 a)≥31 abc(1)(其中a,b,c>0)加强为1a(1 b) 1b(1 c) 1c(1 a)≥33abc(1 3abc)(2)在证明(2)式时,首先作了适当代换(详见文[1]),即证明了与(2)等价的如下不等式:a1a2 ka3 a2a3 ka1 a3a1 ka2≥31 k(3)其中a1,a2,a     

对一个不等式的简证及探究

文[1]给出并证明了如下不等式:若a,b,c是正数,且a b c=1,则有:(1/(b c)-a)(1/(c a)-b)(1/(a b)-c)≥(7/6)3(1)当且仅当a=b=c=13时,不等式(1)取等号.文[1]的证明方法虽然精妙,但过程繁琐且不宜推广,现给出不等式(1)的一种简单证法.证明由a b c=1可得a=1-(b c),b=1-(a c),c=1-(a b),故不等式(1)等价于(1b c b c-1)(1c a c a-1)(1a b a b-1)≥(76)3(2)令f(x)=ln(1x x-1),00,故f(x)为(0,1)上的下凸函数,从而由Jensen不等式,有f(b c)…     

2014年全国高中数学联赛加试第一题及其“根”的探究

一、赛题的"根"2014年全国高中数学联赛A卷加试第一题(以下简称"赛题"):设实数a,b,c满足a+b+c=1,abc>0,求证:bc+ca+ab<1/4+(abc)(1/2)/2.(1)看赛题,笔者自然而然回想起了文1所述的一道竞赛题:(2010年全国高中数学联赛广东预赛第3题,以下简称"试题")设非负实数a,b,c满足a+b+c=1,求证:bc+