平面分线段所成比的定理及应用

设线段AB和平面α相交(或延长后)于D,AA_1⊥α、BB_1⊥α,(A、B∈α)则有AO/OB=AA_1/BB_1。这是在立几中不难证明的事实。我们可称它为平面分线段所成比的定理,即定理一条线段和一个平面(或延长后)相交,交点内(或外)分线段的比,等于对应端点到平面的距离之比。 (*) 下面例举说明这个定理的应用。例1 设空间四边形A_1A_2A_3A_4,平面α与A_1A_2、A_2A_3、A_3A_4、A_4A_1或其延长线顺次相交于P_1、P_2、P_3、P_4,求证A_1P_1/P_1A_2·A_2P_2/P_2A_3·A_3P_3/P_3A_4·A_4P_4/P_4A_1=1。证明设A_1、A_2、A_3、A_4到平面α的距离分别为h_1、h_2、h_3、h_4,由定理(*)有:     

焦点分弦所成比与离心率的一个有趣性质

本文介绍圆锥曲线的焦点分弦所成比与离心率的一个有趣关系式，并说明它在解题中的应用。     

巧解圆锥曲线中的“焦点分弦所成比”问题

我们把圆锥曲线(椭圆、双曲线或抛物线)中过焦点的弦称为它的焦点弦,焦点弦AB被焦点F分成两段AF和FB,则把满足(→AF)=λ(→FB)(λ＞0)的λ称为"焦点分焦点弦所成的比",简称"焦点分弦所成比".在近几年的高考中,对圆锥曲线的"焦点分弦所成比"问题(已知(→AF)=λ(→FB)求圆锥曲线的离心率、方程及直线AB的斜率等)的考查成为一个热点问题,对于这类问题,若用纯解析几何知识来解决,则通常需要大量的代数运算才能完成.     

二次曲线分线段的比及其应用

二次曲线分线段的比及其应用西安市西光中学刘康宁为了叙述方便，我们把二次曲线方程Ａｘ２＋Ｂｘｙ＋Ｃｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０（Ａ、Ｂ、Ｃ不全为零）记作Ｆ（ｘ，ｙ）＝０，经过代换所得方程命题设经过Ｍ（ｘ１，ｙ１）、Ｎ（ｘ２，ｙ２）两点的直线与二次曲线Ｆ（ｘ...     

直线束与比例线段

定义:过一点可以引无数条直线,这些直线称为这点的直线束。 定理:一线束被两条(或者更多条)的平行线所截,则将这线束分成比例线段。 已知:NN‖M′N′,过O的直线OA、OB、OC、OD分别交MN于A_1,B_1,C_1,D_1,交M′N′于A_2、B_2、C_2、D_2。     

巧求点分有向线段所成的比

例　过两点Ａ( - 3 ,2 )和Ｂ( 6,1)的直线与直线ｘ 3ｙ - 6=0交于点Ｐ ,求Ｐ分ＡＢ所成的比 .解法 1　 (定义法 )直线ＡＢ的方程为ｙ - 2 =1- 26 3(ｘ 3) ,即ｘ 9ｙ - 15=0 .将其与直线ｘ 3ｙ - 6=0联立可解得　ｘ =32 ,ｙ =32 ,即Ｐ的坐标为 ( 32 ,32 ) .从而λ =ＡＰＰＢ =ｘ 36-ｘ=1.解法 2　 (待定系数法 )设λ =ＡＰＰＢ,点Ｐ(ｘ ,ｙ) ,则有　　　　ｘ =- 3 6λ1 λ ,ｙ =2 λ1 λ.　　∵Ｐ在直线ｘ 3ｙ - 6=0上 ,∴ - 3 6λ1 λ 3·2 λ1 λ- 6=0 ,解得λ =1.图 1　解法 3图解法 3　 (数形结合法 )如右图 ,显然Ｐ为内分点 …     

线段与直线相交问题解法

在直角坐标平面内,直线l可以用二元一次方程Ax+By+C=0表示,点p(x0,y0)在直线l上的充要条件是Ax0+By0+C=0,若P不在直线l上,则Ax0+By0q-C<0或Ax0+By0+C>0,二者必居其一.直线l:Ax+By+     

直线与线段相交的一个充要条件

在学习直线知识的过程中，经常涉及到直线与线段相交的问题。     

巧分面积与线段

如图1,ABCD是 任意凸四边形,A1、C1 分别是AB与CD的中 点,B1、B2与D1、D2分 别是BC与DA的三等 分点.E、F为A1C1与 B1D2及A1C1与B2D1 的交点.则图1中有结论: ①E、F是A1C1的三等分点; ②S1+S6=S2+S5=S3+S4=1/3SABCD.     

