求函数值域的方程视角

函数的值域是函数概念的一个重要组成部分,在研究函数的图象、性质及实际问题中非常有用．求函数的值域的方法很多,如常说的观察法、配方法、图象法、判别式法、换元法等等,但广大师生仍然普遍感到求函数的值域问题是教学中的一个难点．本文试图给出求函数值域问题的一个一般方法,方法虽然并非对每一个具体问题都很简洁,但的确是解决这类问题的通法．现介绍如下,请同行指教．     

用斜率求函数的值域

本文介绍利用直线的斜率求一类分式函数的值域.例1求函数y=(3x2-1)/(x2+2)的值域.解y可看成是点A(-2,1)与点(X,3x2)连线的斜率.设x′=x′,y′=3x2,则y′=3x′(x′≥0),故原函数的值域即为点A(-2,1)与射线y′=3x′(x′≥0)上的点(x′,y′)的连线斜率的取值范围.     

用代换法求函数值域

代换法是一重要的数学方法,在中学数学乃至高等数学的学习中都有着广泛的应用。运用它常常可使问题化繁为简,化难为易。本文仅就利用代换法求函数值域加以说明。例1 求函数的值域, 解∵,故设(x-1)~(1/2)=t(t≥0)则 x=t~2+1 从而 y=-t~2+t-1(t≥0) ∵例2 求函数的值域。     

用解析几何模型求函数的值域

解析几何是用代数的方法研究几何问题 ,而某些代数问题 ,根据其结构特征 ,也可构造为解析几何问题 ,本文以求函数值域为例 ,构造解析几何模型 ,使数形转化 ,便于解题 .1　构造距离模型例 1　求函数 ｆ (ｘ ) =ｘ2 ｘ 1-ｘ2 -ｘ 1的值域 .解　由 ｆ(ｘ) =ｘ2 ｘ 1-ｘ2 -ｘ 1=(ｘ 12 ) 2 (32 - 0 ) 2 (ｘ - 12 ) 2 (32 - 0 ) 2 .图 1　例 1图故 ｆ(ｘ)可看作平面上点Ｐ (ｘ ,32 )到两点Ｍ(- 12 ,0 ) ,Ｎ(12 ,0 )的距离之差 ,显然 ｆ(ｘ)的值域为 (- 1,1) .例 2　已知 ｆ(μ) =μ2 ａμ ｂ - 2 ,μ =ｘ 1ｘ图 2　例 2图(ｘ≠ 0 ,ａ…     

反函数法求函数的值域是错误的——兼谈方程法求函数的值域

反函数法求函数的值域是错误的—兼谈方程法求函数的值域梁伍德（北京市第二十二中学）１“反函数法求函数的值域”是错误的．这种提法，一般是说“反函数的定义域是原来函数的值域，因此，求出反函数，再求出反函数的定义域，这就是原来函数的值域”．说得细致一些，还指...     

用斜率公式求函数值域的体会

<正>近日看到一篇谈变式学习的文章,读后通过对文中介绍的两个例题常见解法的进一步比较和思考,突然对"用直线斜率公式求函数值域"这一方法有了深刻理解,进而产生了举一反三的学习效果,欣喜之余将自己的学习过程和体会总结出来与同学们分享.先看一下文中介绍的两个例题和常见解法.例1求函数y=1+sinx/2+sinx的值域.     

求函数值域的一般方法

关于函数值域的确定,是统编高中数学教材中的一个难点。学生作题通常没有一般方法可循,并且容易出现混乱和错误。本文拟给出求初等函数值域的一般方法。下面我们提出三个定理,为尽量避免使用较多的实数理论,仅用几何图形加以直观说明,不给出严格论证。然后归纳出只需运用简单的导数知识,对中学生可行的初等函数值域的一般方法。定理1 若函数y=f(x)满足条件 (1)、在闭区间〔a,b〕上连续; (2),最大值、最小值分别为M,m,则函数y=f(x)的值域为〔m,M〕。(其中mM) 定理1中,M、m的存在性与结论的正确性从函数图象(图1)上看是很明显的。例1,求函数f(x)=x~2-5x+6,x∈〔2,     

求函数值域的若干方法

函数值域是高中数学的难点．这是因为它没有固定的方法和模式，大部分值域问题与函数的最值问题密切相关，解决这类问题既涉及刭一些具体的解题方法．又涉及一些抽象的逻辑方法．所以难以找到最佳的思维定势。这里仅就求以解析式给出的函数y=f（x）的值域的几种常用方法概述如下．     

用判别式法求函数值域的几点思考

形如 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃｄｘ2 ｅｘ ｆ(其中ａ2 ｄ2 ≠0 )的有理分式函数一般可转化为关于ｘ的一元二次方程 (ｄｙ -ａ)ｘ2 (ｅｙ -ｂ)ｘ (ｆｙ-ｃ) =0 (以下简称方程※ ,其中将 ｙ看作方程的系数 ) ,由方程有实根的条件Δ≥ 0来求函数值域的方法叫做“判别式法” .在运用此法的过程中若稍有疏忽便会导致函数值域的不完备或不纯粹 .例 1　求函数 ｙ =ｘ2 -ｘｘ2 -ｘ 1 的值域 .解　函数式变形为(ｙ - 1 )ｘ2 (1 - ｙ)ｘ ｙ =0 (1 )当 ｙ =1时 ,方程 (1 )为 1 =0 ,这显然不成立 ,因此 ｙ =1不在函数值域中 :当 ｙ≠ 1时 ,∵ｘ∈Ｒ …     

