Un problema fondamentale della Dinamica dei sistemi elastici

Sunto. In questa memoria si esamina il problema di determinare il moto di un corpo elasticoC una volta assegnati all'istantet=0 gli spostamenti e le velocità di tutti i punti diC, e pert≥0 gli spostamenti di tutti i punti della superficieF che limita il corpo elastico.     

Sull'espressione dell'energia libera nei materiali viscoelastici lineari

Sunto Si dimostra come l'energia libera di un materiale elastico lineare con memoria si possa identificare con l'energia potenziale interna di Volterra. Si ha così una espressione dell'energia libera che, associata ai principi della termodinamica, permette di ricavare proprietà dei coefficienti di memoria, sinora ammesse come intuitive, e di provare, direttamente, una condizione di minimo dell'energia libera conforme a un teorema di Coleman. A BeniaminoSegre nel suo 70° compleanno Entrata in Redazione il 30 settembre 1973.     

Theorems of continuous dependence in elasticity for exterior domains

Nel presente lavoro si dimostrano alcuni teoremi di dipendenza continua in elasticità per il problema dei piccoli spostamenti sovrapposti ad una deformazione finita. Si suppone che il corpo elastico occupi un dominio esterno dello spazio fisico. I teoremi vengono stabiliti con il metodo della «funzione peso».     

Sui sistemi continui nel caso asimmetrico

Sommario Si prosegue da un punto di vista generale una ricerca di G. Grioli sulla elasticità asimmetrica con deformazioni finite (e con momenti interni di contatto). Tra l'altro si fanno osservazioni sull'energia libera e su un certo parametro τ in connessione con le equazioni costitutive e col problema della loro determinazione sperimentale. Si caratterizza pure il conformarsi dei materiali considerati al principio di isotropia fisica dello spazio. Si confrontano le relazioni trovate con altre differenziali già note, delle quali si determina l'integrale generale. Tra l'altro si dà una caratterizzazione di tipo energetico della simmetria degli sforzi derivanti da un potenziale elastico.     

Sulla convessità dei potenziali termodinamici per materiali con memoria

Sunto Si formula, per una vasta classe di materiali con memoria, un principio di convessità per l'energia rispetto ad un opportuno sistema di variabili indipendenti. Tale principio ci consente di definire ogni potenziale termodinamico associato all'energia, poichè assicura l'invertibilità di quelle relazioni funzionali che collegano fra loro i potenziali termodinamici. Inoltre ho dimostrato come, per il sistema di equazioni differenziali considerato, il principio di convessità garantisce la correttezza del problema di Cauchy. Lavoro eseguito nell'ambito delle attività dei gruppi di ricerca per la matematica del C.N.R.. Entrata in Redazione il 10 aprile 1974.     

Intorno alle congruenze sulle cui superficie focali si corrispondono le linee di curvatura

Sunto Nel presente lavoro è stabilita una trasformazione delle congruenzeW, secondo la quale il problema della determinazione di tali congruenze è ridotto alla formazione di una reteO dello spazio a quattro dimensioni, e di due altre tali reti equivalenti adO per trasformazioni conformi. Il caso in cui sulle superficie focali della congruenza si corrispondono le linee di curvatura, è caratterizzato da una relazione fra le curvature isotrope delle retiO, da cui dipende il problema.     

Il profilo alare ad arco di cerchio in flusso transonico continuo senza incidenza

Sunto Nella presente ricerca viene studiato con metodo diretto sul piano odografico il campo aerodinamico attorno a profili alari sottili ad arco di cerchio investiti senza incidenza da una corrente asintoticamente uniforme con numero di Mach M_∞<1. Il problema viene anzitutto formulato in forma analitica nell'ambito delle piccole perturbazioni transoniche effettuando alcune assunzioni atte a renderne possibile una trattazione di prima approssimazione. Esso viene ricondotto ad un particolare problema di valori al contorno con frontiera mobile, di cui si indica un metodo iterativo per la risoluzione. In questo procedimento iterativo interviene in modo essenziale la risoluzione di un altro problema di valori al contorno con frontiera fissa, di cui viene anzitutto data una formulazione variazionale. Succesivamente tale problema con frontiera fissa viene affrontato mediante calcolo numerico col metodo delle differenze finite. Si ottiene così un sistema di equazioni lineari per il quale si adattano i metodi di risoluzione utilizzati usualmente sui calcolatori elettronici.

