三角形的一个外心判定定理及其应用

一、判定定理如图1,若OA=OB=OC,则点O为△ABC的外心.简证以点O为圆心,以OA长为半径画圆,如图2所示,由于OA=OB=OC,因此⊙O必经过A、B、C,即⊙O为△ABC的外接圆,故点O为△ABC的外心.二、应用举例例1(《中学生数学》2007(6)·P8)如图3,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AC=AD=3,BC=2,求对角线BD的长.解由AB=AC=AD知点A为△DBC的外心,延长BA交△ABC的外接圆于E,连DE,由AB∥DC知DE=BC=2,又EB=2AB=2×3=6,     

从三角形的垂心谈起--向量方法的一个应用

本文将三角形的垂心概念推广到圆内接四边形和圆内接五边形当中去 ,并且同时给出关于垂心的一条重要性质 .本文主要应用向量方法 .首先给出两条简易的引理 ,本文不加证明 .引理 1　设M是线段AB的中点 ,O为任意一点 ,则有OM =12 (OA+ OB) .引理 2　设G是△ABC的重心 ,O为任意一点 (在或不在△ABC所决定的平面上 ) ,则有OG=13(OA+ OB+ OC) .现在从三角形的垂心谈起 .图 1设O是△ABC的外心 ,OP⊥BC ,P是BC的中点 ,AQ是BC边上的高 (图 1 ) .在高AQ所在直线上取一点H ,使AH =2 OP ,则有OH =OA +AH=OA + 2OP=OA+ OB+ OC…     

巧用欧拉线解题一例

文[1]中对2005年全国卷的一道向量题的解法进行了探究,原题如下:△ABC的外接圆圆心为O,两条边上的高的交点为H,OH=m(OA+OB+OC),则实数m=.图1由于该题涉及到三角形的外心和垂心,我们知道三角形的外心、重心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线.这里笔者尝试想通过欧拉线来解决这道高考连A与BC中点D交OH于G,因为△ABC的重心既在中线AD上,又在欧拉线OH上,故G为△ABC的重心.又因为点O为外心,点H为垂心,所以OD⊥BC,AH⊥BC,则OD∥AH,所以△DOG∽△AHG.则AHOD=AGOG=2.所以OH=OA+AH=OA+2OD=OA+OB+O…     

新题征展(134)

A题组新编1.(1)设O为△ABC的外心,且3→OA+4→OB+5→OC=0则△ABC的内角C=___.     

三角形内外心连线的性质及推广

<正>性质如图1,I、O分别是△ABC的内心、外心、AD、BE、CF是三条高,直线OI分别交AD、BE、CF于点A′、B′、C′.则IA′/AA′=IB′/BB′=IC′/CC′.证明连结OA、OB、OC、IA、IB、IC,∵O是△ABC的外心,∴OA=OB=OC,于是∠OAB=∠OBA,∵∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°,∴∠OAB=90°-(1/2)∠AOB,而∠AOB=2∠ACB,     

数学问题解答

1989年5月号问题解答(解答由问题提供人给出) 591.设O为△ABC的外心,射线AO、BO、CO分别与△ABC外接圆交手A′,B′、C′.求证:S_(△ABC)=S_(△A′BC) S_(△AB′C) S_(△ABC′)。     

也谈重心向量形式的应用

文 [1]利用O是△ABC重心的充要条件是OA+OB +OC =0推出了如下有趣结论 .即文 [1]例 1.在△ABC中任取一点O ,用SA,SB,SC 分别表示△BOC ,△COA ,△AOB的面积 ,则SA·OA +SB·OB +SC·OC =0本文将对该问题作进一步分析 ,并推广到四面体 .为此 ,必须修正文 [1]给出的“定理 2” .即O是△ABC的重心的充要条件是S△AOB=S△BOC=S△COA.文 [1]把上述结论看成是显然成立而未给出证明 .事实上 ,其充分性不成立 .图 1　三角形如图 1,过△ABC各顶点分别作对边的平行线形成△A′B′C′ ,显然有S△AA′B=S△AA′C=S△BA′C…     

也谈三角形五“心”向量形式的充要条件

文 [1 ]给出了三角形五“心”向量形式的充要条件 ,文 [2 ]对内心和旁心的结论加以了改进 .本文先给出三角形所在平面上任意一点的向量形式 ,然后由此推得三角形五“心”向量形式的一组充要条件 ,这组充要条件不仅具有简捷、美观的特点 ,而且还有较强的实用性 .命题　 1若O是△ABC形内 (或周界上 )一点 ,则S△OBC·OA +S△OCA·OB +S△OAB·OC =0 ;2若O是△ABC形外一点且与A位于直线BC的两侧 ,则-S△OBC·OA +S△OCA·OB +S△OAB·OC =0 .图 1　三角形　　　　　　　图 2　三角形　　证　如图 1 ,以O为原点 ,OA所在直线…     

欧拉不等式的加强式的几何意义

<正>本文探讨三角形的面积与其内切圆的一个内接六边形的面积之比,并由此得出欧拉不等式一种有趣加强式的几何意义,供同学们参考.命题如图,在任意△ABC中,若其内切圆的圆心为O,且它与三边的切点分别为P、Q、R,又设线段OA、OB、OC分别交内切圆于A1、B1、C1三点,△ABC的面积     