用“方程有解条件”替代“反函数法”求函数的值域

标题中所说的的“反函数法”,是指利用求反函数的定义域来得出原来函数值域这样一种求函数值域的方法。该方法有较大的局限性,它只适用于所给函数是一一映射(即存在反函数)的情况,而且仅当从y=f(x)解出x=f~(-1)(y)的变形过程中y取值范围不变时方才有效。鉴于“反函数法”的这些缺点,本文提出一个替代的办法,就是运用方程观点,将函数式视为关于x的方程(化     

求函数值域中的一个问题

现行重点中学高中数学课本《代数》第一册复习参考题一中,第37题第4小题是:求函数y=x (1-2x)~(1/2)的定义域和值域。由江苏教育学院编写的《教学参考书》的解答是这样的: 定义域是(-∞,1/2〕、为了求值域,由原式解出x,得     

反函数法求函数值域之我见

《中学数学》91年第9期上载文《反函数教学中两个值得注意的问题》(以下简称《注意》)。该文第二部分对用反函数法求函数的值域提出了否定的意见,对此笔者不能苟同,现谈谈自己的看法,与《注意》的作者商榷。一、反函数法的科学性与可靠性是无可非议的。《注意》一文的观点是:“用反函数法求函数f(x)的值域不仅在理论上行不通,而且在实际上也经常失     

反函数法求函数值域质疑

反函数法求函数值域在日常教学中被广泛地采用着(本人也曾如此)。除课本外,在一些刊物、丛书,甚至中学教师使用的《教学参考书》中也颇常见。然而这种方法的科学性却是大有疑问的。     

求函数值域的几种方法

若有非空数集 A到 B的映射 f :A→ B,则函数 :y =f (x) (x∈ A、y∈ B)的值域是自变量 x在 f作用下的函数值 y的集合 C,很明显 ,C B.求函数值域的方法要随函数式的变化而灵活掌握 ,同时应注重数形结合、等价转换、分类讨论等重要数学思想的理解与运用 .1　定义法要深刻领会映射与函数值域的定义 .例 1　已知函数 f :A→ B(A、B为非空数集 ) ,定义域为 M,值域为 N ,则 A、B、M、N的关系 :(　 ) .(A) M =A,N =B(B) M N,N =B(C) M =A,N B(D) M A,N B说明　函数的定义域是映射 f :A→ B中的原象集合 A,而值域即函数…     

求函数值域的几种技巧

求函数的值域是函数一章的重要问题,也是高考命题的热点．求函数的值域除常用一些基本方法外,还必须掌握一些技巧,现归纳、总结如下：     

利用判别式求函数值域的探讨

利用一元二次方程的判别式求某些函数值域和极值的方法,由于求解过程中采用了某些变形等缘故,往往使函数值的范围发生变化,这就导致此法的不可靠性。本文想就这个问题作一些讨论。 (一) 若函数y=f(x)由下面隐函数形式给出: a(y)·x~2+b(y)·x+c(y)=0 (1)此时可把方程(1)看作x的二次方程。因为x应取实数值,也即方程(1)应有实数根,所以其判别式△=[b(y)]~2-4·a(y)·C(y)≥0 (2)解不等式(2)所得到的y值范围(我们用集合M来表示)有可能是函数y=f(x)的值域。但M是否为函数y=f(x)的值域还应分别不同情况加以讨论: 1.若对于任意的y∈M,有a(y)(?)0,由一元二次方程根的判别式可知,方程(1)有实根与(2)是互为充要的条件,所以y=f(x)的值域为M。     

用"逆求法"求函数值域妥当吗?

虽然"逆求法"在许多文章中表述不尽相同,有的文章还称它为"反函数法",但其实质都是"通过求原函数的反函数的定义域去确定原函数的值域".本文通过两个例子及其解答过程来进一步说明用上述逆求法求函数值域是不妥当的.     

例说换元法求函数的值域

采用换元法求函数的值域,其目的有两个,一是化简运算过程,避繁求简;二是转化函数的形式,化生为熟.本文就无理函数与部分三角函数值域的求解来说明其应用. 例1 求函数 的值域. 解令t-(1 x)～(1/(1 x))则x-t2-1(t≥0), 于是y=t2 t 1=(t 1/2)2 3/4,∵t≥0∴y≥1.∴函数的值域为[1, ∞). 说明1.通过换元把求无理函数的值域转化成求二次函数的值域,达到了化生为熟的目的;2.所换新元的范围由原函数的定义域及所换元的表达式来确定;3.此题还可利用函数的单调性求解.     

求函数值域的一堂习题课记实

的动点(acosx,bsinx)与定点(n,m)的连线的斜率的范围,但当a≠b时,用这种方法求解有时很繁甚至很难。如何转化,寻求较简方法呢?笔者组织了一堂习题课,老师提出思考方向,学     

求函数值域时的常见错误分析

函数值域是函数的三大要素之一 (另两个为定义域和对应法则 ) ,求值域的问题 ,能综合地体现出学生运用函数性质、运用不等式等数学知识的能力 ,同时更能促进学生对函数概念的理解 ,所以它成为练习和考试的热点之一 .在求值域时 ,最容易出现下列的错误 .1　草率代入例 1　求函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 - 2ｘ + 2 ,ｘ∈ [0 ,3]的值域 .错解 :代入得 ｆ(0 ) =2 ,ｆ(3) =5 ,故值域为 [2 ,5 ].分析 :没有考虑在所给区间 [0 ,3]上函数是否单调 .事实上只有当ｆ(ｘ)在定义域 [α ,β]上单调递增时 ,才可以说值域是 [ｆ(α) ,ｆ(β) ],递减时值域为[ｆ(β) ,…