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Summary In the present paper it is studied, with direct method on the hodograph plane, the aerodynamic field around thin circular arc aurfoils in asymptotically uniform flow with zero incidence and Mach number M_∞<1. The problem is, first of all, analitically formulated within the limits of small transonic perturbation with some assumption apt to make possible a first approximation treatment. Thus it is reduced to a particular boundary values problem with free boundary, for which an iteraction method for the solution is developed. In the iteraction process the solution of an other boundary values problem with fixed boudary occurs, for which it is given a variational formulation. The fixed boundary values problem is numerically treated by means of the finite differences method. Thus it is obtained a linear equations system which can be solved with the methods usually utilized on Computers.

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A Bruno Finzi nel suo 70^mo compleanno

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Lavoro effettuato nell'ambito dei Contratti di ricerca della Matematica del Consiglio Nazionale delle Ricerche. Esso, in una stesura più estensiva, ha conseguito il premio Rancati 1969 dell'Istituto Lombardo, Accademia di Scienze e Lettere di Milano. Al primo Autore è dovuta la parte aerodinamica del lavoro e l'impostazione della risoluzione del problema matematico che ne consegue; al secondo Autore lo studio del problema con frontiera fissa; al secondo ed al terzo Autore la trattazione numerica del problema stesso.

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Entrata in Redazione il 10 aprile 1970.     

Invilappi di sfere sulle cui focali si corrispondono le linee di curvatura e le linee asintotiche

Sunto. In questa Memoria vengono formati gl'inviluppi di sfere, sulle cui focali si corrispondono le linee di curvatura e le linee asintotiche, con la considerazione della congruenzaaggiunta; il problema è ridotto ad un sistema diCauchy e la soluzione generale dipende da quattro funzioni arbitrarie di una sola variabile.     

Stability and bifurcations of symmetric periodic orbits

Se un problema Hamiltoniano integrabile non degenere, come si può ottenere dal problema dei due corpi in coordinate rotanti, è perturbato con una funzione potenziale simmetrica rispetto ad un asse, le proprietà di simmetria delle soluzioni consentono di semplificare la ricerca, di orbite periodiche. In tal modo si ottiene un teorema di continuazione delle orbite periodiche che fornisce più informazioni di quello classico. La funzione che descrive la simmetria delle orbite è genericamente una funzione di Morse, e le biforcazioni di orbite periodiche simmetriche possono essere descritte in termini di punti singolari e di valori critici di tale funzione. II problema ristretto dei tre corpi ed il problema del satellite in un potenziale non axisimmetrico sono trattati come esempi. Le stesse biforcazioni possono anche essere descritte come singolarità degeneri della funzione generatrice della trasformazione canonica associata all'applicazione di Poincaré, cioè al trascorrere di un periodo sinodico. In tal modo le proprietà di stabilità lineare delle orbite periodiche, la segnatura dei punti singolari della funzione generatrice e l'andamento qualitativo della funzione di simmetria appaiono correlate tra loro. Ne risulta la possibilità di predire, prima di qualsiasi esperimento numerico, non solo la struttura generica delle biforcazioni delle orbite periodiche simmetriche, ma anche la stabilità di tutte le orbite periodiche coinvolte.     

Un metodo numerico per la determinazione del carico critico nelle strutture lineari

Sunto L'impostazione energetica del problema dell'instabilità dell'equilibrio porta ad un problema variazionale: di determinare cicè una funzione η (configurazione) che renda minimo un rapportoK (carico critico). Tale problema conduce a sua volta ad un'equazione differenziale del 2^o ordine difficilmente risolubile nei casi pratici. Oppure si può ricorrere a due metodi approssimati: il metodo diRitz e il metodo delle successive approssimazioni. Questi metodi, che pure comportano notevoli difficoltà se condotti per via analitica, trovano un'efficace applicazione se le configurazioni η vengono rappresentate numericamente, nel modo illustrato nel testo. L'errore inerente alla rappresentazione numerica, per sua natura discontinua (divisione della struttura in intervalli finiti) viene pressochè eliminato con l'introduzione di un termine correttivo. Nel corso della Nota viene anche illustrata la seconda espressione del carico critico nel caso di aste compresse in sommità, e viene dimostrato perchè tale espressione porti a risultati più approssimati.     

Nuovo teorema dei 2n momenti e sua espressione sintetica

Sunto La determinazione degli sforzi in una travatura reticolare iperstatica con aste mutuamente incastrate agli estremi, viene di solito affrontata ricorrendo al? teorema dei quattro momenti ? : il quale, com'è ben noto, collega fra loro imomenti di estremità di due asie consecutive e glispostamenti dei nodi di quelle aste. Momenti e spostamenti non interessano in egual misura, poichè soltanto i primi intervengono nella verifica di stabilità della travatura. Atteso dunque che gli spostamenti figurano nel problema come incognite ausiliarie, ci siam proposti di eliminarli addirittura nello studio della travatura, soslituendo al teorema dei quattro momenti, una nuova relazione la quale interessii soli momenti di estremità. Di questa nuova relazione abbiamo dato una facile interpretazione geometrica, atta a semplificarne l'uso. Al testo fa seguito un esempio di applicazione ad un problema concreto. La presente ricerca fu presentata nella mia tesi di laurea alla R. Scuola d'ingegneria di Roma, nel Novembre 1931.     