问题与解答

一、本期问题 1 已知a、b、p、是直角三角形的边长,其中c是斜边,R是外接圆半径,(1)求(a b)/c的最大值,(2)求证S_A≤R~2,并指出等号成立的条件。黑龙江讷河县同心中学刘凤提供 2 试求cos1°cos3°…cos89°之值。 3 如图,O为△ABC的一内点,连OA、OB、OC、并延长分别交对边于D、E、F三点,连EF交OA于A_1,连DF交OB于B_1,连ED交OC于C_1,则OA_1/A_1A OB_1/B_1B OC_1/CC_1)=1。     

2007年全国高中数学联赛平几题的其它证法

2007年全国高中联赛二试第1题是一道平面几何题:如图,在锐角△ABC中,AB相似文献   

从三角形的外心谈起--一道数学题的推广

对于三角形的外接圆圆心,一个平凡的情形是:(记作命题1) 命题1 设O是△ABC的外心,AO、BO、CO与外接圆交于D、E、F,则     

三角形“外心圆”的几条性质

<正>定义以三角形外心为圆心,任意长为半径的圆,称为三角形的外心圆.注三角形的外接圆即为三角形的一个外心圆.性质1如图1,O是任意△ABC的外心,⊙O是小于△ABC外接圆的外心圆,过顶点A、B、C分别向⊙O作切线,D_1、D_2、E_1、E_2、F_1、F_2均为切点,则AD_1=AD_2=BE_1=BE_2=CF_1=CF_2;且∠D_1AB=∠E_2BA,∠D_2AC=∠F_1CA,∠E_1BC=∠F_2CB.     

1道联赛题的推广

2004年全国高中数学联赛第4题为:设O点 在△ABC内部且有OA+2·OB+3·OC=0,则 △ABC的面积与△AOC的面积之比为( ). (A)2 (B)3/2 (C)3 (D)5/3 标准答案技巧性强,本文推广并给出简单 通用的解法. 推广 设O点在△ABC内部且有m·OA +n·OB+r·OC=0,求S△ABC:S△AOC:S△COB: S△AOB.     

闭折线一条性质的应用

易证 ,对于一组闭折线A1A2 A3 …An,总有A1A2 +A2 A3 +A3 A4+… +An -1An+AnA1=0 .这条性质简明 ,应用却很广泛 .1　简化向量式例 1　化简AB -AC +BD -CD .解　原式 =AB +CA +BD +DC =AB +BD +DC +CA =0 .例 2　如图 1,在△ABC中 ,A′ ,B′ ,C′分别为BC ,CA ,AB的中点 ,O为△ABC所在平面内任一点 ,求证 :OA +OB +OC =OA′+OB′+OC′ .图 1　例 2图解　易知 ,B′A =12CA ,C′B =12 AB ,A′C =12BC .∵OB′ +B′A =OB′ +12 CA =OA ,OC′ +C′B =OC′ +12 AB =OB ,OA′ +A′C =OA′ +12 BC =OC …     

一道向量小题的多解

<正>题目已知锐角△ABC中,A=π/3,点O为△ABC外接圆的圆心,若OA=xOB+yOC,则2x-y的取值范围是.这是我们学校平时模拟测试的一道小题,但我们学生做的有点不尽人意,把范围求错的很多,下面我从解法上再剖析这道题!法1利用力的分解法.如图1,∵A=π/3,∴∠COB=2π/3,反向延长OA至OA′,设∠A′OB=θ,     

中学数学教学中的向量(续2)

4·2三角形的重心和几个著名的“难题”三角形的重心用向量方法来处理是最简单的了.对于△ABC,我们仍然任意定一个原点O,并作出有关各点的位置向量(图12中的虚线),于是BC的中点L对应于OL=21(OB OC),先不问三条中线是否共点,先看一条中线AL,其上的点都可用λOA (1-λ)OL=λOA 12     

一道高考试题的证明

2005年全国卷Ⅰ理(15)题:△ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,→OH=m(→OA+→OB+→OC),则实数m=＿.……     

一道高考试题的证明

2005年全国卷Ⅰ理(15)题:△ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,→OH=m(→OA+→OB+→OC),则实数m=＿.……     

诡辩一则--任意三角形均为等腰三角形

命题　如图 1 ,已知△ ABC是任意三角形 ,∠ A的平分线与 BC的垂直平分线交于点 O,则△ ABC是等腰三角形 .证明　如图 1 ,过 O作 OE⊥ AB,OF⊥ AC.∵　 AO为∠ A的平分线 ,∴　 OE =OF,又　 OA =OA,∴　 Rt△ AOE≌ Rt△ AOF.∴　 AE =AF.连结 OB、OC.∵　 O在 BC的垂直平分线上 .∴　 OB =OC.　又　 OE =OF,∴　 Rt△ BOE≌ Rt△ COF.∴　 BE =FC.又　 AE =AF,∴　 AB =AC.故△ ABC为等腰三角形 .诡辩揭密 :我们知道 ,准确作图是欧氏几何的特点之一 ,忽视规范作图是多数人常犯的通病 ,由此而得到错误结论…