Funzioni tensoriali di un vettore e leggi elementari dell’elettromagnetismo

Sunto Si espone un algoritmo particolarmente adatto per lo studio delle leggi elementari dell’elettromagnetismo, sia allo scopo di stabilire il grado di indeterminazione da cui sono affette, sia allo scopo di determinare tutte le leggi elementari dotate di requisiti assegnati. Nel primo capitolo si esaminano le proprietà generali delle leggi elementari e si classificano. Nel secondo capitolo si studiano i tensori del secondo e del terzo ordine associati alle leggi elementari. Tali tensori sono tutti funzioni di un vettore e godono delle proprietà che al mutare della terna di riferimento le nuove componenti del tensore, espresse in funzione delle nuove componenti cartesiane del vettore, godono dell’invarianza formale. Tale proprietà si traduce in un sistema di equazioni funzionali, che vengono risolte. Si ha così che le 9 (27) componenti del tensore di secondo (risp. terzo) ordine possono essere espresse mediante una combinazione lineare di sole 3 (risp. 7) funzioni del solo modulo del vettore, che vengono chiamate “funzioni di distanza” del tensore. La ricerca delle leggi elementari dotate di proprietà assegnate dà luogo a sistemi di equazioni differenziali fra le componenti dei tensori associati alle dette leggi. Tali sistemi constano talvolta di un enorme numero di equazioni alle derivate parziali del primo o del secondo ordine. Tuttavia la sopradetta conoscenza della semplice struttura dei tensori incogniti ed un appropriato procedimento di calcolo permettono di pervenire alle soluzioni in modo relativamente semplice, rispetto alle complessità che la questione offre a prima vista. Alcuni esempi vengono illustrati. Nel terzo capitolo si risponde in modo esauriente all’antica questione relativa all’indeterminazione della prima legge elementare diLaplace. Nel quarto capitolo si determinano le espressioni generali di particolari insiemi di leggi elettrodinamiche. Ad Antonio Signorini nel suo 70^mo compleanno.     

Sul massimo numero di nodi di una superficie di dato ordine dello spazio ordinario o di una forma di un iperspazio

Sunto L'A. si occupa d'un problema considerato da un secolo a questa parte da molti geometri, senza che tuttavia si fosse pervenuti finora alla soluzione, all'infuori dei particolari valori m=2, 3, 4 dell' ordine. Si tratta del massimo numeŕo di punti doppi conici che può acquistare una superficie d'ordine m dello spazio ordinario, senza acquistare una linea doppia. Occorrono per la ricerca i mezzi più elevati della geometria algebrica e la preparazione di molte interessanti proprietà accessorie delle varietà, per le quali poi si dà un cenno d'estensione del teorema trovato. Entrata in redazione il 12 giugno 1946.     

Le leggi di trasformazione di alcune grandezze termodinamiche in relazione ad una nuova formulazione del tensore energetico dei fluidi

Sunto. Lo scopo del lavoro è di determinare le leggi di trasformazione relativistiche dell'energia interna, dell'entalpia, ecc., nel contesto di una nuova formulazione del tensore energetico dei fluidi e di una consequente nuova interpretazione delle sue componenti. Si pone in evidenza l'insufficienza dell'attuale impostazione della dinamica relativistica dei mezzi continui e si mostra che il tensore tridimensionale degli sforzi secondo Cauchy ed il concetto di pressione possono essere considerati soltanto nel riferimento di istantanea quiete del generico elemento del mezzo. Nel sistema di osservazione, rispetto a cui si muove il fluido, si introducono invece gli sforzi cinetici relativistici. A Dario Graffi nel suo 70° compleanno Entrata in Redazione il 15 giugno 1975. Lavoro eseguito nell'ambito dei Gruppi di ricerca matematici del Consiglio Nazionale delle Ricerche.     

Sopra l'esistenza dell'estremo per una classe di integrali curvilinei in forma parametrica

Sunto Mediante la semicontinuità l'A. perviene a teoremi di esistenza dell'estremo assoluto per problemi variazionali relativi a integrali curvilinei dello spazio in forma parametrica dipendenti dalle derivate di ordine non superiore al terzo. I risultati raggiunti provano l'efficacia dell'impostazione che l'A. ha dato a tali problemi in una Memoria recentemente pubblicata nei Rend. del Circolo Matematico di Palermo, e al tempo stesso pongono in luce sia differenze tra il problema del terzo ordine e quello del secondo ordine, sia, per questo ultimo problema, diversità tra gli integrali curvilinei dello spazio e quelli del piano, di cui l'A. si era occupato alcuni anni fa. A Giovanni Sansone nel suo 70^mo compleanno.     