Sul problema unidimensionale non lineare di Stefan in uno strato piano indefinito

Sunto Considerato un processo unidimensionale di cambiamento di fase in un mezzo occupante uno strato piano indefinito di spessore finito, supposte le caratteristiche fisiche delle due fasi e il calore latente funzioni della temperatura, si dimostra l'esistenza di una sola soluzione per il problema al contorno connesso col problema diStefan non lineare in esame. A Giovanni Sansone nel suo 70^mo compleanno.     

Il problema matematico del sistema ottico concentrico stigmatico

Sunto Si esamina il problema generale del sistema ottico tutto racchiuso da una sfera di raggio finito, dentro la quale l’indice di rifrazione sia una funzione n(r) della distanza r dal centro, tale che, quando il sistema è immerso in aria, ogni punto della sfera esterna abbia immagine perfetta all’infinito. Per n(r) si fanno le ipotesi più generali che possano essere accettate fisicamente; in particolare si ammette un numero finito di punti di discontinuità di prima specie. Dato il modo di costruire la soluzione generale, che dipende da una funzione arbitraria, definita in un intervallo minore del raggio della sfera esterna, si sviluppano a fondo i calcoli per un caso particolare di speciale interesse fisico.     

Sulla monogeneità negli spazi di Banach

Summary In assenza di struttura moltiplicativa, la definizione di funzione monogena viene data in questo lavoro basandosi sulla considerazione di una coppia di operatori lineari (uno dei quali coincidente ad es. col differenziale) che mandano 0-forme in 1-forme. Si stabiliscono risultati sull’esistenza delle derivate successive, delle primitive e un teorema integrale di tipo Cauchy. L’equivalenza fra il problema della primitiva e il problema della derivata appare qui dipendere dalla permutabilità dei ruoli degli operatori della coppia.

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Lavoro eseguito nell’ambito del Programma di Ricerca n. 9 del C.N.R.

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Entrata in Redazione il 25 giugno 1970.     

Su una particolare classe di funzioni tensoriali di un tetravettore e sulla conseguente interpretazione dell'elettromagnetismo diMaxwell-Lorentz

Sunto Si estende dapprima allo spazio euclideo a quattro dimensioni e poi allo spazio-tempo pseudoeuclideo la particolare classe di funzioni tensoriali di un vettore che, in una memoria precedente dello stesso autore, era stata considerata limitatamente allo spazio euclideo tridimensionale. Tali tensori godono della proprietà che al mutare del sistema di riferimento le espressioni analitiche delle nuove componenti del tensore, scritte rispetto alle nuove componenti del vettore, conservano l'invarianza formale. L'analisi di tali funzioni tensoriali mette in evidenza che le espressioni analitiche delle loro componenti risultano indeterminate a meno di un piccolo numero di funzioni del solo modulo del vettore, chiamate funzioni di distanza (f. d. d.). Dall' attuale analisi risulta che il numero delle f. d. d. atte ad individuare un tensore dello stesso ordine diminuisce con l aumentare del numero delle dimensioni dello spazio. Così per il tenore del 2⁰ ordine si hanno tre funzioni di distanza nell' S₃ e due nell' S₄. Per il tensore del 3⁰ ordine si hanno 7 f. d. d. nell' S₃ e 5 nell' S₄. Il tensore q_{l, m, n} emisimmetrico negli indici l ed n è individuato nello spazio-tempo da una sola f. d. d. Nell' ultima parte della memoria si cerca un' interpretazione dell' elettromagnetismo di Maxwell-Lorentz mediante le dette funzioni tensoriali nello spazio-tempo. Si compone il detto tensore emisimmetríco q_{l, m, n} con il tetraelemento di linea oraria percorsa da una carica puntiforme in moto e si integra lungo la linea oraria. Il detto tensore q_{l, m, n} è funzione, appartenente alla classe in considerazione, del tetrasegmento che unisce il punto-evento in cui si trova la carica con il punto-evento in cui si vuole calcolare il campo elettromagnetico da essa generato. Scegliendo opportunamente l' unica f. d. d. che individua q_{l, m, n} è possibile ottenere il tensore elettromagnetico generato dalla carica. Si riesce così ad isolare l' aspetto geometrico dell' elettromagnetismo di Maxwell-Lorentz dall'aspetto analitico, che consiste nella particolare f. d. d. del tensore elettromagnetico q_{l, m, n}.     