线段倍分的证明方法

<正>在几何证明中,经常会遇到证明"线段的倍分"问题,许多人往往不知如何入手,找不到切入点,其实解答这类问题是"有法可循"的,现提供几种方法供参考.一、直接法:直接利用直角三角形的相关性质或三角形中位线性质证明.例1已知:如图1,在等边ΔABC中,D、E分别为AB、BC上的点,且AD=BE,AE、CD交于F,AG⊥CD.     

线段、射线、直线的学习要点

线段、射线和直线是最基本的几何概念,也是今后学习几何的基础,为了让同学们正确理解并掌握好这几个概念,现提醒大家,在学习时应注意以下几点。     

94 平行线分线段成比例定理

１　换一个视角,提出了猜想Ｔ：由我们学过的平行线等分线段定理知,如图１,直线ｌ１∥ｌ２∥ｌ３,直线ｌ４、ｌ５分别被ｌ１、ｌ２、ｌ３所截,如果ＡＢ＝ＢＣ,那么ＤＥ＝ＥＦ．换一个视角,对于图１,如果ＡＢＢＣ＝１,那么ＤＥＥＦ＝１;还有如果ＡＣＢＣ＝２,那么ＤＥＥＦ＝２;如果ＡＢＡＣ＝１２,那么ＤＥＤＦ＝１２．由此可以引出什么样的猜想呢？图１　　　　　　　　　图２如图２,直线ｌ１∥ｌ２∥ｌ３,直线ｌ４、ｌ５分别被ｌ１、ｌ２、ｌ３所截,那么有ＡＢＢＣ＝ＤＥＥＦ,ＡＢＡＣ＝ＤＥＤＦ．２　通过一个个图式、比…     

巧用直线的参数方程处理线段长度问题

直线的参数方程作为高中数学选修部分的内容,已经成为很多省份的高考考点．直线的参数方程在解题中的应用非常广泛,随着新一轮高中教材的改革,它的应用又呈现在大家的视线里．实际上,用直线的参数方程表示直线,在处理直线与圆锥曲线的位置关系问题中涉及的长度问题时有其独到的优势,本文笔者以近两年的高考和竞赛中出现的试题为例,谈谈如何用直线的参数方程来处理有关线段长度问题．     

直线与线段相交时参数范围的求法

在学习解析几何时,经常会遇到直线与线段相交时求参数范围的问题,下面举例介绍它的几种求法.问题已知直线l:x ay-2=0与连结A(1,4),B(3,1)两点的线段相交,求a的取值范围.解法1(化归为两条曲线有交点)线段AB的方程为3x 2y-11=0(1≤x≤3),要使直线与线段有交点,就是使方程组3x 2y-     

直线与平面所成角的计算公式及应用

对于直线和平面所成的角，现行几何教材仅给出了定义，而未提供公式算法．本文以向量为工具，找到了一个线面所成角的普适公式，从而有效解决了其在实际应用中的计算问题。     

过定点且与线段相交的直线斜率问题

求过定点且与定段相交的直线斜率问题 ,是高中数学教学的一个难点 ,本文将就这类问题归纳总结 ,以达到化难为易的目的 .实例 :已知直线l过定点P(x0 ,y0 ) ,且与定线段AB相交 ,其中A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) ,求直线l的斜率k的取值范围 ?先考虑直线PA、PB斜率均存在的情况 .设PA、PB的斜率分别为k1 ,k2 不妨设k1 相似文献   

直线及直线外一点所确定的平面方程

介绍由已知直线及直线外一点确定平面的方程。     

平行线分线段成比例定理及其推论在解题中的应用

平行线分线段成比例是学习相似的基础,学好平行线分线段成比例可以帮助学生更好地学习相似及相似三角形.基于此,本文中先分别叙述平行线分线段成比例定理与推论的内容,然后分析二者之间的联系,最后通过几道例题说明平行线分线段成比例定理及其推论在解题中的应用.     

凸像函数的像所掩蔽的线段

设函数f(z)=z+…在单位圆|z|<1中正则且单叶,这种函数全体成一族,记为S.设f(Z)∈S,它把圆|z|<1映照在w平面上,而得一映像区域D_f.在w平面上从原点射出n根等角射线,于每一根射线上取一点,得n个点w_1,w_2,…w_n,使直线段     

平行线分线段成比例定理的教学再探

平行线分线段成比例定理(以下简称为定理)是总领关于相似形问题全部内容的纲目性定理,在很大程度上说,影响《相似形》一章教学成败的关键性因素,就取决于该定理教学的优劣。也正由于该定理在《相似形》一章所处的地位如此举足轻重,如何把它教好便一向是几何教学中的热门话题,在几何教法的理论研究方面对它的探讨也相对地显得较多,本文则希望能在扬百家之长并同时避诸家之短的基础上,提出关于该定理教学的一些较为切实易行的设想,以供大家参考,不足之处,尚需各同行在教学实践中继续补正。一、关于定理的证明、扩展和图形的变通