Sopra un problema relativo ai trasporti rigidi di vettori negli spazi quadrimensionali

Sunto. Si studiano le condizioni alle quali debbono soddisfare le componenti di un tensore doppio emisimmetrico caratteristico di un trasporto rigido lungo una linea di una varietà a quattro dimensioni, perchè esso sia del tipo(18), dove v è un vettore particolare ed u il vettore generico che viene trasportato, che è il tipo generale per una varietà a due dimensioui.     

Contributi alla topologia differenziale delle coppie di calotte del 3o ordine tangenti

Sunto In uno spazio numericoX _n si considera una coppia di calotte superficiali o tridimensionali det 3^o ordine tangenti nel loro centro comune e dopo avere esteso ad essa la nozione di giacitura principale, in relazione ai possibili valori della dimensione k di questa si studiano le proprietà topologiche della coppia di calotte. Ci si limita ad esaminare i casi in cui k assume il valore minimo, mentre si studia in modo completo il caso di due calotte superficiali del 3^o ordine aventi in comune una calotta di 2^o ordine. Alcuni risultati vengono estesi al caso di due calotte d'ordine s aventi in comune una calotta d'ordine s-2. Vengono fatte infine applicazioni nell'ipotesi che le calotte in esame siano immerse in uno spazio proiettivo A Enrico Bompiani in occasione del suo Giubileo Scientifico     

Onq-projectively recurrent spaces

In questa nota sono studiati gli spazi proiettivamenteq-ricorrenti, definiti dalla relazione % ZbItLDhis9wBH5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbb \(W_{ijk, m_1 m_2 \ldots m_q }^p = a_{m_1 m_2 \ldots m_q } W_{ijk}^p \) ; doveW _ijk ^p sono le componenti del tensore proiettivo di Weyl. Nei teoremi 4 e 7 è data una forma canonica del tensore di curvatura di questi spazi. È quindi dimostrato che uno spazio di questo tipo non può essere uno spazio di Einstein. Sono pure studiati gli spazi proiettivamenteq-ricorrenti che nello stesso tempo sono conformemente Euclidei e il casoq=2.     

Sui fluidi capaci di elettro-magneto-strizione dai punti di vista classico e relativistico

Sunto Si pongono le basi di una generale teoria dell'elettro-magneto-strizione (con deformazioni finite e coppie di contatto). Inoltre, in particolare, si dimostrano varie proprietà dei fluidi, eventualmente viscosi, capaci di elettro-magneto-strizione e di coppie di contatto; di queste alcune sono estensioni relativistiche (non banali) di teoremi classici, altre vengono dimostrate prima in Fisica classica e poi estese alla Relatività ristretta o generale. Nel presente lavoro sono essenziali, tra l'altro, certi risultati, concernenti il tensore energetico E_αβ del campo elettromagnetico, esposti nella recente nota [9′] dello stesso autore.     

Sistemi di circuiti tracciati su una superficie omeomorfa al toro e loro modelli algebrici

Sunto Si studiano i sistemi di circuiti tracciati su una superficie omeomorfa al toro, di fronte all'omologia unidimensionale. Si ravvisa che ad una classe d'omologia compete un solo invariante topologico, che è un intero d ≥ 0 qui denominato ?grado? della classe. Esso fornisce altresì il minimo numero di circuiti non intrecciati e disgiunti che intervengono in un ciclo della classe; inoltre, trascurando il valore d = 0 che risponde alla classe dei cicli omologhi a zero, si trova che d −1 è il minimo numero di punti doppi posseduti da un circuito il quale, orientato, sia un ciclo di una classe di grado d. Anche si costruiscono modelli di cicli, appartenenti a classi diverse, col minimo numero di mutue intersezioni. Infine si costruiscono in ogni classe modelli algebrici (cioè realizzati con le parti reali di curve algebriche reali) soddisfacenti a requisiti di minimo. Lavoro eseguito nell'Istituto di Geometria dell'Università di Pavia, nell'ambito del Gruppo di ricerca N. 32 (?Questioni di realità che offrono gli enti algebrici?) del Consiglio Nazionale delle Ricerche (Comitato per la Matematica).     