Sul problema di Cauchy relativo alle equazioni alle derivate parziali del primo ordine di tipo semilineare

Sunto Si fa vedere come il problema di Cauchy relativo ad una equazione alle derivate parziali del primo ordine, in n variabili, di tipo semilineare, può essere ricondotto allo studio di una equazione integrale alla quale viene poi applicato il metodo delle approssimozioni successive per la costruzione effettiva di una eventuale soluzione della equazione stessa. Lavoro eseguito nell’ambito del VI gruppo di ricerca del Comitato per la Matematica del C.N.R. per l’anno 1961–62.     

Grafici minimi completi

Riassunto Si riconsidera il problema della esistenza di soluzioni della equazione delle superficie minime su tutto lo spazio. Si presenta un metodo che, con ulteriori studi, potrebbe portare ad associare ad ogni cono minimo singolare una soluzione della equazione delle superficie minime su tutto lo spazio, intendendo che a coni diversi sono associate soluzioni diverse. è sottinteso che parliamo sempre di soluzioni non banali, cioè non lineari.

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Summary We reconsider the problem of the existence of non trivial solutions for the minimal surface equation in the whole space. We present a method which might lead to the proof of the existence of a non trivial solution for the minimal surface equation in the whole space for each singular minimal cone.

     

Teoria analitica del campo elettromagnetico

Sunto Nell’Introduzione si illustra l’opportunità di fondare la teoria matematica del campo elettromagnetico sullo studio degli integrali dell’equazione rot K+mK=Φ, con m costante complessa non nulla. Una tale scelta si manifesta infatti particolarmente adatta ai problemi posti dalla tecnica delle onde elettromagnetiche. La Teoria dell’equazione omogenea rot K+mK=0 può essere sviluppata secondo due indirizzi, uno integrale e l’altro fondato sullo sviluppo del vettore K in serie di opportune funztoni. Ciò in analogia con quanto avviene nella Teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa. La presente memoria appartiene totalmente all’indirizzo integrale. Nella Parte Prima si deduce un’espressione integrale la quale fornisce il valore assunto dal vettore K in un punto di un dominio regolare a partire dalla conoscenza dei valori da esso assunti sul contorno. Si esaminano le proprietà della relazione integrale stabilita. Fra l’altro si deduce che quando un integrale dell’equazione rot K+mK=0 è continuo in un campo con le sue derivate parziali prime esso vi è analitico. Nella Parte Seconda si stabilisce una condizione necessaria e sufficiente affinchè esista in un dominio V di contorno S un vettore K, continuo in V, soddisfacente in V — S all’equazione rot K+mK=0 (m non reale) e riducentesi sul contorno a un vettore G assegnato. La condizione ottenuta è una relazione integrale fra i valori assunti da G sul contorno S di V. La Parte Terza è dedicata alla traduzione in equazioni integrali dei problemi posti dall’elettromagnetismo. Le equazioni integrali si riferiscono ai valori assunti dai campi elettrico e magnetico sulle superfici di separazione dei diversi mezzi, ciascuno dei quali omogeneo e isotropo, nei quali il campo elettromagnetico si estende. I teoremi stabiliti nella prima e seconda parte della memoria consentono di affermare la necessità e la sufficienza delle equazioni integrali scritte. In tutta la memoria, accanto all’equazione rot K+mK=Φ, viene pure considerato il sistema di equazioni rot K=Φ, div K=f relativo ai campi statici.     

Non-existence of a steady rarefied supersonic flow in a half-space

The one-dimensional BGK model for a Boltzmann gas is studied by linearizing about a drifting Maxwellian. This linearized BGK model is then expressed as an operator differential equation whose unique solution is given by a contour integral of the resolvent of the relevant transport operator. The Wiener-Hopf factorization of the dispersion function for the problem is employed to show that the unique solution to the differential equation exists only for subsonic drift velocities.

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Riassunto Si studia il modello unidimensionale di Bhatnagar, Gross e Krook, linearizzato intorno a una maxwelliana con velocità di deriva. Si trasforma poi questo modello in una equazione differenziale operatoriale, la cui soluzione (unica) è data da un integrale curvilineo del risolvente dell'operatore di trasporto di cui ci si occupa. Impiegando la fattorizzazione alla Wiener-Hopf della funzione di disperisione del problema, si dimostra che la soluzione (unica) del problema esiste solo per velocita di deriva subsoniche.