Sopra l'esistenza dell'estremo assoluto per problemi variazionali di ordinen anche con riferimento a una nuova definizione di intorno

Sunto. Nel presente lavoro viene ripreso in esame il problema dell'esistenza dell'estremo assoluto per una classe di integrali curvilinei dello spazio in forma parametrica dipendenti da elementi differenziali fino all'ordine n (n>3) e invarianti rispetto al parametro. Tale problema viene trattato, oltre che con riferimento alla definizione di intorno (ϱ)ⁿ di una curva ordinaria C ₀ ⁽ⁿ⁾ , considerata in precedenti ricerche dall'A., anche in base a una nuova definizione di intorno {ϱ}ⁿ di una curva ordinaria C ₀ ⁽ⁿ⁾ introdotta recentemente dall'A. Si perviene dapprima a un teorema di esistenza valido con riguardo sia all'una che all'altra delle citate definizioni. In seguito, invece, il problema stesso viene trattato separatamente nei due casi in cui si fa riferimento o all'una o all'altra delle definizioni sopra indicate, e si perviene a teoremi di esistenza dell'estremo assoluto la cui validità è assicurata in classi di curve ordinarie C⁽ⁿ⁾ che sono complete rispettivamente di ordine n-(I) o di ordine n-(II). I risultati ottenuti, alcuni dei quali sono nuovi anche per n=3, vengono illustrati con vari opportuni esempi. Entrata in Redazione il 22 dicembre 1976. Lavoro eseguito nell'ambito del G.N.A.F.A. (C.N.R.).     

Spazio delle configurazioni e vincoli di anolonomia

Riassunto Si considera il moto di un sistema soggetto a vincoli di olonomia e di anolonomia. Dopo aver scontati i vincoli del primo tipo con l'introduzione del moto di un punto rappresentativo entro lo spazio delle configurazioni, si mostra l'utilità, per tener conto anche di quelli del secondo tipo, della introduzione di un'opportuna n-pla di congruenze ortogonali, alcune delle quali individuate dai vincoli di anolonomia; si mostra in particolare il significato che hanno, nello studio del moto di tali sistemi, i coefficienti di rotazione del Ricci. A Bruno Finzi nel suo 70 ^mo compleanno. Entrata in Redazione il 5 gennaio 1970.     

Proprietà topologiche della varietá degli elementi differenziali del secondo ordine dell'S r complesso

Sunto Si considera il modello V, di dimensione complessa 3r-2, della varietà degli elementi differenziali del secondo ordine di uno spazio proiettivo complesso S_r, costruito daG. Gherardelli, E. Bompiani, C. Longo. In questo lavoro tale modello viene considerato come varietà topologica a 2(3r-2) dimensioni reali e, mediante l'uso di un opportuno complesso cellulare, se ne determina il gruppo di omologia intera, assegnando altresì un semplice significato geometrico, nello spazio S_r, per i sistemi fondamentali di cicli delle varie dimensioni. Ne consegue, in particolare, che il gruppo di omologia di V è isomorfo a quello del prodotto di un S_r-1 per la varietà degli elementi di primo ordine di un S_r, in accordo con un risultato diF. Gherardelli ottenuto per altra via; ma si stabilisce d' altra parte che V non è, almeno in generale, omeomorfa a tale prodotto. Si prova, per inciso, che anche la varietá degli elementi di primo ordine di S_r, non è prodotto di un S_r-1 per un S_r, quantunque le due varietà abbiano anch'esse gruppi di omologia isomorfi. A Enrico Bompiani in occasione del suo Giubileo scientifico. Lavoro eseguito nell'ambito del gruppo di ricerca n. 37 del C. N. R. per l'anno accademico 1960–61.     

On the locus of curves with automorphisms

Sunto Si descrivono le componenti del luogo delle curve con automorfismi non banali all'interno dello spazio dei moduli delle curve algebriche di genere maggiore o uguale a tre. Si descrivono poi le componenti del luogo singolare dello spazio dei moduli delle curve di genere maggiore o uguale a due.

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Durante questa ricerca l'autore ha usufruito di un finanziamento del Ministero della Pubblica Istruzione.

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Sulla dinamica relativistica di un fluido ideale conduttore di calore

Sunto Si stabiliscono le equazioni fondamentali della dinamica relativistica di un fluido ideale conduttore di calore, muovendo dai principi della dinamica di un corpuscolo a massa di quiete variabile. Successivamente si deduce il tensore energetico del suddetto mezzo che, solo nella forma, appare identico a quello dei fluidi ideali isentropici. Entrata in Redazione il 28 novembre 1972. Lavoro eseguito nall'ambito dall'attività dei Contratti di ricerca matematica del Consiglio Nazionale delle Ricerche.     

Teoria analitica del campo elettromagnetico

Sunto Nell’Introduzione si illustra l’opportunità di fondare la teoria matematica del campo elettromagnetico sullo studio degli integrali dell’equazione rot K+mK=Φ, con m costante complessa non nulla. Una tale scelta si manifesta infatti particolarmente adatta ai problemi posti dalla tecnica delle onde elettromagnetiche. La Teoria dell’equazione omogenea rot K+mK=0 può essere sviluppata secondo due indirizzi, uno integrale e l’altro fondato sullo sviluppo del vettore K in serie di opportune funztoni. Ciò in analogia con quanto avviene nella Teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa. La presente memoria appartiene totalmente all’indirizzo integrale. Nella Parte Prima si deduce un’espressione integrale la quale fornisce il valore assunto dal vettore K in un punto di un dominio regolare a partire dalla conoscenza dei valori da esso assunti sul contorno. Si esaminano le proprietà della relazione integrale stabilita. Fra l’altro si deduce che quando un integrale dell’equazione rot K+mK=0 è continuo in un campo con le sue derivate parziali prime esso vi è analitico. Nella Parte Seconda si stabilisce una condizione necessaria e sufficiente affinchè esista in un dominio V di contorno S un vettore K, continuo in V, soddisfacente in V — S all’equazione rot K+mK=0 (m non reale) e riducentesi sul contorno a un vettore G assegnato. La condizione ottenuta è una relazione integrale fra i valori assunti da G sul contorno S di V. La Parte Terza è dedicata alla traduzione in equazioni integrali dei problemi posti dall’elettromagnetismo. Le equazioni integrali si riferiscono ai valori assunti dai campi elettrico e magnetico sulle superfici di separazione dei diversi mezzi, ciascuno dei quali omogeneo e isotropo, nei quali il campo elettromagnetico si estende. I teoremi stabiliti nella prima e seconda parte della memoria consentono di affermare la necessità e la sufficienza delle equazioni integrali scritte. In tutta la memoria, accanto all’equazione rot K+mK=Φ, viene pure considerato il sistema di equazioni rot K=Φ, div K=f relativo ai campi statici.     

Sul teorema di unicità per le equazioni del campo elettromagnetico in un plasma

Sunto Si dimostrano alcuni teoremi di unicità per le equazioni non-lineari del campo elettromagnetico in un plasma in cui si tiene conto della pressione dei corpuscoli elettrici. I teoremi sono sempre dimostrati nel caso non stazionario, anzitutto supponendo che il plasma occupi tutto lo spazio, poi vengono estesi al caso di un dominio finito con opportune ipotesi alla frontiera. Infine si ottengono teoremi di unicità nel caso in cui, per effetto di campo magnetico, la pressione diventa anisotropa. A Bruno Finzi nel suo 70^mo compleanno Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei gruppi di ricerca del C. N R. Entrata in Redazione il 19 gennaio 1970.     

Comultiplications in algebra and topology

Si studiano le proprietà degli oggetti con comoltiplicazione (cioè co-H-oggetti) nelle categorie che ammettono un coprodotto e i funtori fra queste categorie. Si dimostra che questi funtori conservano le proprietà dei co-H-oggetti. Queste osservazioni generali si applicano inoltre ai seguenti esempi specifici di categorie e funtori: la categoria omotopica degli spazi puntati, la categoria delle algebre graduate commutative, la categoria delle algebre graduate associative, la categoria delle algebre di Lie graduate e la categoria dei gruppi. I funtori sono: il gruppo fondamentale, il funtore coomologia, il funtore omologia dello spazio di cammini chiusi di uno spazio e il funtore gruppo omoto pico. Si dimostra che in questi casi specifici si ottengono risultati classici ben noti.

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Conferenza tenuta il 15 aprile 1996     

On a quadratic functional occurring in a bivariate scattered data interpolation problem

Sunto L’applicazione di noti metodi che utilizzano funzioni di tipo blending per la costruzione di funzioni bivariate C¹ per l’interpolazione di dati, richiede la conoscenza delle derivate parziali del primo ordine ai vertici di una triangolazione sottostante. In questo lavoro consideriamo il metodo proposto da Nielson, che consiste nel calcolare stime delle derivate parziali del primo ordine minimizzando un opportuno funzionale quadratico, caratterizzato da parametri di tensione non negativi. Scopo del lavoro è l’analisi di alcune proprietà particolari di questo funzionale per la costruzione di algoritmi efficienti e robusti per la determinazione delle stime suddette delle derivate quando si ha a che fare con insiemi di dati di grandi dimensioni. Abstract The application of widely known blending methods for constructingC ¹ bivariate functions interpolating scattered data requires the knowledge of the partial derivatives of first order at the vertices of an underlying triangulation. In this paper we consider the method proposed by Nielson that consists in computing estimates of the first order partial derivatives by minimizing an appropriate quadratic functional, characterized by nonnegative tension parameters. The aim of the paper is to analyse some peculiar properties of this functional in order to construct robust and efficient algorithms for determining the above estimates of the derivatives when we are concerned with extremely large data sets.      

Discontinuità e ipersuperfici caratteristiche in magnetofluidodinamica relativistica

Sunto L'A., dopo aver mostrato come si riduce il numero delle equazioni della m.f.d. in relatività generale quando la conducibilità elettrica è infinita, esamina le ipersuperfici di discontinuità nelle derivate delle funzioni incognite e ricerca le soluzioni proprie dei sistemi di equazioni lineari omogenee nei parametri di discontinuità. In primo luogo viene esaminato il sistema, indeterminato, che si deduce dalla solenoidalità del tensore energetico e dalle equazioni di Maxwell; successivamente si esaminano i sistemi determinati o associandovi l'ipotesi che il fluido sia barotropico, comprimibile o incomprimibile, o che valga un'equazione termica di stato e il principio di conservazione della densità numerica delle particelle. Si distingue tra ipersuperfici che siano luogo di linee di corrente e di linee di forza per il campo magnetico, e ipersuperfici che siano in vari modi intersecate da linee di corrente e da linee di forza, ottenendone le equazioni differenziali, nonchè i legami tra i parametri di discontinuità.

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Summary The A., after having shown how the number of the equations of magnetofluid-dynamics in general relativity is reduced when the electrical conductivity is infinite, studies the discontinuity manifolds of the derivatives of the unknown functions and looks for the eigensolutions of the linear homogeneous equations in the jumps of the derivatives. Firstly the A. studies the indeterminate system derived from the equations which state that the divergence of the energy-tensor is null and from the Maxwell equations; successively, he studies the systems which are determined by the hypothesis that either the fluid is incompressible, or is compressible and barotropic, or by a caloric state equation and by the conservation law of the numerical density of the particles. A distinction is made form manyfolds locus of path lines and locus of lines of force for the magnetic field and manyfolds which are variously crossed by path lines and by lines of force. The differential equations of the manyfolds and the relations from the jumps are found.

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei Gruppi di ricerca Matematici del C.N.R.     

Sull'integrazione delle funzioni quasi-periodiche astratte

Sunto Si estende il teorema diBohr, sull'integrazione delle funzioni quasi-periodiche a valori in uno spazio euclideo, alle funzioni quasi-periodiche a valori in uno spazio diBanach uniformemente convesso. Si mostra poi, con esempi, che l'ipotesi di compattezza posta daBochner non può, nel caso generale, essere sostituita da un'ipotesi di limitatezza. A Enrico Bompiani in occasione del suo Giubileo scientifico. Istituto Matematico del Politecnico di Milano.